2022年數(shù)列求和方法教案

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載數(shù)列求和的基本方法和技巧數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ). 在高考和各種數(shù)學(xué)競(jìng)賽中都占有重要的位置.數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要肯定的技巧 . 下面，就幾個(gè)歷屆高考數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題來談?wù)剶?shù)列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和 利用以下常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法.1、 等差數(shù)列求和公式：snna12anna1nn1 d2na1 q12、等比數(shù)列求和公式：sa 1qn aa qn11n1q1qq1n3、 snkk 11nn124、 snn21kk 16nn1 2n15、 s

2、nnk 3k 11 n n21 2例 1已知log 3 x123，求 xxxlog 2 3xn的前 n 項(xiàng)和 .解：由log 3 x1log 2 3log 3 x1log 3 2x2由等比數(shù)列求和公式得snxx11x2x3xn x1 121xnn1 2 1 112n2（利用常用公式）例 2設(shè) sn 1+2+3+ +n ， nn * ,求f nsnnn32sn的最大值 .1解：由等差數(shù)列求和公式得s1 nn 21，sn1 n21 n2（利用常用公式）f nsn2n32 sn 1nn34n641n3464nn118 25050n 當(dāng)n8，即 n 8 時(shí)，8f n1max50例 3求12223242

3、5262992100 2 解：原式2 212 4 232 6 252 100250319999 2 3711199 由等差數(shù)列求和公式，得原式5050 2二、錯(cuò)位相減法求和類似于等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和的公式的推導(dǎo)方法；如數(shù)列各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘得到，即數(shù)列是一個(gè)“差·比”數(shù)列，就采納錯(cuò)位相減法.如 anbncn ，其中bn 是等差數(shù)列，cn 是公比為 q 等比數(shù)列，令snb1 c1b2 c2n b 1n c 1n bn c就 qsnb1 c2b2 c3n b n1 cn bn c兩式相減并整理即得例 4求和： sn13 x5x27 x32n1) xn1解：由題可

4、知， 2n1) x n1 的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n 1 的通項(xiàng)與等比數(shù)列xn 1 的通項(xiàng)之積設(shè) xsn1x3 x25x 37 x42 n1 xn .（設(shè)制錯(cuò)位）得1x sn12 x2x 22 x32 x42x n 12 n1 xn（錯(cuò)位相減 ）再利用等比數(shù)列的求和公式得：1xsn12 x1xn 11x2 n1 xnsn2n1 xn 12n1 xn21x1x小結(jié)：錯(cuò)位相減法的步驟是：在等式兩邊同時(shí)乘以等比數(shù)列bn的公比；將兩個(gè)等式相減；利用等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式求和.例 5求數(shù)列2 , 4222, 6 ,23, 2n ,2 n前 n 項(xiàng)的和 .解：由題可知，2nn 的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n 的通項(xiàng)與等

5、比數(shù)列212 n 的通項(xiàng)之積設(shè) sn24622 2232nn 22462n22232 42n 11sn（設(shè)制錯(cuò)位）2得11 s222222n（錯(cuò)位相減 ）2n2222123242n2 n2n 1sn2 nn42n12 n 121例 7 （ 2021 年全國第 19 題第（ 2）小題，滿分 6 分）已知ann2 n1，求數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 sn.解： sn1 202 21n1 2n2n 2n 12sn1 212 22 n1 2n 1n 2n得nsnn 21 20212n 1n 2n2n1小結(jié)：錯(cuò)位相減法的求解步驟：在等式兩邊同時(shí)乘以等比數(shù)列個(gè)等式相減；利用等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和的公式求和

6、.三、反序相加法求和cn 的公比 q ；將兩這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原nnn數(shù)列相加，就可以得到n 個(gè) a1an .cn例 8 求證：03c 15c 22n1) c nn12 n證明：設(shè) sn03c 15c 22 n1c n .cnnnnnncnn把式右邊倒轉(zhuǎn)過來得sn2n1) c n 2n1c n13c 10（反序）cm又由nn mcnnnnn可得cnnsn2n1) c 02 n1c 13c n 1c n . .+得2 sn sn 2nn2 c 01ncn1) 2 nn 1c n 2n1) 2n（反序相加）例 9 求sin 2

7、1sin 2 2sin 2 3sin 2 88sin 2 89 的值解：設(shè) ssin 2 1sin 2 2sin 2 3sin 2 88sin 2 89. 將式右邊反序得ssin 2 89sin 2 88s i n2 3s i n2 2s i n2 1.（反序）又由于sin xcos90x, sin 2 xcos2 x1+得（反序相加）2 ssin 2 1cos2 1 sin 2 2cos 2 2 sin 2 89cos2 89 89s 44.5122232102例 10求121022292328210212的和分析：由于數(shù)列的第k 項(xiàng)與倒數(shù)第k 項(xiàng)的和為常數(shù)1，故采納倒序相加法求和12222

8、923282102129282122222222解：設(shè) s22232102110就102s10212938101兩式相加，得2s1111，0 s5小結(jié) ：對(duì)某些具有對(duì)稱性的數(shù)列，可運(yùn)用此法.xx例 11已知函數(shù) fx222（1） 證明： fxf 1x1 ；（2） 求 f1f2f8f9的值.10101010解：（1）先利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)，后證明左邊=右邊（2）利用第（ 1）小題已經(jīng)證明的結(jié)論可知，f1f9f2f8f5f51101010101010令sf1f2f8f910101010就sf9f8f2f110101010兩式相加得：2s9f1f99所以 s9 .10102小結(jié)：解題時(shí)，仔細(xì)

9、分析對(duì)某些前后具有對(duì)稱性的數(shù)列，可以運(yùn)用倒序相加法求和.四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，如將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.有一類數(shù)列，它既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列.如將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比數(shù)列或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可 .1n23例 12求和： sn235 1435 2635 32n35 n解： sn2354356352n352462n3 5 15 25 35 n例 13求數(shù)列的前n 項(xiàng)和： 11, 1a4, 1a 27,1an 13n2 ， 解：設(shè) sn11 1a4 17a 2

10、1 an 13n2將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得11sn12aa1an 11473n2（分組）當(dāng) a 1 時(shí)， snn3n11) n23n21) n（分組求和）當(dāng) a1 時(shí)， sn1an11a3n1) n2aa1 na13n1n2例 14求數(shù)列 nn+12n+1的前 n 項(xiàng)和 .解：設(shè) akk k1 2k12k 33k 2ksnnkkk 11 2k1 n2k 3k 13k 2k將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得3nsn 2kk 1nn3k 2kk 1k 1（分組） 21323n 3 31222n 2 12nn 2 n21 2nn1 2n12nn12（分組求和）nn12 n22例 15求數(shù)列11112，4，

11、6， ，2n，的前 n 項(xiàng)和 s 48162 n 1n分析：此數(shù)列的通項(xiàng)公式是an2 n12n 1，而數(shù)列 2 n是一個(gè)等差數(shù)列，數(shù)列12n 1是一個(gè)等比數(shù)列，故采用分組求和法求解解： sn2462 n1nn11122n 111112223242n小結(jié)： 在求和時(shí)，肯定要仔細(xì)觀看數(shù)列的通項(xiàng)公式，假如它能拆分成幾項(xiàng)的和，而這些項(xiàng)分別構(gòu)成等差數(shù)列或等比數(shù)列，那么我們就用此方法求和.五、裂項(xiàng)法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的詳細(xì)應(yīng)用. 裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的. 通項(xiàng)分解 （裂項(xiàng)） 如：（ 1） anf n1f n（ 2）cos

12、nsin 1cosn1tann1tan n1112 n 2111（ 3） an（ 4） an1（ 5） annn11nn11 12 n11 2n12 2n12n16annn1 n2212 nn2n11 n1 n2n111,就s11nnn12 nnn12 nn2n 1 n12nnn1 2n把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，即數(shù)列的每一項(xiàng)都可按此法拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消， 于是前 n 項(xiàng)的和變成首尾如干少數(shù)項(xiàng)之和，這一求和方法稱為裂項(xiàng)相消法；適用于類似c anan 1（其中an是各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，c 為常數(shù)）的數(shù)列、部分無理數(shù)列等；用裂項(xiàng)相消法求和，需要把握一些常見的裂項(xiàng)方法：111

13、n nkknn1kn1k（1）1，特殊地當(dāng) k1 時(shí)，111nkn n1nn1（2）nkn，特殊地當(dāng) k1 時(shí)1n1nn1n例 15、數(shù)列an 的通項(xiàng)公式為 an1nn，求它的前 n 項(xiàng)和 sn1解： sna1a2a3an 1an11111122334nn1nn1= 111111111122334n1nnn111nn1n1小結(jié)：裂項(xiàng)相消法求和的關(guān)鍵是數(shù)列的通項(xiàng)可以分解成兩項(xiàng)的差，且這兩項(xiàng)是同一數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)，即這兩項(xiàng)的結(jié)構(gòu)應(yīng)一樣，并且消項(xiàng)時(shí)前后所剩的項(xiàng)數(shù)相同.針對(duì)訓(xùn)練 5、求數(shù)列1,1,1,1,的前 n 項(xiàng)和 sn .122332nn1例 16求數(shù)列1,1,1,1223nn1的前 n 項(xiàng)和 .

14、解：設(shè) an1223nn1 2132 n1n 就sn1n1n nn1111（裂項(xiàng)）（裂項(xiàng)求和）n11例 17在數(shù)列 a12n，又2n 中， ann1n1bnn1anan 1，求數(shù)列 b n 的前 n 項(xiàng)的和 .解：an12n1n1nnn12bn2n n1228 11nn1（裂項(xiàng)）數(shù)列 b n 的前 n 項(xiàng)和sn81 811 1221 1 11 3348n 11nn1（裂項(xiàng)求和）例 18 求證：n1n1111c o 1scos 0cos1cos1 cos 2cos 88cos 89s i n2 1解：設(shè) scos 01cos1cos11cos2cos881cos 89cos nsin1cosn1

15、1tan n11tan n1（裂項(xiàng)） s（裂項(xiàng)求和）cos 01cos1cos1 cos 2cos 88 cos 89sin 11tan 1tan 0 tan 21tan1 tan 3cos1tan 2 tan 89tan 88 sin1tan 89tan 0 sin1cot 12sin 1原等式成立例 19已知 1222n21 nn 612n1 ，3572 n1求222222222 nn 的和11212312n分析：第一將數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)，然后留意到它可寫成兩項(xiàng)的差，在求和的過程中，中間的項(xiàng)相互抵消了， 從而可求出原數(shù)列的前n 項(xiàng)和 .2n12n16解：an1222n216nn12n1，n

16、n1sn61111223nn111111612236 11n1ln.nn1n1小結(jié)： 假如數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式很簡(jiǎn)單表示成另一個(gè)數(shù)列 bn的相鄰兩項(xiàng)的差，即anbn 1bn ，就有snbn 1b1 .這種方法就稱為裂項(xiàng)相消求和法.六、合并法求和針對(duì)一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時(shí)，可將這些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求sn.例 20求 cos1° + cos2°+ cos3°+··+ cos178° + cos179°的值 .解：設(shè) sn cos1°+ cos2°

17、 + cos3°+· ·+ cos178°+ cos179°cos ncos180n （找特殊性質(zhì)項(xiàng)） sn （ cos1°+ cos179°） +（cos2°+ cos178°） + （ cos3°+ cos177°） +··+（ cos89°+ cos91°） + cos90°（合并求和） 0例 21數(shù)列a n ： a11,a 23, a32, an 2an 1an ，求 s2002.解：設(shè) s2002 a1a2a3a2002a11

18、,a23,a32,an2an 1a41,a53,a62,由an 可得a71,a 83,a 92,a101,a113,a122,a6 k11,a6k 1a 6k 5a6k23,a6k 32,a6k41,a 6k2a 6k 3a6k4a6 k5a 6 k603,a 6k 62（找特殊性質(zhì)項(xiàng)）s2002 a1a2a3a 2002（合并求和） a1a 2a3a 6 a 7a8a12 a6k 1a 6k 2a6k 6 a1999a1993a 2000a1994a2001a 2002a1998 a1999a 2000a 2001a2002 a 6 k 1 5a 6k 2a 6k 3a6 k4例 22在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，如a5a69, 求 log 3 a1log 3 a2log 3a10 的值 .解：設(shè) snlog 3 a1log 3 a 2log 3a10由等比數(shù)列的性質(zhì)mnpqamanap aq（