2022年數(shù)學(xué)分析教案(華東師大版)第二章數(shù)列極限_第1頁
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1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載其次章數(shù)列極限教學(xué)目的:1. 使同學(xué)建立起數(shù)列極限的精確概念,嫻熟收斂數(shù)列的性質(zhì);2. 使同學(xué)正確懂得數(shù)列收斂性的判別法以及求收斂數(shù)列極限的常用方法, 會(huì)用數(shù)列極限的定義 證明數(shù)列極限等有關(guān)命題; 要求同學(xué):逐步建立起數(shù)列極限的 概念. 深刻懂得數(shù)列發(fā)散、單調(diào)、有界和無窮小數(shù)列等有關(guān)概念 . 會(huì)應(yīng)用數(shù)列極限的定義證明有關(guān)命題,并能運(yùn)用語言正確表述數(shù)列不以某定數(shù)為極限等相應(yīng)陳述;懂得并能證明收斂數(shù)列、極限唯獨(dú)性、單調(diào)性、保號(hào)性及不等式性質(zhì);把握 并會(huì)證明收斂數(shù)列的四就運(yùn)算定理、迫斂性定理及單調(diào)有界定理,會(huì)用這些定理求某 些收斂數(shù)列的極限;初步懂得柯西準(zhǔn)就在極限理論中的重要意義,并

2、逐步學(xué)會(huì)應(yīng)用柯 西準(zhǔn)就判定某些數(shù)列的斂散性;教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) :本章重點(diǎn)是數(shù)列極限的概念;難點(diǎn)就是數(shù)列極限的定義及其應(yīng)用 .教學(xué)時(shí)數(shù) : 14 學(xué)時(shí)§ 1數(shù)列極限的定義教學(xué)目的 :使同學(xué)建立起數(shù)列極限的精確概念;會(huì)用數(shù)列極限的定義證明數(shù)列極限等有關(guān)命題;教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) :數(shù)列極限的概念,數(shù)列極限的n 定義及其應(yīng)用;教學(xué)時(shí)數(shù) : 4 學(xué)時(shí)一、 引入新課: 以齊諾悖論和有關(guān)數(shù)列引入 二、 講授新課:(一) 數(shù)列:1. 數(shù)列定義整標(biāo)函數(shù) . 數(shù)列給出方法 :通項(xiàng), 遞推公式 . 數(shù)列的幾何意義 .2. 特別數(shù)列 :常數(shù)列, 有界數(shù)列 , 單調(diào)數(shù)列和往后單調(diào)數(shù)列 .(二)數(shù)列極限 :以為例.定

3、義 的 “”定義 定義 數(shù)列收斂的“”定義 注: 1. 關(guān)于: 的正值性 ,任意性與確定性 ,以小為貴 ; 2. 關(guān)于:的存在性與非唯獨(dú)性 , 對(duì)只要求存在 , 不在乎大小 . 3.的幾何意義 .(三)用定義驗(yàn)證數(shù)列極限:講清思路與方法 .例 1例 2例 3例 4證留意到對(duì)任何正整數(shù)時(shí)有就有于是,對(duì)取例 5證法一令有用 bernoulli不等式,有或證法二 (用均值不等式)例 6證時(shí),例 7設(shè)證明(四)收斂的否定 :定義 的“”定義 .定義 數(shù)列發(fā)散的“”定義 .例 8驗(yàn)證(五)數(shù)列極限的記註 :1. 滿意條件“”的數(shù)列2. 轉(zhuǎn)變或去掉數(shù)列的有限項(xiàng) ,不影響數(shù)列的收斂性和極限 .重排不轉(zhuǎn)變數(shù)列

4、斂散性:3. 數(shù)列極限的等價(jià)定義 :對(duì)任有理數(shù)對(duì)任正整數(shù)(六)無窮小數(shù)列 :定義.th2.1數(shù)列極限與無窮小數(shù)列的關(guān)系 .§ 2收斂數(shù)列的性質(zhì)( 4 學(xué)時(shí))教學(xué)目的 :熟識(shí)收斂數(shù)列的性質(zhì);把握求數(shù)列極限的常用方法;教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) :迫斂性定理及四就運(yùn)算法就及其應(yīng)用,數(shù)列極限的運(yùn)算;教學(xué)時(shí)數(shù) : 4 學(xué)時(shí)一.收斂數(shù)列的性質(zhì) :1.極限唯獨(dú)性: (證 )2.收斂數(shù)列有界性收斂的必要條件: ( 證 )3.收斂數(shù)列保號(hào)性:th 1設(shè)如就( 證 )系 1設(shè)如,(留意4.迫斂性 雙逼原理 :th 2雙逼原理 .證 5.th 3肯定值收斂性 :系設(shè)數(shù)列 和 收斂,就“ =” ;并留意和的情形 ).

5、系 2設(shè)或.就對(duì) 或 或系 3如就對(duì)肯定值收斂性見后 .留意反之不正確 .證 證明用到以下 6 所述極限的運(yùn)算性質(zhì) .6. 四就運(yùn)算性質(zhì) :th 4四就運(yùn)算性質(zhì) ,其中包括常數(shù)因子可提到極限號(hào)外.證 7. 子列收斂性 :子列概念 .th 5 數(shù)列收斂充要條件 收斂 的任何子列收斂于同一極限 .th 6 數(shù)列收斂充要條件 收斂子列 和 收斂于同一極限 .th 7數(shù)列收斂充要條件 收斂子列 、 和都收斂.簡(jiǎn)證 二.利用數(shù)列極限性質(zhì)求極限 :兩個(gè)基本極限: 1利用四就運(yùn)算性質(zhì)求極限: 例 1註: 關(guān)于的有理分式當(dāng)時(shí)的極限情形例 2填空:例 3例 42.雙逼基本技法 :大小項(xiàng)雙逼法,參閱 4p53.例

6、 5求以下極限 :例 6例 7求證例 8設(shè)存在.如就三.利用子列性質(zhì)證明數(shù)列發(fā)散 :例 9證明數(shù)列發(fā)散.§ 3收斂條件( 4 學(xué)時(shí))教學(xué)目的 :使同學(xué)把握判定數(shù)列極限存在的常用工具;教學(xué)要求 :1. 把握并會(huì)證明單調(diào)有界定理,并會(huì)運(yùn)用它求某些收斂數(shù)列的極限;2. 初步懂得 cauchy 準(zhǔn)就在極限理論中的主要意義,并逐步會(huì)應(yīng)用cauchy 準(zhǔn)就判定某些數(shù)列的斂散性;教學(xué)重點(diǎn) :?jiǎn)握{(diào)有界定理、 cauchy 收斂準(zhǔn)就及其應(yīng)用;教學(xué)難點(diǎn) :相關(guān)定理的應(yīng)用;教學(xué)方法 :講練結(jié)合;一數(shù)列收斂的一個(gè)充分條件 單調(diào)有界原理: 回憶單調(diào)有界數(shù)列 . th 1單調(diào)有界定理 .證 例 1設(shè)證明數(shù)列 收

7、斂.例 2重根號(hào) , 證明數(shù)列 單調(diào)有界 ,并求極限 .例 3求運(yùn)算的逐次靠近法 ,亦即迭代法 .解 由均值不等式 ,有有下界;留意到對(duì)有有,二、 收斂的充要條件 cauchy 收斂準(zhǔn)就:1. cauchy 列:2. cauchy 收斂準(zhǔn)就: th 2數(shù)列收斂,( 或數(shù)列收斂,th 2 又可表達(dá)為:收斂列就是 cauchy列. 此處“就是”懂得為“等價(jià)于”.簡(jiǎn)證必要性 例 4證明: 任一無限十進(jìn)小數(shù)的不足近似值所組成的數(shù)列收斂.其中是中的數(shù).證 令有例 5設(shè)試證明數(shù)列收斂.三.關(guān)于極限證明留在下節(jié)進(jìn)行 .例 6例 7例 8四.數(shù)列單調(diào)有界證法觀賞 :cauchy 1789 1857 最先給出這

8、一極限, riemann(18261866)最先給出以下證法一 .證法一 ( riemann 最先給出這一證法) 設(shè)應(yīng)用二項(xiàng)式綻開,得,+留意到且比多一項(xiàng)即.有界.綜上,數(shù)列 單調(diào)有界 .評(píng)註:該證法樸實(shí)而穩(wěn)健 ,不失大將風(fēng)度 .證法二利用 bernoulli不等式 留意到 bernoulli不等式為正整數(shù) ,有由利用 bernoulli不等式, 有.為證 上方有界 ,考慮數(shù)列可類證.事實(shí)上, 此處利用了 bernoulli不等式 .明顯有有即數(shù)列 有上界.評(píng)註:該證法的特點(diǎn)是驚而無險(xiǎn),恰到好處 .證法三利用均值不等式 在均值不等式 中,令就有即.令可仿上證得時(shí), 時(shí)無意義 ,時(shí)諸=,不能用均值不等式 . 當(dāng)時(shí),由由.< 4.證

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