2022年數(shù)學(xué)分析教案(第一章)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)（ 12 學(xué)時(shí)）§實(shí)數(shù)教學(xué)目的 ：使同學(xué)把握實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)教學(xué)重點(diǎn) ：（）懂得并嫻熟運(yùn)用實(shí)數(shù)的有序性、稠密性和封閉性；（）牢記并嫻熟運(yùn)用實(shí)數(shù)肯定值的有關(guān)性質(zhì)以及幾個(gè)常見的不等式（它們是分析論證的重要工具）教學(xué)難點(diǎn) ：實(shí)數(shù)集的概念及其應(yīng)用學(xué)時(shí)支配 : 2 學(xué)時(shí)教學(xué)方法 ：講授（部分內(nèi)容自學(xué)） 教學(xué)程序 ：引言上節(jié)課中，我們與大家共同探討了分析這門旅程的爭論對象、主要內(nèi)容等話題從本節(jié)課開頭， 我們就基本依據(jù)教材次序給大家介紹這門課程的主要內(nèi)容第一， 從大家都較為熟識的實(shí)數(shù)和函數(shù)開頭 問題 為什么從“實(shí)數(shù)”開頭答：數(shù)學(xué)分析爭論的基本對象是函數(shù)，但這里的“函

2、數(shù)”是定義在“實(shí)數(shù)集”上的（復(fù)變函數(shù) 爭論的是定義在復(fù)數(shù)集上的函數(shù)）為此， 我們要先明白一下實(shí)數(shù)的有關(guān)性質(zhì)一 實(shí)數(shù)及其性質(zhì)有理數(shù)正分?jǐn)?shù),q 負(fù)分?jǐn)?shù),p p, q為整數(shù)且q 0 或有限小數(shù)和無限小數(shù).、實(shí)數(shù)無理數(shù): 用無限不循環(huán)小數(shù)表示 .rx | x為實(shí)數(shù)全體實(shí)數(shù)的集合 問題 有理數(shù)， 無理數(shù)的表示不統(tǒng)一， 這對統(tǒng)一爭論實(shí)數(shù)是不利的為以下爭論的需要，我們把“有限小數(shù)” （包括整數(shù)）也表示為“無限小數(shù)”為此作如下規(guī)定：對于正有限小數(shù)xa0a1an , 其中 0ai9,i1,2,n, an0,a0為非負(fù)整數(shù) ，記xa0a1a1n9999；對于正整數(shù)xa0 ,就記 xa01.9999；對于負(fù)有限小數(shù)

3、（包括負(fù)整數(shù)） y ，就先將y 表示為無限小數(shù)，現(xiàn)在所得的小數(shù)之前加負(fù)號0.0000例： 2.0012.000999932.99992.0012.00999932.9999利用上述規(guī)定， 任何實(shí)數(shù)都可用一個(gè)確定的無限小數(shù)來表示但新的問題 又顯現(xiàn)了： 在此規(guī)定下，如何比較實(shí)數(shù)的大小？兩實(shí)數(shù)大小的比較1） 定義給定兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)xa0a1an， yb0b1bn.其中a0 , b0 為非負(fù)整數(shù)，ak , bk k1,2,為整數(shù)， 0ak9,0b k9 如有 akb k ,k1,2,，就稱 x 與 y 相等，記為 xy ；如 a0b0 或存在非負(fù)整數(shù) l ，使得 akbk , k1,2, l ，而al

4、1bl 1，就稱 x 大于 y 或 y 小于 x ，分別記為 xy 或 yx 對于負(fù)實(shí)數(shù) x 、 y ，如按上述規(guī)定分別有xy 或 xy ，就分別稱為xy 與 xy （或 yx ）規(guī)定 ：任何非負(fù)實(shí)數(shù)大于任何負(fù)實(shí)數(shù)2） 實(shí)數(shù)比較大小的等價(jià)條件（通過有限小數(shù)來比較）定義 （ 不足近似與過剩近似 ）： xa0a1an為非負(fù)實(shí)數(shù)， 稱有理數(shù)xa0a1an為 實(shí) 數(shù) x 的 n 位 不 足 近 似 ；xnxn110n稱 為 實(shí) 數(shù) x 的 n 位 過 剩 近 似 ； 對 于 實(shí) 數(shù)xa aa1xa0a1an， 其 n 位 不 足 近 似n0 1n10n； n 位 過 剩 近 似xna0a1an.注：

5、實(shí)數(shù) x 的不足近似xn 當(dāng) n增大時(shí)不減， 即有 x0x1x2x; 過剩近似xn 當(dāng) n增大時(shí)不增，即有x0x1xx 命題 ：記xa0a1an， yb0b1bn為兩個(gè)實(shí)數(shù)，就 xy 的等價(jià)條件是：存在非負(fù)整數(shù) n，使 xnyn （其中xn 為 x的 n 位不足近似，yn 為 y 的 n 位過剩近似） 命題應(yīng)用 例例 設(shè) x, y為實(shí)數(shù)， xy ，證明存在有理數(shù)r ，滿意 xry 證由 xy ，知：存在非負(fù)整數(shù)n，使得 xn為有理數(shù)，且yn 令r1xynn2，就 rxxnryny 即 xry 實(shí)數(shù)常用性質(zhì)（詳見附錄 ）封閉性 （實(shí)數(shù)集對, ,）四就運(yùn)算是封閉的即任意兩個(gè)實(shí)數(shù)的和、差、積、商（除

6、數(shù)不為）仍是實(shí)數(shù)有序性 ：任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a, b 必滿意以下關(guān)系之一：ab, ab, ab 傳遞性 ； ab,bcac 阿基米德性 ：a,br, ba0nn 使得 nab 例設(shè)稠密性 ：兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)之間總有另一個(gè)實(shí)數(shù) 實(shí)數(shù)集與數(shù)軸上的點(diǎn)有著一一對應(yīng)關(guān)系a,br ，證明：如對任何正數(shù)，有 ab，就 ab （提示：反證法利用“有序性”，取ab ）二 、肯定值與不等式（分析論證的基本工具） 肯定值的定義| a |a,a0實(shí)數(shù) a 的肯定值的定義為aa0 幾何意義：從數(shù)軸看，數(shù)a 的肯定值 | a | 就是點(diǎn) a 到原點(diǎn)的距離熟識到這一點(diǎn)特別有用，與此相應(yīng)， | xa | 表示就是數(shù)軸上點(diǎn)x 與 a

7、之間的距離 性質(zhì)） | a | |a |0;| a |0a0 （非負(fù)性）；）| a |a| a |；） | a |hhah ， | a |hhah. h0 ；）對任何a,br 有 | a | b | | ab | | a | b |（三角不等式） ；a） | ab | | a | |b | ；） b練習(xí) | a | b | （ b0 ）課堂小結(jié) ：實(shí)數(shù)：一 實(shí)數(shù)及其性質(zhì)二 肯定值與不等式 .§數(shù)集和確界原理教學(xué)目的 ：使同學(xué)把握確界原理，建立起實(shí)數(shù)確界的清楚概念；教學(xué)要求：（）把握鄰域的概念；（ 2）懂得實(shí)數(shù)確界的定義及確界原理，并在有關(guān)命題的證明中正確地加以運(yùn)用；教學(xué)重點(diǎn) ：確界的

8、概念及其有關(guān)性質(zhì)（確界原理）；教學(xué)難點(diǎn) ：確界的定義及其應(yīng)用；學(xué)時(shí)支配 : 4 學(xué)時(shí)教學(xué)方法 ：講授為主教學(xué)程序 ：先通過練習(xí)形式復(fù)習(xí)上節(jié)課的內(nèi)容，以檢驗(yàn)學(xué)習(xí)成效，此后導(dǎo)入新課；引言上節(jié)課中我們對數(shù)學(xué)分析爭論的關(guān)鍵問題作了簡要爭論；此后又讓大家自學(xué)了第一章§ 實(shí)數(shù)的相關(guān)內(nèi)容；下面，我們先來檢驗(yàn)一下自學(xué)的成效如何！證明： 對任何 xr 有（）| x1| x2 |1 ；（）| x1| x2 | x3|2 .證明： | x |y | xy | .設(shè)a,br ，證明：如對任何正數(shù)有 ab，就 ab .設(shè)x, yr, xy ，證明：存在有理數(shù)r 滿意 yrx .引申 ：由題可聯(lián)想到什么樣的結(jié)論

9、呢？這樣摸索是做科研時(shí)的常常的思路之一；而不要做完就完了！ 而要多想想， 能否詳細(xì)問題引出一般的結(jié)論：一般的方法？由上述幾個(gè)小題可以體會出“高校數(shù)學(xué)”習(xí)題與中學(xué)的不同；理論性強(qiáng)，概念性強(qiáng)，推理有理有據(jù)，而非憑空想象； 課后未布置作業(yè)的習(xí)題要盡可能多做，以加深懂得， 語言應(yīng)用； 提請留意這種差別，盡快把握本門課程的術(shù)語和工具（至此，復(fù)習(xí)告一段落）；本節(jié)主要內(nèi)容 ： 先定義實(shí)數(shù)集中的兩類主要的數(shù)集區(qū)間鄰域；爭論有界集與無界集；由有界集的界引出確界定義及確界存在性定理（確界原理）；一 區(qū)間與鄰域區(qū)間（用來表示變量的變化范疇）設(shè) a, br 且 ab ；開區(qū)間:xr| axba, b有限區(qū)間閉區(qū)間:x

10、r | axb a, b.半開半閉區(qū)間閉開區(qū)間: xr | axba,b開閉區(qū)間:區(qū)間xr| axba,bxr| xa a,.xr| xa, a.無限區(qū)間xxr| xr| xaaa,., a.鄰域xr|xr.聯(lián)想：“鄰居”；字面意思： “鄰近的區(qū)域” ；（看左圖）；與 a 鄰近的“區(qū)域”許多， 究竟哪一類是我們所要講的“鄰域”呢？就是“關(guān)于 a 的對稱區(qū)間” ；如何用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)呢？（） a 的鄰域 ：設(shè)ar,0 ，滿意不等式 | xa |的全體實(shí)數(shù) x 的集合稱為點(diǎn) a 的鄰域，記作u a;，或簡記為u a ，即u a;（） 點(diǎn) a 的空心鄰域x | xa |a, a .u o a;x 0

11、| xa |a, a a, au o a.（） a 的右鄰域和點(diǎn) a 的空心右鄰域u a; a, au ax axa;u 0 a;a, au 0 ax axa.（） 點(diǎn) a 的左鄰域和點(diǎn) a 的空心左鄰域ua; a, au ax axa ;u 0 a;a, au 0 ax axa .（）鄰域，鄰域，鄰域u x | x |m,（ 其 中 為充 分 大 的 正 數(shù) ） ；u x xm, u x xm二 有界集與無界集什么是“界”？定義 （ 上、下界 ）： 設(shè) s 為 r 中的一個(gè)數(shù)集； 如存在數(shù)m l ，使得一切 xs都有 xm xl ，就稱為 有上（下）界的數(shù)集 ；數(shù)m l稱為的 上界（下界）

12、；如數(shù)集既有上界，又有下界，就稱為有界集 ；如數(shù)集不是有界集，就稱為無界集；注：）上（下）界如存在，不唯獨(dú)；）上（下）界與的關(guān)系如何？看下例：例 1爭論數(shù)集nn | n為正整數(shù) 的有界性；分析：有界或無界上界、下界？下界明顯有，如取要證明；l1 ；上界好像無，但需解：任取 n0n ，明顯有n01 ，所以 n 有下界；但 n 無上界；證明如下：假設(shè) n 有上界 m,就 m>0，按定義，對任意 n0n ，都有 n0m ，這是不行能的，如取 n0 m 1,就 n0n ，且 n0m .綜上所述知：n 是有下界無上界的數(shù)集，因而是無界集；例 2證明：（）任何有限區(qū)間都是有界集；（）無限區(qū)間都是無界

13、集； （） 由有限個(gè)數(shù)組成的數(shù)集是有界集； 問題 ：如數(shù)集有上界，上界是唯獨(dú)的嗎？對下界呢？ 答：不唯獨(dú)，有無窮多個(gè) ；三 確界與確界原理、定義定義 （上確界 ） 設(shè)是中的一個(gè)數(shù)集，如數(shù)滿意： 1 對一切xs, 有 x（即 是的上界） ; 2對任何，存在 x0s ，使得 x0（即是的上界中最小的一個(gè)），就稱數(shù)為數(shù)集的 上確界 ，記作sup s.定義（下確界 ）設(shè)是中的一個(gè)數(shù)集，如數(shù)滿意：（）對一切xs, 有 x（即 是的下界） ；（）對任何，存在 x0s ，使得 x0（即是的下界中最大的一個(gè)），就稱數(shù)為數(shù)集的 下確界 ，記作inf s .上確界與下確界統(tǒng)稱為確界；教學(xué)目的 ：使同學(xué)深刻懂得函數(shù)

14、概念；§ 函數(shù)概念教學(xué)要求 ：（）深刻懂得函數(shù)的定義以及復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)和初等函數(shù)的定義，熟識函數(shù) 的各種表示方法； （）牢記基本初等函數(shù)的定義、性質(zhì)及其圖象；會求初等函數(shù)的存在域，會分析初等函數(shù)的復(fù)合關(guān)系；教學(xué)重點(diǎn) ：函數(shù)的概念；教學(xué)難點(diǎn) ：初等函數(shù)復(fù)合關(guān)系的分析；學(xué)時(shí)支配 : 2 學(xué)時(shí)教學(xué)方法 ：課堂講授，輔以提問、練習(xí)、部分內(nèi)容可自學(xué)；教學(xué)程序 ：引言：關(guān)于函數(shù)概念，在中學(xué)數(shù)學(xué)中已有了初步的明白；為便于今后的學(xué)習(xí)，本節(jié)將對此作進(jìn)一步爭論；一 函數(shù)的定義 定義設(shè)d, mr ，假如存在對應(yīng)法就f ，使對xd ，存在唯獨(dú)的一個(gè)數(shù)ym 與之對應(yīng)，就稱f 是定義在數(shù)集上的函數(shù)，記作f :

15、 dm x |y .函數(shù) f 在點(diǎn) x的函數(shù)值，記為f x ，全體函數(shù)值的集合稱為函數(shù)f 的值域 ，記作f d ；即 幾點(diǎn)說明f dy | yfx, xd ；（ 1）函數(shù)定義的記號中 “f : dm ”表示按法就 f 建立到的函數(shù)關(guān)系，x |y表示這兩個(gè)數(shù)集中元素之間的對應(yīng)關(guān)系，也記作量；x |f x ；習(xí)慣上稱 x 自變量， y 為因變（ 2） 函數(shù)有三個(gè)要素，即定義域、對應(yīng)法就和值域；當(dāng)對應(yīng)法就和定義域確定后，值域便自然確定下來； 因此，函數(shù)的基本要素為兩個(gè)：定義域和對應(yīng)法就；所以函數(shù)也常表示為： yf(x) , xd . 由此，我們說兩個(gè)函數(shù)相同，是指它們有相同的定義域和對應(yīng)法就；例如：

16、 1） 同）f x1, xr,g x1, xr0 . （不相同，對應(yīng)法就相同，定義域不2） x| x |, xr,xx2 , xr.（相同，對應(yīng)法就的表達(dá)形式不同）；（ 3）函數(shù)用公式法（解析法）表示時(shí)，函數(shù)的定義域常取使該運(yùn)算式子有意義的自變量的全體，通常稱為存在域（自然定義域）；此時(shí)，函數(shù)的記號中的定義域可省略不寫，而只用對應(yīng)法就f 來表示一個(gè)函數(shù)；即“函數(shù)yf x ”或“函數(shù) f ”；（ 4）“映射”的觀點(diǎn)來看，函數(shù)f 本質(zhì)上是映射，對于ad ，f a 稱為映射 f 下 a的象； a稱為f a 的原象；（ 5）函數(shù)定義中， x d ，只能有唯獨(dú)的一個(gè) y 值與它對應(yīng)，這樣定義的函數(shù)稱為“

17、單值函數(shù)” ，如對同一個(gè) x 值，可以對應(yīng)多于一個(gè) y 值，就稱這種函數(shù)為多值函數(shù)；本書中只爭論單值函數(shù)（簡稱函數(shù)） ；（）定義中的定義是 cauchy 于 1834 年給出；不是完善的、現(xiàn)代意義上的函數(shù)定義；事實(shí)上，函數(shù)定義的產(chǎn)生也經(jīng)受了一個(gè)從無到有，從詳細(xì)到抽象；從特殊到一般，從不完善到逐步完善的過程；這個(gè)進(jìn)程中布滿了斗爭；歷史上，原始的“函數(shù)觀念”相伴著數(shù)學(xué)的顯現(xiàn)而產(chǎn)生，經(jīng)過近兩個(gè)世紀(jì)，明確提出“函數(shù)”一詞，并將其作為數(shù)學(xué)概念爭論，就在世紀(jì)以后，現(xiàn)代函數(shù)定義是在年，就庫拉托夫斯基給出；定義如下：設(shè) f 是一個(gè)序偶集合，如當(dāng)x, yf 時(shí)， yz，就 f 稱為一個(gè)函數(shù) ；（朱家麟 淺談函數(shù)

18、概念的歷史演講 ，河北師范高校學(xué)報(bào) ，1990 年第期）二 函數(shù)的表示方法1 主要方法 ：解析法（分式法） 、列表法和圖象法；2 可用“特殊方法”來表示的函數(shù)；（）分段函數(shù) ：在定義域的不同部分用不同的公式來表示；例如s g xn1 x, 0x0 ,01 ,x，0（符號函數(shù)）（借助于 sgnx 可表示f x| x |, 即f x| x |x sgn x ）；（） 用語言表達(dá)的函數(shù) ；（留意；以下函數(shù)不是分段函數(shù)）例） y x （取整函數(shù)）1,當(dāng)x為有理數(shù),d x）0,當(dāng)x為無理數(shù),（ irichlet ）1 ,當(dāng)xp p, qn, p 為假分?jǐn)?shù) ,r xqqq）三 函數(shù)的四就運(yùn)算0,當(dāng)x0,1

19、和0,1內(nèi)的無理數(shù).（ riemman 函數(shù)）給定兩個(gè)函數(shù)f , xd1, g, xd2 ，記dd1d2 ，并設(shè) d，定義 f 與 g 在上的和、差、積運(yùn)算如下：f xf xg x, xd ； g xf xg x, xd ；h xf x gx, xd .如在中除去使g x0 的值， 即令ddx g x0, xd2，可在 d 上定l xf x , xd義 f 與 g 的商運(yùn)算如下；g x.注：）如d d1d2，就 f 與 g 不能進(jìn)行四就運(yùn)算；）為表達(dá)便利，函數(shù)ff 與 g 的和、差、積、商常分別寫為：四 復(fù)合運(yùn)算引言fg,fg,fg,g .在有些實(shí)際問題中函數(shù)的自變量與因變量通過另外一些變量才

20、建立起它們之間的對應(yīng)關(guān)系；例：質(zhì)量為 m 的物體自由下落，速度為v，就功率為e1 mv22vgte1 mg2t22.抽去該問題的實(shí)際意義，我們得到兩個(gè)函數(shù)即得f v1 mv2 , vgt2 ，把vt 代入 f ，f vt 1 mg2t 22.這樣得到函數(shù)的過程稱為“函數(shù)復(fù)合”，所得到的函數(shù)稱為“復(fù)合函數(shù)”；問題 任給兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合嗎？考慮下例；yf uarcsinu, ud1,1,ug x2x2 , xer.就不能復(fù)合，結(jié)合上例可見，復(fù)合的前提條件是“內(nèi)函數(shù)”的值域與“外函數(shù)”的定義域的交集不空（從而引出下面定義） ；2 定 義 （ 復(fù) 合 函 數(shù) ）設(shè) 有 兩 個(gè) 函 數(shù)yf u , u

21、d, ug x, xe ， 記e x fxde ，如 e，就對每一個(gè) xe ，通過 g 對應(yīng)內(nèi)唯獨(dú)一個(gè)值u ，而 u 又通過 f 對應(yīng)唯獨(dú)一個(gè)值y ，這就確定了一個(gè)定義在e 上的函數(shù)， 它以 x 為自變量， y因變量， 記作yf g x,xe 或 y fg x, xe ；簡記為 fg ；稱為函數(shù) f 和 g的復(fù)合函數(shù) ，并稱 f 為外函數(shù) ， g 為內(nèi)函數(shù) ， u 為中間變量 ；3. 例子例 1爭論函數(shù)復(fù)合，求復(fù)合函數(shù)；4說明yf uu , u0, 與函數(shù)ugx1x2 , xr 能否進(jìn)行）復(fù)合函數(shù)可由多個(gè)函數(shù)相繼復(fù)合而成；每次復(fù)合， 都要驗(yàn)證能否進(jìn)行？在哪個(gè)數(shù)集上進(jìn)行？復(fù)合函數(shù)的最終定義域是什

22、么？例如： ysin u,uv,v1x2 ，復(fù)合成： ysin1x2 , x1,1.）不僅要會復(fù)合，更要會分解；把一個(gè)函數(shù)分解成如干個(gè)簡潔函數(shù)，在分解時(shí)也要留意定義域的變化； ylog a1x2 , x0,1ylog a u,uz, z1x2 .22 yarcsinx1yarcsinu,ux1.sin 2 xu2 y2五、反函數(shù)y2 , uv , vsin x.引言 在函數(shù)yf x 中把 x叫做自變量， y 叫做因變量； 但需要指出的是， 自變量與因變量的位置并不是肯定的，而是相對的， 例如： 來講是自變量，但對t 來講， u 是因變量；f uu , ut 21, 那么 u 對于 f習(xí)慣上說函

23、數(shù)yf x 中 x 是自變量， y 是因變量， 是基于 y 隨 x 的變化現(xiàn)時(shí)變化；但有時(shí)我們不公要爭論y 隨 x 的變化狀況，也要爭論x隨 y 的變化的狀況；對此，我們引入反函數(shù)的概念；反函數(shù)概念設(shè)函數(shù)yf x, xd ；滿意：對于值域f d中的每一個(gè)值 y ，中有且只有一個(gè)值 x ，使得f xy ，就按此對應(yīng)法就得到一個(gè)定義在f d 上的函數(shù)，稱這個(gè)函數(shù)為 f 的反函數(shù) ，記作注釋f 1 :f dd, y |x 或 xf1 y, yf(d) .a) 并不是任何函數(shù)都有反函數(shù)，從映射的觀點(diǎn)看，函數(shù)f 有反函數(shù)，意味著f 是與 f d之間的一個(gè)一一映射，稱f 1為映射 f 的逆映射，它把f d

24、 d ；b) 函數(shù)f與f 1互為反函數(shù)，并有: f1 f xx, xd,f f1 xy, yf d.c) 在反函數(shù)的表示xf 1 y, yf d 中，是以 y 為自變量， x 為因變量；如按f1習(xí)慣做法用 x 做為自變量的記號，y 作為因變量的記號，就函數(shù)f 的反函數(shù)可以改寫為1yf x, xf d .應(yīng)當(dāng)留意，盡管這樣做了，但它們的表示同一個(gè)函數(shù)，由于其定義域和對應(yīng)法就相同， 僅是所用變量的記號不同而已；但它們的圖形在同一坐標(biāo)系中畫出時(shí)有所差別；六 初等函數(shù)1. 基本初等函數(shù)（類）常量函數(shù)yc （為常數(shù)） ；冪函數(shù)yx r ；指數(shù)函數(shù)yax a0, a1；對數(shù)函數(shù)yl oag xa0a, ；

25、三角函數(shù)ys i nx,yc ox s y ,t g x, y；t g x反三角函數(shù)ya r c s xi ny,a rx cyc o asr ,c t g x；ya r c c t g x注：冪函數(shù)yx r 和指數(shù)函數(shù)yax a0,a1都涉及乘冪，而在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中只給了有理指數(shù)乘冪的定義；下面我們借助于確界來定義無理指數(shù)冪，便它與有理指數(shù)冪一起構(gòu)成實(shí)指數(shù)乘冪，并保持有理批數(shù)冪的基本性質(zhì)；定義 給定實(shí)數(shù) a0, a1，設(shè) x 為無理數(shù)，我們規(guī)定：supaxr xar | r為有理數(shù),當(dāng)a1時(shí),infr<xar | r為有理數(shù),當(dāng)0a1時(shí).問題 ：這樣的定義有意義否？更明確一點(diǎn)相應(yīng)的“確

26、界是否存在呢？” 初等函數(shù)定義 由基本初等函數(shù) 經(jīng)過在 有限次四就運(yùn)算 與復(fù)合運(yùn)算 所得到的函數(shù)， 統(tǒng)稱為 初等函數(shù)y2sin xcos2x, y1sin, yl o ga xesin x 21 , y| x |.如：xx不是初等函數(shù)的函數(shù)，稱為非初等函數(shù) ；如 dirichlet 函數(shù)、 riemann 函數(shù)、取整函數(shù)等都是非初等函數(shù)；注：初等函數(shù)是本課程爭論的主要對象；為此，除對基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)應(yīng)嫻熟把握外，仍應(yīng)常握確定初等函數(shù)的定義域；確定定義域時(shí)應(yīng)留意兩點(diǎn)；例 求以下函數(shù)的定義域；（）yxx1 ；（）yln |sinx |.§4 具有某些特性的函數(shù)教學(xué)目的與要求1.

27、懂得函數(shù)的有界性、單調(diào)性、 奇偶性、 周期性 .并利用定義證明函數(shù)是否具有有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性.2. 把握有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、奇（偶）函數(shù)、周期函數(shù)的圖形特點(diǎn)，并加以合理地應(yīng)用 .教學(xué)重點(diǎn) : 有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、奇（偶）函數(shù)、周期函數(shù)的概念 . 教學(xué)難點(diǎn) : 有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、奇（偶）函數(shù)、周期函數(shù)的概念 . 學(xué)時(shí)支配 : 2 學(xué)時(shí)教學(xué)方法 ：課堂講授，輔以提問、練習(xí)、部分內(nèi)容可自學(xué)；教學(xué)程序 ：一有界函數(shù)定義 1設(shè) f 為定義在 d 上的函數(shù)如存在數(shù)ml ，使得對每一個(gè) xd 有f xm f xl ，就稱 f 為 d 上的 有上 下 界函數(shù) ， ml 稱為 f 在 d 上的一個(gè)

28、 上下界依據(jù)定義， f 在 d 上有上 下界，意味著值域 f d 是一個(gè)有上 下界的數(shù)集 又如 ml為 f 在 d 上的上 下界，就任何大于 小于 ml 的數(shù)也是f 在 d 上的上 下界定義 2設(shè) f 為定義在 d 上的函數(shù)如存在正數(shù)m ，使得對每一個(gè) xd 有就稱 f 為 d 上的 有界函數(shù) f xm ，1依據(jù)定義，f 在 d 上有界，意味著值域f d是一個(gè)有界集又按定義不難驗(yàn)證：f在 d 上有界的充要條件是f 在 d 上既有上界又有下界1式的幾何意義是：如f 為 d 上的有界函數(shù)，就f 的圖象完全落在直線ym 與 ym 之間例如，正弦函數(shù)sinx 和余弦函數(shù)cosx 為 r 上的有界函數(shù)，

29、由于對每一個(gè)xr 都有sin x1和 cosx1 .關(guān)于函數(shù) f 在數(shù)集 d 上無上界、無下界或無界的定義，可按上述相應(yīng)定義.的否定說法來表達(dá)例如，設(shè)f 為定義在 d 上的函數(shù)，如對任何m 無論 m 多大 ，都存在xd ，使得f x0 m ，就稱 f 為 d 上的無上界函數(shù) f x1例 1 證明x為 0,1 上的無上界函數(shù).證 對任何正數(shù) m ，取0,1 上一點(diǎn)x10m1 ，就有1f x0 m1x0m .故按上述定義，f 為 0,1 上的無上界函數(shù)前面已經(jīng)指出， f 在其定義域 d 上有上界， 是指值域 f d 為有上界的數(shù)集 于是由確界原理，數(shù)集f dfsupf xf 在有上確界通常，我們把

30、d 的上確界記為 x d，并稱之為d 上的上確界類似地，如f 在其定義域 d 上有下界，就 f 在 d 上的下確界記為inff xx d例 2設(shè) f ， g 為 d 上的有界函數(shù) .證明：inff xinf g xinf f xg x(i) x dx dx d；supf xg xsup f xsup g x(ii) x dx dx d證i 對任何 xd 有inff xf x, infg xg xinff xinf g xf xgxx dx dx dx d上式說明，數(shù)inff xinfg xf是函數(shù)g 在 d 上的一個(gè)下界，從而xdxdinff xinf g xinf f xg xx dx dx

31、 dii 可類似地證明 略注例 2 中的兩個(gè)不等式，其嚴(yán)格的不等號有可能成立例如，設(shè)f xx, g xx, x1,1 ，inff xinfg x1, sup fxsupg x1,而就有 |x| 1|x| 1|x| 1|x| 1inf f xgxsupf xg x0.|x| 1|x| 1二單調(diào)函數(shù)定義 3設(shè) f 為定義在 d 上的函數(shù)如對任何x1, x2d ,當(dāng)x1x2 時(shí)，總 有（ i）f x1 f x2 , 就稱 f 為 d 上的增函數(shù) ，特殊當(dāng)成立嚴(yán)格不等式f x1 f x2 時(shí)，稱 f 為 d 上的嚴(yán)格增函數(shù) ；iif x1 f x2，就稱 f 為 d 上的 減函數(shù) ，特殊當(dāng)成立嚴(yán)格不等

32、式f x1f x2 時(shí)，稱 f 為 d 上的嚴(yán)格減函數(shù) ；3增函數(shù)和減函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù) ，嚴(yán)格增函數(shù)和嚴(yán)格減函數(shù)統(tǒng)稱為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù) 例3函數(shù) yx 在 r 上是嚴(yán)格增的由于對任何，x1, x2r,當(dāng) x1x2 時(shí)總有3即 x13x2 .33xxx212x1 x2x1 223 x 2 014，例4函 數(shù) y x在 r上 是 增 的 因 為 對 任 何x1x2r ，當(dāng)x1x2 時(shí),明顯有 x1 1x2 但此函數(shù)在 rx1上不是嚴(yán)格增的， 如取0, x22 ，就有 x1 =x2 0，即定義中所要求的嚴(yán)格不等式不成立此函數(shù)的圖象如圖1 3 所示嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)的圖象與任一平行于x 軸的直線至多有一個(gè)交點(diǎn)

33、， 這一特性保證了它必定具有反f函數(shù)定理 12設(shè) yf x, xd 為嚴(yán)格增 減 函數(shù)， 就 f 必有反函數(shù)1 ，且 f1 在其定義域f d上也是嚴(yán)格增 減 函數(shù)證設(shè) f 在 d 上嚴(yán)格增對任一yf d ，有xd 使f xy 下面證明這樣的 x 只能有一個(gè)事實(shí)上，對于d 內(nèi)任一 x1x ，由 f 在 d 上的嚴(yán)格增性，當(dāng)x1x2 時(shí)f x1y ，當(dāng) x1x 時(shí)有f x1 y ，總之f x1 y 這就說明，對每一個(gè)yf d ，都只存在唯獨(dú)的一個(gè)11xd ，使得f xy ，從而函數(shù) f 存在反函數(shù) xf1 y ，yf d現(xiàn)證 f1也是嚴(yán)格增的 任取y1, y2f d ，y1y2 ·設(shè) x1f y1, x2f y2 ，1就 y1f x1, y2f x2 由 y1y2 及 f的 嚴(yán) 格 增 性 ， 顯 然 有x1x2 ， 即1f 1 y f y2 所以反函數(shù)12f是嚴(yán)格增的例 5函數(shù) yx 在 ， 0 上是嚴(yán)格減的，有反函數(shù) 按習(xí)慣記法