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1、學習必備歡迎下載【授課班級】20xx 級數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學(1) (2)班【授課內(nèi)容】第4 節(jié). 群的同態(tài)【教學目標】1、知識與技能(1)掌握群的判定定理同態(tài)定理;(2)掌握群同態(tài)的的性質(zhì)單位元,逆元等。2、過程與方法通過同態(tài)映射建立已知群與未知集合關(guān)系來獲得群的判定方法。3、情感與價值建立同態(tài)映射,使另一集合也成群,體現(xiàn)集合間的內(nèi)在聯(lián)系,體現(xiàn)建構(gòu)主義思想?!窘虒W重點】群的同態(tài)定理【教學難點】群的同態(tài)定理的順序關(guān)系【授課類型】新授課【授課方法 】啟發(fā)式討論式教學過程問題:同態(tài)是一個重要概念,現(xiàn)已學了很多群,有限群,無限群,但結(jié)合律的驗算看似容易,但不易驗算,能否用已知群來使未知集合也成為群呢?回答
2、是可以的。現(xiàn)假設(shè)一個群g 與一個非空集合g,并有代數(shù)運算。定理 1.假定g與g對于它們的乘法來說同態(tài),那么g也是一個群。即gg,g 是群,則g也是群。證明: (1)封閉性,(2)結(jié)合律均滿足。(3)eeaaeaea而eaaeaa(4)1111aaa aa aaa而1a ae,ee1a ae即1a是a的逆元精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁,共 4 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載教學過程例 1:a=a,b,c 0 a b c a a b c b b c a c c a b 要證結(jié)合律較困難,找一個群z,使之與
3、z 同態(tài)。把 z 按 3 來分,分成三類xa若0 (3)xxb若1 (3)xxc若2 (3)x下面分六種情形逐一檢驗(1)0(3)x0 (3)y(2)0(3)x1 (3)y(3)0(3)x2 (3)y(4)1 (3)x0 (3)y(5)1 (3)x1 (3)y(6)1 (3)x2 (3)y僅以第( 6)種情形證明,其余相同。1 (3)xyxcxybccyczaa是一個群。注意:g與g的次序不能隨意調(diào)換即gg則g不一定是群。例 2.所有奇數(shù) gg對普通乘法來說不成群。g=e ee=e 是一個群但:ae是g到 g 的同態(tài)滿射,但g不是群。同態(tài)的性質(zhì)定理 2:假定g 和g是兩個群,在g 到g的一個同
4、態(tài)滿射之下, g 的單位元e的象是g的單位元, g 的元 a的逆元 a-1的象是 a 的象的逆元。若gg兩個單位元互相對應(yīng),互相對應(yīng)的元的逆元互相對應(yīng)。注意:若ggaa,但a不一定等于a的階例 3.g=1,w1,w2 a=e w1=132i1e精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁,共 4 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載: 1we而 w1與 w2的階均為3,e=1 2we精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁,共 4 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載鞏固與提升1.g= 全體正負奇數(shù) 代數(shù)運算是普通乘法。又g=1,-1 關(guān)于數(shù)的普通乘法作成群令:正奇數(shù)1 負奇數(shù)-1 易知gg,g是群,但g 不是群。2.證明g=0,1,2,3, 對代數(shù)運算abr(r 為 a+b 用 4 除所得余數(shù))作成群。證:,(z)xxx是 z 到g的同態(tài)滿射。其中,x為整數(shù) x 用 4 除所得余數(shù)由于 z 是群,g也是群。教學反思一句話感言
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