第八章 立體幾何 第五講 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)課件 理

1、目 錄 contents考情精解讀考點(diǎn)1考點(diǎn)2a.知識(shí)全通關(guān)b.題型全突破c.能力大提升考法1考法2考法4考法3專題考情精解讀考綱解讀命題趨勢(shì)命題規(guī)律考情精解讀1考試大綱1.以立體幾何的有關(guān)定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn),認(rèn)識(shí)和理解空間中線面垂直、面面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理,并能夠證明相關(guān)性質(zhì)定理.2.能運(yùn)用線面垂直、面面垂直的判定及性質(zhì)、定理證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡(jiǎn)單命題. 數(shù)學(xué) 第五講 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)考綱解讀命題規(guī)律考情精解讀1命題趨勢(shì) 數(shù)學(xué) 第五講 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)考點(diǎn)2016全國(guó)2015全國(guó)2014全國(guó)自主命題區(qū)域直線與平面垂直的判定與性質(zhì)【90%】全國(guó),1

2、9()2016浙江,17()2016北京,17()2015北京,17,14分2015江蘇,16(2)2015浙江,17()2014浙江,20,15分2014山東,17,12分2014天津,17()考綱解讀命題規(guī)律考情精解讀3命題趨勢(shì) 數(shù)學(xué) 第五講 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)考點(diǎn)2016全國(guó)2015全國(guó)2014全國(guó)自主命題區(qū)域平面與垂直平行的判定與性質(zhì)【90%】全國(guó),18,12分 全國(guó),18,12分2016江蘇,16(2)2015北京,17()2014江蘇,16(2)考綱解讀命題規(guī)律考情精解讀4返回目錄1.熱點(diǎn)預(yù)測(cè)主要考查線線垂直、線面垂直、面面垂直的判定和性質(zhì)以及線面角、二面角的求法,以選擇

3、題、填空題或解答題的一問(wèn)呈現(xiàn),分值56分.2.趨勢(shì)分析以柱體或錐體為載體,考查推理論證能力和空間想象能力,關(guān)于垂直中的存在性與探索性問(wèn)題在2018年高考復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起重視.命題趨勢(shì) 數(shù)學(xué) 第五講 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)知識(shí)全通關(guān)知識(shí)全通關(guān)1考點(diǎn)一直線與垂直平行的判定與性質(zhì)繼續(xù)學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué) 第五講 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)1.直線與平面垂直的判定定理(1)自然語(yǔ)言:一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直.(2)圖形語(yǔ)言:如圖8-5-1所示. 圖8-5-1(3)符號(hào)語(yǔ)言:a,b,ab=p,la,lbl. 知識(shí)全通關(guān)2 數(shù)學(xué) 第五講 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)繼續(xù)學(xué)習(xí)

4、2.直線與平面垂直的性質(zhì)定理自然語(yǔ)言:垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.圖形語(yǔ)言:如圖8-5-2所示. 圖8-5-2符號(hào)語(yǔ)言:a,bab. 知識(shí)全通關(guān)3 數(shù)學(xué) 第五講 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)繼續(xù)學(xué)習(xí)3.直線與平面所成的角平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫作這條直線和這個(gè)平面所成的角.一條直線垂直于平面,我們說(shuō)它們所成的角是直角;一條直線和平面平行或在平面內(nèi),我們說(shuō)它們所成的角是0角.因此,直線與平面所成的角的范圍是0,90.【注意】斜線在平面上的射影是過(guò)斜足和垂足的一條直線,而不是線段.規(guī)律總結(jié) 1.直線與平面垂直的定義常常逆用,即a,bab.2.若平行直線中一條垂直于平面,則另

5、一條也垂直于該平面.3.垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.4.過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直.5.過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直.知識(shí)全通關(guān)4 數(shù)學(xué) 第五講 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)繼續(xù)學(xué)習(xí)考點(diǎn)2平面與垂直平行的判定與性質(zhì)1.二面角(1)二面角:從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫作二面角. 圖8-5-3(2)二面角的平面角:如圖8-5-3,在二面角-l-的棱l上任取一點(diǎn)p,以點(diǎn)p為垂足,在半平面,內(nèi)分別作垂直于棱l的射線pa和pb,則射線pa和pb構(gòu)成的apb叫作二面角-l-的平面角.二面角的大小可以用它的平面角來(lái)度量,二面角的平面角是多少度,就說(shuō)這個(gè)二面角是多少度.我們規(guī)

6、定,二面角的取值范圍是0,180.平面角是直角的二面角叫作直二面角.知識(shí)全通關(guān)5 數(shù)學(xué) 第五講 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)繼續(xù)學(xué)習(xí)(3)找二面角的平面角的方法垂面法:由二面角的平面角的定義知,只需作與棱垂直的平面,則該平面與兩個(gè)半平面的交線構(gòu)成的角即二面角的平面角.平移法:先分別在兩個(gè)半平面內(nèi)找一條垂直于棱的射線,然后平移到一起,兩射線的夾角即二面角的平面角.知識(shí)全通關(guān)6 數(shù)學(xué) 第五講 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)繼續(xù)學(xué)習(xí)2.平面與平面垂直的判定定理(1)兩個(gè)平面垂直的定義如果兩個(gè)相交平面所成的二面角是直二面角,那么就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.平面與垂直,記作.(2)兩個(gè)平面垂直的判定定理自然語(yǔ)

7、言:一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直.圖形語(yǔ)言:如圖8-5-4所示. 圖8-5-4符號(hào)語(yǔ)言:ab,ab.【注意】平面和平面垂直的判定定理的兩個(gè)條件:l,l,缺一不可.知識(shí)全通關(guān)7 數(shù)學(xué) 第五講 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)繼續(xù)學(xué)習(xí)3.平面與平面垂直的性質(zhì)定理自然語(yǔ)言:兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直.圖形語(yǔ)言:如圖8-5-5所示. 圖8-5-5符號(hào)語(yǔ)言:,=cd,ab,abcdab.知識(shí)全通關(guān)8返回目錄 數(shù)學(xué) 第五講 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)【名師提醒】1.兩個(gè)平面互相垂直是兩個(gè)平面相交的特殊情況,正方體中任意相鄰的兩個(gè)面都是互相垂直的;2.由定理可知

8、,要證明平面與平面垂直,可轉(zhuǎn)化為從現(xiàn)有直線中尋找平面的垂線,即證明線面垂直;3.面面垂直的判定定理提供了找出垂直于一個(gè)平面的另一個(gè)平面的依據(jù).題型全突破考法1線面垂直的判定與性質(zhì)繼續(xù)學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué) 第五講 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)題型全突破1考法指導(dǎo)證明直線與平面垂直的方法:(1)定義法:若一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線,則這條直線垂直于這個(gè)平面(不常用);(2)判定定理(常用方法);(3)若兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面,則另一條也垂直于這個(gè)平面(客觀題常用);(4)若一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面,則它必垂直于另一個(gè)平面(客觀題常用);(5)若兩平面垂直,則在一個(gè)平面內(nèi)

9、垂直于交線的直線必垂直于另一個(gè)平面(常用方法);(6)若兩相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面,則這兩個(gè)平面的交線垂直于第三個(gè)平面(客觀題常用). 數(shù)學(xué) 第五講 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破2考法示例1如圖8-5-10,在abc中,abc=90,d是ac的中點(diǎn),s是abc所在平面外一點(diǎn),且sa=sb=sc.(1)求證:sd平面abc;(2)若ab=bc,求證:bd平面sac.【思路分析】找相交直線證線線垂直 得線面垂直圖8-5-10 數(shù)學(xué) 第五講 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)【解析】繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破3(1)因?yàn)閟a=sc,d是ac的中點(diǎn),所以sdac.在rtabc中,ad=bd,又

10、sa=sb,sd=sd,所以ads bds.所以sdbd.又acbd=d,所以sd平面abc.(2)因?yàn)閍b=bc,d為ac的中點(diǎn),所以bdac.由(1)知sdbd,又sdac=d,所以bd平面sac.【點(diǎn)評(píng)】證明本題的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到兩條相交直線與所證直線垂直. 數(shù)學(xué) 第五講 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破4考法示例2 如圖8-5-11所示,在正方體abcd-a1b1c1d1中,efa1d,efac,求證:efbd1.(1)證明:ghef;(2)若eb=2,求四邊形gefh的面積.圖8-5-11【思路分析】由于直線ef與ac和a1d都垂直,因此可考慮利用平面a1c1d,

11、只需證明bd1平面a1c1d即可. 數(shù)學(xué) 第五講 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)【解析】繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破5如圖8-5-12所示,連接a1c1,c1d,b1d1,bd.因?yàn)閍ca1c1,efac,所以efa1c1.又efa1d,a1da1c1=a1,所以ef平面a1c1d.因?yàn)閎b1平面a1b1c1d1,a1c1平面a1b1c1d1 ,所以bb1a1c1.因?yàn)樗倪呅蝍1b1c1d1為正方形,所以a1c1b1d1.又b1d1bb1=b1,所以a1c1平面bb1d1d.又bd1平面bb1d1d,所以a1c1bd1.同理,dc1bd1,dc1a1c1=c1,所以bd1平面a1c1d.由可知efbd1.

12、【點(diǎn)評(píng)】線面垂直的性質(zhì)定理是證明兩條直線平行的一種重要方法,本題證明efbd1的關(guān)鍵是尋找與直線ef,bd1都垂直的平面圖8-5-12 數(shù)學(xué) 第五講 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破6【突破攻略】 應(yīng)用直線與平面垂直的判定定理證明線面垂直是證明直線與平面垂直的主要方法.充分利用條件尋找平面中的兩條相交直線與已知直線垂直是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.證明時(shí)注意分析幾何圖形,尋找隱含的和題干中能推導(dǎo)出的線線垂直關(guān)系,進(jìn)而證明線面垂直.等腰三角形底邊上的中線,菱形的對(duì)角線,勾股定理等都可以用來(lái)尋找線線垂直.考法2面面垂直的判定與性質(zhì)繼續(xù)學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué) 第五講 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)題型全突破7考

13、法指導(dǎo) 1.證明面面垂直的思路(1)利用面面垂直的定義(不常用);(2)可以考慮證線面垂直,即設(shè)法先找到其中一個(gè)平面的一條垂線,再證這條垂線在另一個(gè)平面內(nèi)或與另一個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行.一般方法:先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線,若圖中存在這樣的直線,則可通過(guò)線面垂直來(lái)證明面面垂直;若圖中不存在這樣的直線,則可通過(guò)作輔助線來(lái)解決(常用方法);(3)性質(zhì):,(客觀題常用). 2.空間垂直關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化 數(shù)學(xué) 第五講 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破8考法示例3 如圖8-5-14,在三棱柱abc-a1b1c1中,aa1平面abc,ab=2aa1=2ac=2,abc=30.(1)求證:平

14、面a1bc平面aa1c1c;(2)若點(diǎn)d是棱ac的中點(diǎn),點(diǎn)f在線段ac1上,且ac1=3fc1,求證:平面b1cf平面a1bd.【思路分析】(1)欲證平面a1bc平面aa1c1c,只需證明bc平面aa1c1c,轉(zhuǎn)化為證明在平面aa1c1c中尋找兩條相交直線與bc垂直;(2)欲證平面b1cf平面a1bd,只需在平面b1cf中尋找兩條相交直線與平面a1bd平行.圖8-5-14 數(shù)學(xué) 第五講 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破9【解析】1)在三棱柱abc-a1b1c1中,因?yàn)閍a1平面abc,bc平面abc,所以aa1bc.在abc中,因?yàn)閍b=2ac=2,且abc=30,根據(jù)正弦定理,

15、得所以sinacb=1,因?yàn)?acb180,所以acb=90,即acbc.又acaa1=a,所以bc平面aa1c1c,因?yàn)閎c平面a1bc,所以平面a1bc平面aa1c1c.sinacbsinabacabc 數(shù)學(xué) 第五講 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破10【解析】(2)設(shè)a1d與ac1交于點(diǎn)e,連接ab1交a1b于點(diǎn)g,連接eg,如圖8-5-15所示,因?yàn)閍da1c1,所以ade=c1a1e,dae=a1c1e,所以adec1a1e,又點(diǎn)d是棱ac的中點(diǎn),所以因?yàn)閍c1=3fc1,所以ae=ef=fc1,所以cfde.因?yàn)閏f 平面a1bd,de平面a1bd,所以cf平面a1b

16、d.因?yàn)辄c(diǎn)g為ab1的中點(diǎn),所以b1fge.又b1f 平面a1bd,ge平面a1bd,所以b1f平面a1bd.因?yàn)閎1fcf=f,所以平面b1cf平面a1bd.圖8-5-1511112aeadc ec a 數(shù)學(xué) 第五講 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破11【突破攻略】面面垂直問(wèn)題,可轉(zhuǎn)化為線面垂直問(wèn)題,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直問(wèn)題,當(dāng)題干中給出的幾何體不是規(guī)則的,且數(shù)據(jù)型條件較多時(shí),比如線段長(zhǎng)度、三角形的內(nèi)角度數(shù)等,一般要通過(guò)計(jì)算證明幾何圖形中隱含的垂直關(guān)系.若給出的幾何體是比較規(guī)則的,如正方體,正四棱錐等,一般要用幾何體的性質(zhì)找出其中的垂直關(guān)系.考法3求直線與平面所成的角繼續(xù)學(xué)習(xí) 數(shù)

17、學(xué) 第五講 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)題型全突破12考法指導(dǎo) 求直線與平面所成角的方法(1)定義法:作,在斜線上選取恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)向平面引垂線,在這一步上確定垂足的位置是關(guān)鍵;證,證明所作的角為直線與平面所成的角,其證明的主要依據(jù)是直線與平面所成角的概念;求,構(gòu)造角所在的三角形,利用解三角形的知識(shí)求角.(2)公式法: (其中h為斜線上除斜足外的任一點(diǎn)到所給平面的距離,l為該點(diǎn)到斜足的距離,為斜線與平面所成的角). sinhl 數(shù)學(xué) 第五講 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破13考法示例4 如圖8-5-17,在四棱錐p-abcd中,底面abcd是矩形,pa平面abcd,pa=ad=2,a

18、b=1,bmpd于點(diǎn)m.(1)求證:ampd;(2)求直線cd與平面acm所成角的余弦值.【思路分析】(1)先證pd平面abm 由此得出ampd(2)作出線面角構(gòu)造一個(gè)直角三角形通過(guò)三角函數(shù)計(jì)算大小圖8-5-17 數(shù)學(xué) 第五講 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破14【解析】(1)因?yàn)?pa平面abcd,ab平面abcd,所以paab.因?yàn)閍bad,adpa=a,ad平面pad,pa平面pad,所以ab平面pad.因?yàn)閜d平面pad,所以abpd.因?yàn)閎mpd,abbm=b,ab平面abm,bm平面abm,所以pd平面abm.因?yàn)閍m平面abm,所以ampd. 數(shù)學(xué) 第五講 直線、平

19、面垂直的判定及其性質(zhì)繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破15【解析】(2)由(1)知,ampd,又pa=ad, 則m是pd的中點(diǎn).在rtpad中,知am=2,在rtcdm中,知mc=所以設(shè)點(diǎn)d到平面acm的距離為h,由vd-acm=vm-acd,得解得h= 設(shè)直線cd與平面acm所成的角為,則 ,所以即直線cd與平面acm所成角的余弦值為【點(diǎn)評(píng)】在計(jì)算線面角的時(shí)候,關(guān)鍵是求出斜線上的某點(diǎn)到平面的距離,當(dāng)這個(gè)距離難以計(jì)算時(shí),可利用“等積變換”法求解.223mddc1622acmsam mc1622acmsam mc636sin3hcd3cos333 數(shù)學(xué) 第五講 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破16

20、【突破攻略】找直線與平面所成的角,關(guān)鍵是找直線上一點(diǎn)到該平面的垂線,要善于利用“若平行直線中的一條垂直于一平面,則另一條也垂直于該平面”.如果直線在已知圖形中沒(méi)有斜足時(shí),可以轉(zhuǎn)化成找與該直線平行的另一條直線(斜足明顯)與該平面所成的角.考法4求二面角繼續(xù)學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué) 第五講 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)題型全突破17考法指導(dǎo)求二面角的方法(1)定義法:在二面角的棱上找一特殊點(diǎn),過(guò)該點(diǎn)在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線,如圖8-5-18(1),aob為二面角-l-的平面角;(2)垂面法:過(guò)棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面,該平面與二面角的兩個(gè)半平面的交線所形成的角即二面角的平面角,如圖8-5-18(2),a

21、ob為二面角-l-的平面角;(3)垂線法(三垂線定理法):過(guò)二面角的一個(gè)半平面內(nèi)一點(diǎn)作另一個(gè)半平面所在平面的垂線,從垂足出發(fā)向棱引垂線,利用三垂線定理(線面垂直的性質(zhì))即可找到所求二面角的平面角或其補(bǔ)角,如圖8-5-18(3),aob為二面角-l-的平面角;(4)利用射影面積公式:cos =s射/s原 ,該法主要用來(lái)解決無(wú)棱二面角大小的計(jì)算,關(guān)鍵在于找出其中一個(gè)半平面內(nèi)的多邊形在另一個(gè)半平面內(nèi)的射影.圖8-5-18 數(shù)學(xué) 第五講 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破18考法示例5 如圖8-5-19,已知三棱錐p-abc中,acb=90,bc=4,ab=20,d為ab的中點(diǎn),且pdb是

22、等邊三角形,papc.(1)求證:平面pac平面abc;(2)求二面角d-ap-c的正弦值.【思路分析】對(duì)于(1),只要證明bc平面pac即可;對(duì)于(2),關(guān)鍵在于找出二面角d-ap-c的平面角.圖8-5-19 數(shù)學(xué) 第五講 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破19【解析】(1)在rtacb中,d是斜邊ab的中點(diǎn),所以bd=da.因?yàn)閜db是等邊三角形,所以bd=dp=bp,則bd=da=dp,因此apb為直角三角形,即pabp.又papc,pcbp=p,所以pa平面pcb.因?yàn)閎c平面pcb,所以pabc.又acbc,paac=a,所以bc平面pac.因?yàn)閎c平面abc,所以平面p

23、ac平面abc. 數(shù)學(xué) 第五講 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破20【解析】(2)由(1)知papb,又papc,故bpc即二面角d-ap-c的平面角.由(1)知bc平面pac,則bcpc.在rtbpc中,bc=4,bp=bd=10,所以sinbpc= , 即二面角d-ap-c的正弦值為, 42105bcbp25返回目錄 數(shù)學(xué) 第五講 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)題型全突破21【突破攻略】 求二面角的大小的關(guān)鍵是作出二面角的平面角,這就需要緊扣它的三個(gè)條件,即這個(gè)角的頂點(diǎn)是否在棱上,角的兩邊是否分別在兩個(gè)平面內(nèi),這兩邊是否都與棱垂直.在具體作圖時(shí),還要注意掌握一些常用的作二面角的

24、平面角的方法與技巧.能力大提升 專題探究 平面圖形的翻折問(wèn)題繼續(xù)學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué) 第五講 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)能力大提升1【示例6】如圖8-5-21,四邊形abcd中,ab=ad=cd=1,bd=,bdcd.將四邊形abcd沿對(duì)角線bd折成四面體abcd,使平面abd平面bcd,則下列結(jié)論正確的是a.acbdb.bac=90c.ca與平面abd所成的角為30d.四面體abcd的體積為1/3圖8-5-13解決平面圖形翻折為空間圖形問(wèn)題的關(guān)鍵是看翻折前后線面位置關(guān)系的變化,根據(jù)翻折的過(guò)程厘清翻折前后位置關(guān)系中沒(méi)有變化的量是哪些、發(fā)生變化的量是哪些,這些不變的量和變化的量反映了翻折后的空間圖形的結(jié)構(gòu)特征,求解問(wèn)題時(shí)要綜合考慮翻折前后的圖形.一般地,翻折后還在同一平面上的線面位置關(guān)系不發(fā)生變化,不在同一個(gè)平面上的線面位置關(guān)系發(fā)生變化【思路分析】翻折前abad，bdcd翻折后垂直關(guān)系不變結(jié)合有關(guān)知識(shí)判斷各選項(xiàng)得出結(jié)論繼續(xù)學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué) 第五講 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)能力大提升2取bd的中點(diǎn)o,連接ao,oc.因?yàn)閍b=ad,所以aobd.又平面abd平面bcd,平面abd平面bcd=bd,所以ao平面bcd.因?yàn)閏dbd,所以oc不垂直于bd.假設(shè)acbd,因?yàn)閛c為ac在平面bcd內(nèi)的射影,所以o