人教a版數(shù)學(xué)【選修1-1】作業(yè)：3.4生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例（含答案）

1、§3.4生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例課時(shí)目標(biāo)通過(guò)用料最省、利潤(rùn)最大、效率最高等優(yōu)化問(wèn)題，使學(xué)生體會(huì)導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際生活中的優(yōu)化問(wèn)題1生活中經(jīng)常遇到求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問(wèn)題，這些問(wèn)題通常稱為_，通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，我們知道_是求函數(shù)最大(小)值的有力工具，運(yùn)用_，可以解決一些生活中的_2解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，要把問(wèn)題中所涉及的幾個(gè)變量轉(zhuǎn)化成函數(shù)關(guān)系，這需通過(guò)分析、聯(lián)想、抽象和轉(zhuǎn)化完成函數(shù)的最值要由極值和端點(diǎn)的函數(shù)值確定，當(dāng)定義域是開區(qū)間，而且其上有惟一的極值，則它就是函數(shù)的最值3解決優(yōu)化問(wèn)題的基本思路是： 上述解決優(yōu)化問(wèn)題的過(guò)程是一個(gè)典型的_ _過(guò)程一

2、、選擇題1某箱子的容積與底面邊長(zhǎng)x的關(guān)系為V(x)x2 (0<x<60)，則當(dāng)箱子的容積最大時(shí)，箱子底面邊長(zhǎng)為()A30 B40 C50 D其他2已知某生產(chǎn)廠家的年利潤(rùn)y(單位：萬(wàn)元)與年產(chǎn)量x(單位：萬(wàn)件)的函數(shù)關(guān)系式為yx381x234，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為()A13萬(wàn)件 B11萬(wàn)件C9萬(wàn)件 D7萬(wàn)件3某工廠要圍建一個(gè)面積為512平方米的矩形堆料場(chǎng)，一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊需要砌新的墻壁，當(dāng)砌壁所用的材料最省時(shí)堆料場(chǎng)的長(zhǎng)和寬分別為()A32米，16米 B30米，15米C40米，20米 D36米，18米4若底面為等邊三角形的直棱柱的體積為V，則其表面積最

3、小時(shí)，底面邊長(zhǎng)為()A B C D25要做一個(gè)圓錐形的漏斗，其母線長(zhǎng)為20 cm，要使其體積最大，則高為()A cm B cmC cm D cm6某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為20 000元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加100元，已知總收益r與年產(chǎn)量x的關(guān)系是r，則總利潤(rùn)最大時(shí)，年產(chǎn)量是()A100 B150 C200 D300題號(hào)123456答案二、填空題1 / 87某公司租地建倉(cāng)庫(kù)，每月土地占用費(fèi)y1與倉(cāng)庫(kù)到車站的距離成反比，而每月庫(kù)存貨物的運(yùn)費(fèi)y2與到車站的距離成正比，如果在距離車站10千米處建倉(cāng)庫(kù)，這兩項(xiàng)費(fèi)用y1和y2分別為2萬(wàn)元和8萬(wàn)元那么，要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在離車站_千

4、米處8如圖所示，一窗戶的上部是半圓，下部是矩形，如果窗戶面積一定，窗戶周長(zhǎng)最小時(shí)，x與h的比為_9做一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形水桶，若需使其體積是27，且用料最省，則圓柱的底面半徑為_三、解答題10某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米，余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩經(jīng)測(cè)算，一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256萬(wàn)元，距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為(2)x萬(wàn)元假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其它因素記余下工程的費(fèi)用為y萬(wàn)元(1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)m640米時(shí)，需新建多少個(gè)橋墩才能使y最??？11某商品每件成本9元，售價(jià)30元，每星期賣出432件如果降低價(jià)格，銷

5、售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價(jià)的降低值x(單位：元，0x30)的平方成正比，已知商品單價(jià)降低2元時(shí)，一星期多賣出24件(1)將一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)表示成x的函數(shù)；(2)如何定價(jià)才能使一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)最大？能力提升12某單位用2 160萬(wàn)元購(gòu)得一塊空地，計(jì)劃在該塊地上建造一棟至少10層、每層2 000平方米的樓房經(jīng)測(cè)算，如果將樓房建為x(x10)層，則每平方米的平均建筑費(fèi)用為56048x(單位：元)為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？(注：平均綜合費(fèi)用平均建筑費(fèi)用平均購(gòu)地費(fèi)用，平均購(gòu)地費(fèi)用)13已知某商品生產(chǎn)成本C與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為C1004q

6、，價(jià)格p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為p25q，求產(chǎn)量q為何值時(shí)，利潤(rùn)L最大利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題的一般步驟(1)分析實(shí)際問(wèn)題中各變量之間的關(guān)系，建立實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，寫出實(shí)際問(wèn)題中變量之間的函數(shù)關(guān)系yf(x)；(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x)，解方程f(x)0；(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和f(x)0的點(diǎn)的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值；(4)寫出答案§3.4生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例答案知識(shí)梳理1優(yōu)化問(wèn)題導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)優(yōu)化問(wèn)題作業(yè)設(shè)計(jì)1BV(x)60xx20，x0或x40.x(0,40)40(40,60)V(x)0V(x)極大值可見當(dāng)x40時(shí)，V(x)達(dá)到最大值2Cyx281，令y0，得x9

7、或x9(舍去)當(dāng)0<x<9時(shí)，y>0；當(dāng)x>9時(shí)，y<0，故當(dāng)x9時(shí)，函數(shù)有極大值，也是最大值3A要求材料最省就是要求新砌的墻壁總長(zhǎng)度最短，如圖所示，設(shè)場(chǎng)地寬為x米，則長(zhǎng)為米，因此新墻壁總長(zhǎng)度L2x (x>0)，則L2.令L0，得x±16.x>0，x16.當(dāng)x16時(shí)，L極小值Lmin64，此時(shí)堆料場(chǎng)的長(zhǎng)為32(米)4C設(shè)底面邊長(zhǎng)為a，直三棱柱高為h.體積Va2h，所以h，表面積S2·a23a·a2，Sa，由S0，得a.經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)a時(shí)，表面積最小5D設(shè)高為x cm，則底面半徑為 cm，體積Vx·(202x2) (0

8、<x<20)，V(4003x2)，由V0，得x或x(舍去)當(dāng)x時(shí)，V>0，當(dāng)x時(shí)，V<0，所以當(dāng)x時(shí)，V取最大值6D由題意，總成本為c20 000100x，所以總利潤(rùn)為prc，p，p0，當(dāng)0x400時(shí)，得x300；當(dāng)x>400時(shí)，p<0恒成立，易知當(dāng)x300時(shí)，總利潤(rùn)最大75解析依題意可設(shè)每月土地占用費(fèi)y1，每月庫(kù)存貨物的運(yùn)費(fèi)y2k2x，其中x是倉(cāng)庫(kù)到車站的距離于是由2，得k120；由810k2，得k2.因此兩項(xiàng)費(fèi)用之和為y，y，令y0得x5(x5舍去)，經(jīng)驗(yàn)證，此點(diǎn)即為最小值點(diǎn)故當(dāng)倉(cāng)庫(kù)建在離車站5千米處時(shí)，兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小811解析設(shè)窗戶面積為S，周長(zhǎng)為L(zhǎng)

9、，則Sx22hx，hx，所以窗戶周長(zhǎng)Lx2x2hx2x，L2.由L0，得x，x時(shí)，L<0，x時(shí)，L>0，所以當(dāng)x 時(shí)，L取最小值，此時(shí)1.93解析設(shè)半徑為r，則高h(yuǎn).水桶的全面積S(r)r22r·r2.S(r)2r，令S(r)0，得r3.當(dāng)r3時(shí)，S(r)最小10解(1)設(shè)需新建n個(gè)橋墩，則(n1)xm，即n1 (0<x<m)，所以yf(x)256n(n1)(2)x256(2)xm2m256 (0<x<m)(2)由 (1)知，f(x)mx(x512)令f(x)0，得x512，所以x64.當(dāng)0<x<64時(shí)，f(x)<0，f(x)在區(qū)

10、間(0,64)內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)64<x<640時(shí)，f(x)>0，f(x)在區(qū)間(64,640)內(nèi)為增函數(shù)，所以f(x)在x64處取得最小值，此時(shí)n119.故需新建9個(gè)橋墩才能使y最小11解(1)設(shè)商品降低x元時(shí)，多賣出的商品件數(shù)為kx2，若記商品在一個(gè)星期的銷售利潤(rùn)為f(x)，則依題意有f(x)(30x9)·(432kx2)(21x)·(432kx2)，又由已知條件24k·22，于是有k6，所以f(x)6x3126x2432x9 072，x0,30(2)根據(jù)(1)，有f(x)18x2252x43218(x2)(x12)當(dāng)x變化時(shí)，f(x)與f(x)的變化情況如下表：x0,2)2(2,12)12(12,30f(x)00f(x)極小值極大值故x12時(shí)，f(x)達(dá)到極大值因?yàn)閒(0)9 072，f(12)11 664，所以定價(jià)為301218(元)能使一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)最大12解設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用為f(x)元，則f(x)(56048x)56048x(x10，xN*)，f(x)48，令f(x)0得x15.當(dāng)x>15時(shí)，f(x)>0；當(dāng)0<x<15時(shí)，f(x)<0.因此，當(dāng)x15時(shí)，f(x)取最小值f(15)2 000.所以為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為15層13