ch常微分方程初值問題的數(shù)值解法實用實用教案

1、6.1.1 歐拉公式歐拉公式(gngsh)與改進歐拉公式與改進歐拉公式(gngsh)6.1 歐拉方法(fngf)這稱為(chn wi)歐拉公式比較并與精確解的數(shù)值解xxexxyxyyxey)2(21)(, 1 , 01)0(2例6.1 以 h=0.1為步長，用歐拉法求常微分方程初值問題第1頁/共22頁第一頁，共23頁。后退(hutu)歐拉公式是一個隱式公式，通常采用迭代法求解。這稱為后退(hutu)歐拉公式第2頁/共22頁第二頁，共23頁。6.1.2 梯形梯形(txng)公式與改進歐拉公式公式與改進歐拉公式歐拉公式與后退歐拉公式也可采用(ciyng)積分近似的方法推出第3頁/共22頁第三頁，共

2、23頁。梯形梯形(txng)公式也是隱式單步法公式公式也是隱式單步法公式第4頁/共22頁第四頁，共23頁。用梯形公式計算(j sun)時，通常取歐拉公式的解作為迭代初值進行迭代計算(j sun)，即采用下式這稱為(chn wi)改進歐拉公式第5頁/共22頁第五頁，共23頁。例6.2 仍取步長h = 0.1，采用(ciyng)改進歐拉法重新計算例 6.1 的常微分方程初值問題。這時改進(gijn)歐拉公式為計算結(jié)果見表6-2（書125頁）解解第6頁/共22頁第六頁，共23頁。6.2 計算公式的誤差(wch)分析 定義(dngy)6.1 若 yi+1 是 yi=y(xi) 從計算得到的近似解，則稱

3、y(xi+1) yi+1為所用公式的局部截斷誤差，簡稱為截斷誤差。 定理6.1 若單步法 yi+1 = yi+h (xi , yi , h) 的局部截斷誤差為 O (h p+1) ，且增量函數(shù) (x , y , h) 關于 y 滿足李普希茲條件，即存在常數(shù) L0，使對 成立不等式y(tǒng)y,| ),(),(|yyLhyxhyx則其整體截斷誤差 y(xi) yi=O(hp) 第7頁/共22頁第七頁，共23頁。截斷誤差的估計(基本(jbn)假設： yi = y( xi ) )設 y(x)C 3 x0 , b , 則 （1）對歐拉公式，有)86()()()(2)()()()(,()(232111 hOhO

4、xyhyxyxyhxyxyxfhxyyiiiiiiiii故因此，歐拉公式的局部截斷誤差為 O (h2)（2）對后退歐拉公式，有)96()()()(2)()(,()(23211111 hOhOxyhyxyxyxfhxyyiiiiiii故因此，后退歐拉公式的局部截斷誤差為 O (h2)第8頁/共22頁第八頁，共23頁。（3）對梯形(txng)公式，注意到其公式可改寫為故由式（6-9）和（6-9）得)106()()()(2)()(221),()(),()(21)(33232111111 hOhOxyhhOxyhyxfhyxyyxfhyxyyxyiiiiiiiiiiii因此(ync)，梯形公式的局部截

5、斷誤差為 O ( h3 )第9頁/共22頁第九頁，共23頁。（4）對改進(gijn)歐拉公式，有而由 ，故有),(),(),(yxfyyxfyyxfyyx 得與式（6-7）比較得 y(xi+1) yi+1 = O ( h3 ) 因此，改進歐拉公式(gngsh)的局部截斷誤差為 O ( h3 ) 第10頁/共22頁第十頁，共23頁。 定義6.2 若一種求解(qi ji)常微分方程初值問題的數(shù)值計算方法的局部截斷誤差為 O ( hp+1 ) ，則稱該方法為 p階精度，或稱該方法為 p階方法。 由此定義(dngy)知，歐拉方法與后退歐拉方法為一階精度，梯形法與改進歐拉方法為二階精度。第11頁/共22

6、頁第十一頁，共23頁。6.3 龍格-庫塔方法(fngf)由中值(zhn zh)定理，有 因此，以上介紹的各種單步法本質(zhì)上都是對平均斜率 f( , y( ) 進行近似，龍格-庫塔據(jù)之提出了適當選取若干點上的斜率值作近似以構造高精度計算公式的方法，其基本思想(sxing)是基于泰勒展式的待定系數(shù)法。第12頁/共22頁第十二頁，共23頁。6.3.1 二階二階R-K公式公式(gngsh)問題：建立(jinl)二階精度的計算格式形為在 y(xi) = yi 的假設(jish)下，有故解解第13頁/共22頁第十三頁，共23頁。而)(2121)()()()()2/()()()(3)(,(2321hOfyfh

7、xyhxyhOxyhxyhxyxyiixyxyxiiiiii 根據(jù)格式為二階精度，即 y(xi+1) yi+1 = O(h3) 比較兩式系數(shù)得)136(2/12/112221ba 系數(shù)滿足(6-13)的形為(6-12)計算格式統(tǒng)稱為二階R-K公式。當令1=1/2時，解得 2=1/2 ，a=b=1，即為改進歐拉公式。若令 1=0，解得 2=1，a=b=1/2，則得另一計算公式)146()2/, 2/(),(12121hKyhxfKyxfKhKyyiiiiii變形歐拉公式變形歐拉公式第14頁/共22頁第十四頁，共23頁。6.3.2 四階四階 R-K 公式公式(gngsh)每一步需計算的 f 值的個

8、數(shù)1234567n8精度階1234456n-2 1965年，Butcher研究發(fā)現(xiàn)顯式R-K公式的精度與需要組合的斜率(xil)值的個數(shù)具有如下關系 可見，超過四階精度的R-K公式效率并不高，實際計算通常選用如下四階格式)156(),()2/, 2/()2/, 2/(),()22(6342312143211hKyhxfKhKyhxfKhKyhxfKyxfKKKKKhyyiiiiiiiiii經(jīng)典經(jīng)典R-KR-K公式公式第15頁/共22頁第十五頁，共23頁。這時經(jīng)典(jngdin)R-K公式為 例6.3 取步長h = 0.2，采用經(jīng)典(jngdin)R-K法計算例 6.1 的常微分方程初值問題。

9、取 h=0.2 計算得到表6-4(書133頁）。 與例6.1和例6.2比較(bjio)可見，用經(jīng)典R-K法計算得到的解比用歐拉法和改進歐拉法所得到的解精確得多。解解第16頁/共22頁第十六頁，共23頁。6.3.3 步長的自動步長的自動(zdng)選擇選擇 對于(duy) p 階精度的計算格式，當取步長為 h 時，記 為從 y(xi) 計算得到的 y (xi+1) (xi+1= xi+h) 的近似解，則有 為便于進行事后誤差估計，實際計算(j sun)時通常采用步長減半算法。第17頁/共22頁第十七頁，共23頁。 記 ，則對給定的精度要求 ，可根據(jù) 按如下(rxi)方式調(diào)整步長： （1）若 ，則把步長逐次減半計算，直至 為止(wizh)，這時最終得到的解即為滿足精度要求的近似解。 （2）若 ，則把步長逐次加倍計算，直至 為止，這時取前一次步長計算所得到(d do)的解作為滿足精度要求的近似解。第18頁/共22頁第十八頁，共23頁。第19頁/共22頁第十九頁，共23頁。第20頁/共22頁第二十頁，共23頁。第21頁/共22頁第二十一頁，共23頁。感謝您的欣賞(xnshng)！第22頁/共22頁第二十二頁，共23頁。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)6.1.1 歐拉公式與改進歐拉公式。后退歐拉公式是一個隱式公式，通常采用迭代法求解。梯形公式也是隱式單步法公式。因此，歐拉公式