高一數(shù)學(xué)必修一易錯題集錦答案

1、高一數(shù)學(xué)必修一易錯題集錦答案1.已知集合m=y|y =x21,x r,n=y|y =x1,x r，則 m n= （）解： m=y|y=x21,x r=y|y1， n=y|y=x1,x r=y|y rm n=y|y1y|(y r)=y|y1,注： 集合是由元素構(gòu)成的， 認(rèn)識集合要從認(rèn)識元素開始，要注意區(qū)分 x|y=x21 、 y|y=x21,xr、 (x,y)|y=x21,xr ，這三個集合是不同的2 . 已知 a=x|x23x2=0,b=x|ax2=0 且 ab=a ，求實數(shù)a組成的集合c解：ab=a ba 又 a=x|x23x2=0=1 ，2 b=或21 或 c=0，1，2 3 。 已知ma

2、,nb, 且集合a=zaaxx,2|， b=zaaxx, 12|，又c=zaaxx,14|，則有：m+n(填 a,b,c 中的一個 ) 解：ma, 設(shè)m=2a1,a1z,又nb, n=2a2+1,a2 z , m+n=2(a1+a2)+1, 而a1+a2 z , m+nb。4 已知集合a=x|x23x100，集合 b=x|p 1x2p 1 若 ba ，求實數(shù) p的取值范圍解：當(dāng) b時，即 p12p 1p2. 由 ba得： 2p 1 且 2p15.由3p3. 2p3當(dāng) b= 時，即 p12p1p2. 由、得： p3.點評 ：從以上解答應(yīng)看到：解決有關(guān)ab=、ab=，ab 等集合問題易忽視空集的情

3、況而出現(xiàn)漏解，這需要在解題過程中要全方位、多角度審視問題5 已知集合a=a,a b,a 2b ，b=a,ac,ac2 若 a=b ，求 c 的值分析 ：要解決 c 的求值問題， 關(guān)鍵是要有方程的數(shù)學(xué)思想，此題應(yīng)根據(jù)相等的兩個集合元素完全相同及集合中元素的確定性、互異性，無序性建立關(guān)系式解：分兩種情況進行討論（1）若 a b=ac 且 a2b=ac2，消去 b 得： aac22ac=0，a=0 時，集合b中的三元素均為零，和元素的互異性相矛盾，故a0c22c1=0，即 c=1，但 c=1 時， b中的三元素又相同，此時無解（2）若 a b=ac2且 a 2b=ac，消去 b 得： 2ac2aca

4、=0，a0，2c2c 1=0，即(c 1)(2c 1)=0，又 c1，故 c=21點評 ：解決集合相等的問題易產(chǎn)生與互異性相矛盾的增解，這需要解題后進行檢驗. 6 設(shè) a是實數(shù)集，滿足若aa，則a11a，1a且 1a. 若 2a， 則 a中至少還有幾個元素？求出這幾個元素a能否為單元素集合？請說明理由 . 若 aa，證明： 1a1a.求證：集合a中至少含有三個不同的元素. 解：2a 1a 21a 2a a 中至少還有兩個元素：1 和21如果 a為單元素集合，則aa11即12aa0 該方程無實數(shù)解，故在實數(shù)范圍內(nèi)，a不可能是單元素集aa a11a a1111a111aaa，即 1a1a由知 aa

5、 時，a11a， 1 a1a . 現(xiàn)在證明a,1 a1, a11三數(shù)互不相等.若 a=a11, 即 a2-a+1=0 ，方程無解，aa11若 a=1a1，即 a2-a+1=0 ，方程無解 a1a1若 1a1 =a11，即 a2-a+1=0 ，方程無解 1a1a11. 綜上所述，集合a中至少有三個不同的元素. 點評 ：的證明中要說明三個數(shù)互不相等，否則證明欠嚴(yán)謹(jǐn). 7 設(shè) m a，b，c ，n 2,0,2 , 求（ 1）從 m到 n的映射種數(shù)；（2）從 m到 n的映射滿足f(a)f(b) f(c),試確定這樣的映射f的種數(shù) . 解： （1）由于 m a，b，c ，n 2,0,2 ，結(jié)合映射的概念

6、，有一共有 27 個映射（2）符合條件的映射共有4 個0222,2,2,0 ,0 ,2220aaaabbbbcccc8. 已知函數(shù)( )f x的定義域為 0 ， 1 ，求函數(shù)(1)f x的定義域解：由于函數(shù)( )f x的定義域為 0 ，1 ，即01x(1)f x滿足011x10 x，(1)f x的定義域是 1，0 9根據(jù)條件求下列各函數(shù)的解析式：（1）已知( )f x是二次函數(shù)，若(0)0,(1)( )1ff xfxx，求( )f x. （2）已知(1)2fxxx，求( )fx（3）若( )f x滿足1( )2 ( ),f xfaxx求( )f x解： （1）本題知道函數(shù)的類型，可采用待定系數(shù)

7、法求解設(shè)( )f x2(0)axbxca由于(0)0f得2( )f xaxbx，又由(1)( )1f xf xx，22(1)(1)1a xb xaxbxx即22(2)(1)1axab xabaxbx211021abbaabab因此：( )fx21122xx(2) 本題屬于復(fù)合函數(shù)解析式問題，可采用換元法求解設(shè)22( )(1)2(1)1(1)f uuuuu( )f x21x（1x）（3）由于( )f x為抽象函數(shù)，可以用消參法求解用1x代x可得：11( )2 ( ),ff xaxx與1( )2 ( )f xfaxx聯(lián)列可消去1( )fx得：( )f x233aaxx. 點評 ： 求函數(shù)解析式 （

8、1） 若已知函數(shù)( )f x的類型， 常采用待定系數(shù)法； （2）若已知( )f g x表達(dá)式，常采用換元法或采用湊合法；（3）若為抽象函數(shù)，常采用代換后消參法. 10 已知xyx62322，試求22yx的最大值 . 分 析 ： 要 求22yx的 最 大 值 ， 由 已 知 條 件 很 快 將22yx變 為 一 元 二 次 函 數(shù),29)3(21)(2xxf然后求極值點的x值，聯(lián)系到02y，這一條件，既快又準(zhǔn)地求出最大值 . 解由xyx62322得.20,0323,0.3232222xxxyxxy又,29)3(2132322222xxxxyx當(dāng)2x時，22yx有最大值，最大值為.429)32(2

9、12點評 ：上述解法觀察到了隱蔽條件，體現(xiàn)了思維的深刻性. 大部分學(xué)生的作法如下：由xyx62322得,32322xxy1(0),1(1)uxxxuu,29)3(2132322222xxxxyx當(dāng)3x時，22yx取最大值，最大值為29這種解法由于忽略了02y這一條件，致使計算結(jié)果出現(xiàn)錯誤. 因此，要注意審題，不僅能從表面形式上發(fā)現(xiàn)特點，而且還能從已知條件中發(fā)現(xiàn)其隱蔽條件，既要注意主要的已知條件，又要注意次要條件，甚至有些問題的觀察要從相應(yīng)的圖像著手，這樣才能正確地解題. 11 設(shè)( )fx是 r上的函數(shù)，且滿足(0)1,f并且對任意的實數(shù), x y都有()( )(21)f xyf xyxy，求

10、( )f x的表達(dá)式 . 解法一 ：由(0)1,f()( )(21)f xyf xyxy，設(shè)xy，得(0)( )(21)ff xxxx，所以( )f x21xx解法二 ：令0 x，得(0)(0)(1)fyfyy即()1(1)fyyy又將y用x代換到上式中得( )f x21xx點評 ：所給函數(shù)中含有兩個變量時，可對這兩個變量交替用特殊值代入，或使這兩個變量相等代入，再用已知條件，可求出未知的函數(shù). 具體取什么特殊值，根據(jù)題目特征而定. 12 判斷函數(shù)1( )(1)1xfxxx的奇偶性 . 解：1( )(1)1xf xxx有意義時必須滿足10111xxx即函數(shù)的定義域是x11x ，由于定義域不關(guān)于

11、原點對稱，所以該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)13 判斷22( )log (1)f xxx的奇偶性 . 正解 ：方法一：)1(log)1)(log)(2222xxxxxf11log22xx)1(log22xx)(xf)(xf是奇函數(shù)方法二：)1(log)1(log)()(2222xxxxxfxf01log)1()1(log2222xxxx)()(xfxf)(xf是奇函數(shù)14 函數(shù) y=245xx的單調(diào)增區(qū)間是_. 解：y=245xx的定義域是 5,1，又2( )54g xxx在區(qū)間 5, 2上增函數(shù)，在區(qū)間 2,1是減函數(shù)，所以y=245xx的增區(qū)間是 5, 215 已知奇函數(shù)f(x) 是定義在

12、 ( 3，3) 上的減函數(shù)， 且滿足不等式f(x3)+f(x23)0, 求x的取值范圍 . 解：由66603333332xxxx得, 故 0 x6, 又f(x) 是奇函數(shù)，f(x3)3x2, 即x2+x60, 解得x2 或x3, 綜上得 2x6, 即a=x|2x6, 16 作出下列函數(shù)的圖像(1)y=|x-2|(x1) ；(2)|lg |10 xy. 分析： 顯然直接用已知函數(shù)的解析式列表描點有些困難，除去對其函數(shù)性質(zhì)分析外，我們還應(yīng)想到對已知解析式進行等價變形. 在變換函數(shù)解析式中運用了轉(zhuǎn)化變換和分類討論的思想. 解： (1) 當(dāng) x2 時， 即 x-2 0 時，當(dāng) x2 時，即 x-2 0

13、 時，所以)2(49)21()2(49)21(22xxxxy這是分段函數(shù)，每段函數(shù)圖像可根據(jù)二次函數(shù)圖像作出( 見圖 ) (2) 當(dāng) x1 時， lgx 0，y=10lgx=x ；當(dāng) 0 x1 時， lgx 0，所以這是分段函數(shù)，每段函數(shù)可根據(jù)正比例函數(shù)或反比例函數(shù)作出.( 見圖 ) 點評： 作不熟悉的函數(shù)圖像，可以變形成基本函數(shù)再作圖，但要注意變形過程是否等價，要特別注意x，y 的變化范圍 . 因此必須熟記基本函數(shù)的圖像. 例如：一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，及三角函數(shù)、反三角函數(shù)的圖像. 17 若 f(x)= 21xax在區(qū)間（ 2，）上是增函數(shù)，求a 的取值范圍解：

14、設(shè)12121212112,()()22axaxxxf xf xxx12211212121221121122121212(1)(2)(1)(2)(2)(2)(22)(22)(2)(2)22(21)()(2)(2)(2)(2)axxaxxxxax xaxxax xaxxxxaxxaxxaxxxxxx由f(x)=21xax在區(qū)間（ 2，）上是增函數(shù)得12()()0f xf x210aa21點評 ：有關(guān)于單調(diào)性的問題，當(dāng)我們感覺陌生，不熟悉或走投無路時，回到單調(diào)性的定義上去，往往給我們帶來“柳暗花明又一村”的感覺. 18 已知函數(shù)f(x) 在( 1， 1) 上有定義，f(21)=1, 當(dāng)且僅當(dāng)0 x1

15、 時f(x)0, 且對任意x、y( 1,1) 都有f(x)+f(y)=f(xyyx1), 試證明：(1)f(x) 為奇函數(shù)； (2)f(x) 在( 1，1)上單調(diào)遞減解 ：證明： (1) 由f(x)+f(y)=f(xyyx1), 令x=y=0, 得f(0)=0, 令y=x, 得f(x)+f( x)=f(21xxx)=f(0)=0. f(x)=f( x). f(x) 為奇函數(shù) . (2) 先證f(x) 在(0 ， 1) 上單調(diào)遞減 . 令 0 x1x21,則f(x2)f(x1)=f(x2)f( x1)=f(21121xxxx) 0 x1x20,1 x1x20，21121xxxx0, 又(x2x1

16、) (1 x2x1)=(x21)(x1+1)0 x2x11x2x1, 012121xxxx1, 由題意知f(21121xxxx)0 ，即f(x2)0, 且a2a+1=(a21)2+430, 1+2x+4xa0, a)2141(xx, 當(dāng)x( , 1時, y=x41與y=x21都是減函數(shù)，y=)2141(xx在( , 1上是增函數(shù)，)2141(xxmax=43, a43, 故a的取值范圍是 ( 43, + ). 點評： 發(fā)掘、提煉多變元問題中變元間的相互依存、相互制約的關(guān)系、反客為主，主客換位，創(chuàng)設(shè)新的函數(shù)， 并利用新函數(shù)的性質(zhì)創(chuàng)造性地使原問題獲解，是解題人思維品質(zhì)高的表現(xiàn). 本題主客換位后，利

17、用新建函數(shù)y=)2141(xx的單調(diào)性轉(zhuǎn)換為函數(shù)最值巧妙地求出了實數(shù)a的取值范圍 .此法也叫主元法. 23 若1133(1)(32 )aa，試求a的取值范圍 . 解：冪函數(shù)13yx有兩個單調(diào)區(qū)間，根據(jù)1a和32a的正、負(fù)情況，有以下關(guān)系10320.132aaaa10320.132aaaa10.320aa解三個不等式組：得23a32，無解，a 1 a的取值范圍是（，1）（23，32）點評 ：冪函數(shù)13yx有兩個單調(diào)區(qū)間，在本題中相當(dāng)重要，不少學(xué)生可能在解題中誤認(rèn)為132aa，從而導(dǎo)致解題錯誤. 24 已知 a0 且 a1 ,f (log a x ) = 12aa (x x1 ) (1) 求 f(

18、x) ； (2) 判斷 f(x) 的奇偶性與單調(diào)性； (3) 對于 f(x) ,當(dāng) x ( 1 , 1)時 , 有 f( 1m ) +f (1 m2 ) 0 ,求 m的集合 m . 分析 ：先用換元法求出f(x)的表達(dá)式；再利用有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)判斷其奇偶性和單調(diào)性；然后利用以上結(jié)論解第三問. 解： (1) 令 t=logax(t r)，則).(),(1)(),(1)(,22rxaaaaxfaaaatfaxxxttt, 101,.)(,10,)(,01,1.)(,),()(1)()2(22aaxfaaaxuaaaxfrxxfaaaaxfxxxx或無論綜上為增函數(shù)類似可判斷時當(dāng)為增函數(shù)時當(dāng)為奇函數(shù)且

19、f(x)在 r上都是增函數(shù) . ) 1 , 1().1()1 (,)(, 0)1()1() 3(22xmfmfrxfmfmf又上是增函數(shù)是奇函數(shù)且在.211111111122mmmmm點評 ：對含字母指數(shù)的單調(diào)性，要對字母進行討論. 對本例的不需要代入f（x）的表達(dá)式可求出 m的取值范圍，請同學(xué)們細(xì)心體會. 25 已知函數(shù)2( )3f xxaxa若 2,2x時，( )f x0 恒成立，求a的取值范圍 . 解：設(shè)( )f x的最小值為( )g a（1）當(dāng)22a即a4 時，( )g a( 2)f73a0，得73a故此時a不存在；(2) 當(dāng) 2,22a即 4a4 時，( )g a3a24a0，得 6

20、a2 又 4a 4，故 4a2；（3）22a即a 4 時，( )g a(2)f7a0，得a 7，又a 4 故 7a 4 綜上，得 7a2 26 已知210mxx有且只有一根在區(qū)間（0,1 ）內(nèi)，求m的取值范圍 . 解：設(shè)2( )1f xmxx， （1）當(dāng)m0 時方程的根為1，不滿足條件. （2）當(dāng)m0210mxx有且只有一根在區(qū)間（0,1 ）內(nèi)又(0)f10 有兩種可能情形(1)0f得m 2 或者1(1)02fm且00 即)(xfx)1)()1)()()()(2121111axxxaxaxxxxfxxxfxxxfx021xxxa1. 01 ,021axxx0)(1xfx綜合得1)(xxfx（2

21、）依題意知abx20，又abxx121aaxaxaxxaabx2121)(221210,012ax22110 xaaxx點評 ：解決本題的關(guān)健有三：一是用作差比較法證明不等式；二是正確選擇二次函數(shù)的表達(dá)式，即本題選用兩根式表示；三要知道二次函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，此直線為二次函數(shù)的對稱軸，即abx2031 已知函數(shù)0) 1(),1(2)(2fbccbxxxf，且方程01)(xf有實根 . (1) 求證： -3c -1,b 0. (2) 若 m是方程01)(xf的一個實根，判斷)4(mf的正負(fù)并加以證明分析： （1）題中條件涉及不等關(guān)系的有1bc和方程01)(xf有實根 . 及一個等式0)1 (

22、f，通過適當(dāng)代換及不等式性質(zhì)可解得；（2）本小題只要判斷)4(mf的符號，因而只要研究出4m值的范圍即可定出)4(mf符號 . (1) 證明：由0)1 (f，得 1+2b+c=0, 解得21cb，又1bc，1cc21解得313c，又由于方程01)(xf有實根，即0122cbxx有實根，故0) 1(442cb即0)1(4) 1(2cc解得3c或1c13c，由21cb，得b0. （2）cbxxxf2)(2=) 1)()1(2xcxcxcx01)(mf， cm1 （如圖）c4m 43c. )4(mf的符號為正 . 點評 ：二次函數(shù)值的符號，可以求出其值判斷，也可以靈活運用二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)解題.

23、32 定義在r上的函數(shù)fx滿足：對任意實數(shù),m n，總有f mnf mfn，且當(dāng)0 x時，01fx. （1）試求0f的值；（2）判斷fx的單調(diào)性并證明你的結(jié)論；（ 3）設(shè)22,1,21,ax yfxfyfbx yf axyar，若ab，試確定a的取值范圍 . （4）試舉出一個滿足條件的函數(shù)fx. 解： （1）在fmnfmfn中，令1,0mn. 得：110fff. 因為10f，所以，01f. （2）要判斷fx的單調(diào)性，可任取12,x xr，且設(shè)12xx. 在已知條件fmnfmf n中，若取21,mnxmx，則已知條件可化為：2121fxfxfxx.由于210 xx，所以2110fxx. 為比較2

24、1fxfx、的大小，只需考慮1fx的正負(fù)即可 . 在fmnfmf n中，令mx，nx，則得1fxfx. 0 x時，01fx， 當(dāng)0 x時，110fxfx. 又01f，所以，綜上，可知，對于任意1xr，均有10fx. 2112110fxfxfxfxx. 函數(shù)fx在 r上單調(diào)遞減 . （3）首先利用fx的單調(diào)性，將有關(guān)函數(shù)值的不等式轉(zhuǎn)化為不含f的式子 . 222211fxfyfxy即，210faxyf，即20axy. 由ab，所以，直線20axy與圓面221xy無公共點 . 所以，2211a. 解得11a. （4）如12xfx. 點評 ：根據(jù)題意，將一般問題特殊化，也即選取適當(dāng)?shù)奶刂担ㄈ绫绢}中令1

25、,0mn；以及21,mnx mx等）是解決有關(guān)抽象函數(shù)問題的非常重要的手段；另外，如果能找到一個適合題目條件的函數(shù)，則有助于問題的思考和解決. 33 設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)1|)(2axxxf，rx（1）討論)(xf的奇偶性；（2）求)(xf的最小值 . 解： （1）當(dāng)0a時，函數(shù))(1|)()(2xfxxxf此時，)(xf為偶函數(shù)當(dāng)0a時，1)(2aaf，1|2)(2aaaf，)()(afaf，)()(afaf此時)(xf既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)（2） （i ）當(dāng)ax時，43)21(1)(22axaxxxf當(dāng)21a，則函數(shù))(xf在,(a上單調(diào)遞減，從而函數(shù))(xf在,(a上的最小值為1)(2a

26、af. 若21a，則函數(shù))(xf在,(a上的最小值為af43)21(，且)()21(aff. （ii ）當(dāng)ax時，函數(shù)43)21(1)(22axaxxxf若21a，則函數(shù))(xf在,(a上的最小值為af43)21(，且)()21(aff若21a，則函數(shù))(xf在),a上單調(diào)遞增，從而函數(shù))(xf在),a上的最小值為1)(2aaf. 綜上，當(dāng)21a時，函數(shù))(xf的最小值為a43當(dāng)2121a時，函數(shù))(xf的最小值為12a當(dāng)21a時，函數(shù))(xf的最小值為a43. 點評 ： （1）探索函數(shù)的奇偶性，可依據(jù)定義，通過)()(xfxf代入有1|1|)(22axxaxx，即|axax可得，當(dāng)0a時，|

27、axax，函數(shù))()(xfxf函數(shù)為偶函數(shù) . 通過)()(xfxf可得1|1|)(22axxaxx化得|222axaxx此式不管0a還是0a都不恒成立，所以函數(shù)不可能是奇函數(shù). （2）由于本題中含有絕對值，需要去掉，故分類討論，既要對二次函數(shù)值域的研究方法熟練掌握，又要將結(jié)論綜合，對學(xué)生的綜合運用數(shù)學(xué)知識能力及數(shù)學(xué)思想作了較好的考查. 34 某公司為幫助尚有26.8 萬元無息貸款沒有償還的殘疾人商店，借出20 萬元將該商店改建成經(jīng)營狀況良好的某種消費品專賣店，并約定用該店經(jīng)營的利潤逐步償還債務(wù)( 所有債務(wù)均不計利息 ). 已知該種消費品的進價為每件40 元； 該店每月銷售量 q（百件） 與銷售價 p（元件） 之間的關(guān)系用右圖中的一條折線 （實線） 表示； 職工每人每月工資為600 元，該店