33泰勒公式99817

1、一、問題的提出一、問題的提出第三節(jié)二、二、pn和和rn的確定的確定三、泰勒中值定理三、泰勒中值定理 泰勒(taylor)公式 四、簡(jiǎn)單應(yīng)用四、簡(jiǎn)單應(yīng)用 五、小結(jié)五、小結(jié) 一、問題的提出一、問題的提出（如下圖）（如下圖）01.( ),f xx設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù) 則則0( )()f xf x0( )()f xf x02.( ),f xx設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)可可導(dǎo)導(dǎo) 則則000( )()()()f xf xfxxx0000 ( )()()()()f xf xfxxxo xx例例如如, ,x當(dāng)當(dāng)很很小小時(shí)時(shí)1;xex 1ln().xxxey xy 1oxey oxy )1ln(xy 不足不足

2、:問題問題:誤誤差差 )()()(xpxfxr 可可估估計(jì)計(jì)1、精確度不高；、精確度不高； 2、誤差不能估計(jì)、誤差不能估計(jì).設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在含含有有0 x的的開開區(qū)區(qū)間間),(ba內(nèi)內(nèi)具具有有直直到到)1( n階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,)(xp為為多多項(xiàng)項(xiàng)式式函函數(shù)數(shù)nnnxxaxxaxxaaxp)()()()(0202010 誤差誤差 )()()(xpxfxrnn 0 x)(xfy oxy分析分析:)()(00 xfxpn )()(00 xfxpn )()(00 xfxpn 2.若有相同的切線若有相同的切線3.若彎曲方向相同若彎曲方向相同近似程度越來越好近似程度越來越好1.若在若在 點(diǎn)相交點(diǎn)

3、相交0 x假設(shè)假設(shè) nkxfxpkkn, 2 , 1)()(0)(0)( ),(00 xfa 代代入入)(xpn中中得得nnnxxnxfxxxfxxxfxfxp)(!)()(! 2)()()()(00)(200000 得得 ), 2 , 1 , 0()(!10)(nkxfkakk ),(101xfa )(! 202xfa ,)(!0)(xfannn 三、泰勒三、泰勒(taylor)(taylor)中值定理中值定理)()(!)()(!2)()()()(00)(200000 xrxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 證明證明: :)()(1()(01011之間之間與與在在xxxnrnn 0)(

4、)()()()(10010 nnnnnxxxrxrxxxr0)()()()(0)(000 xrxrxrxrnnnnn如如此此下下去去, ,經(jīng)經(jīng)過過)1( n次次后后, ,得得 0)(1()()()(1()(0101011 nnnnnxnxrrxnr )()(1()(1021022之間之間與與在在 xxnnrnn nkkknxxkxfxp000)()(!)()(稱稱為為)(xf按按)(0 xx 的的冪冪展展開開的的 n n 次次近近似似多多項(xiàng)項(xiàng)式式 nknkkxrxxkxfxf000)()()(!)()(稱稱為為)(xf按按)(0 xx 的的冪冪展展開開的的 n n 階階泰泰勒勒公公式式 )()

5、(!1)()(010)1(之間之間與與在在xxxxnfxrnnn 則則由由上上式式得得, 0)()1( xpnn)()()1()1(xfxrnnn 拉格朗日形式的余項(xiàng)拉格朗日形式的余項(xiàng) 1010)1()(!1)(!1)()( nnnnxxnmxxnfxr )()(!)()(0000)(nknkkxxoxxkxfxf )()(!1)()(010)1(之間之間與與在在xxxxnfxrnnn 皮亞諾形式的余項(xiàng)皮亞諾形式的余項(xiàng)0)()(lim00 nnxxxxxr及及.)()(0nnxxoxr 即即注意注意: :1 1. . 當(dāng)當(dāng)0 n時(shí)時(shí), ,泰泰勒勒公公式式變變成成拉拉氏氏中中值值公公式式 )()

6、()()(000之間之間與與在在xxxxfxfxf 2.2.取取00 x, , 在在0與與x之間之間, ,令令)10( x 則余項(xiàng)則余項(xiàng) 1)1()!1()()( nnnxnxfxr )(!)0(! 2)0()0()0()()(2nnnxoxnfxfxffxf ) 10()!1()(!)0(! 2)0()0()0()(1)1()(2 nnnnxnxfxnfxfxffxf麥克勞林麥克勞林(maclaurin(maclaurin) )公式公式四、簡(jiǎn)單的應(yīng)用四、簡(jiǎn)單的應(yīng)用解解,)()()()(xnexfxfxf 1)0()0()0()0()( nffffxnexf )()1(注意到注意到代入公式代入

7、公式,得得).10()!1(! 2112 nxnxxnenxxxe( )xf xen求求的的階階麥麥克克勞勞林林公公式式. .例例1.1.由公式可知由公式可知! 212nxxxenx 估計(jì)誤差估計(jì)誤差)0( x設(shè)設(shè)!1! 2111, 1nex 取取.)!1(3 n其誤差其誤差)!1( nern).10()!1()!1()(11 nxnxnxnexnexr( )sinf xxn求求的的帶帶有有拉拉格格朗朗日日型型余余項(xiàng)項(xiàng)階階麥麥克克勞勞林林公公式式. .例例2.2.解解( )cos ,fxx( )sin ,fxx ( )cos ,fxx 4( )( )sin ,fxx2( )( )sin(),n

8、nfxx所以所以01( ),f 00( ),f 01( ),f 400( )( ).f 等等等等代入公式代入公式35211213521sin()( )!()!mmmxxxxxrxm 其中其中2212120121sin()().(!)(mmxmxmrx1,m 取取sin,xx2,m 取取33sin,!xxx 3,m 取取3535sin.!xxxx 同同理理可可得得，24221111242(.cos)( )!()!mmmxxxxrxm 其中其中212210122cos() ().()( )!mmxmrxxm1111011()()()().()(nnnrnxxxn ！23123112(.l ()(,

9、nnnnxxxxxrxn 其中其中111011 1()().( )()nnnnrxnxx2112113 1()!()()( ).),!(nnxxxnxrxn 其中其中 常用函數(shù)的麥克勞林公式常用函數(shù)的麥克勞林公式sincosxxx30sincoslimsinxxxxx計(jì)計(jì)算算例例3.3.解解330sin(),xxx 由由于于分分式式的的分分母母所所以以，sincosxxx我我們們只只需需將將分分子子中中的的的的及及分分別別用用帶帶有有皮皮亞亞諾諾余余項(xiàng)項(xiàng)的的三三階階麥麥克克勞勞林林公公式式表表示示, ,即即333332sin(),cos()!xxxxxxxxx于于是是，333332()()!x

10、xxxxx333()xx用洛必達(dá)法則用洛必達(dá)法則不方便不方便 !sincosxxx333332()()!xxxxxx333()xx333332sin(),cos()!xxxxxxxxx30sincoslimxxxxx故故，30sincoslimxxxxx33303()limxxxx13.解解)(! 2114422xoxxex )(! 4! 21cos542xoxxx )()! 412! 21(3cos2442xoxxex 4440)(127limxxoxx 原式原式.127 24023coslimxxexx計(jì)計(jì)算算例例4.4.用洛必達(dá)法則用洛必達(dá)法則不方便不方便 !例例5. 求求2034434

11、lim.xxxx解解:由于由于x431243 x21)1 (243x 2)(14321x!21) 1(2121243)( x)(2xo用洛必達(dá)法則用洛必達(dá)法則不方便不方便 !2x用泰勒公式將分子展到用泰勒公式將分子展到項(xiàng)項(xiàng),11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1() 10(x3421)1 (243x220 limxx原原式式)(2216921xox 329x43)(2216941xox 2x43)(2216941xox 11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1(

12、) 10(例例6. 證明證明).0(82112xxxx證證:1211 ()xx12x 211 1122 2()!x52311 1112 132 22()()()!xx01()52231112816()xxxx 211028()xxxx 0 1( ) , ,f x設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在上上具具有有三三階階連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)1011202( ),( ),( ),fff 24,( ).f一一點(diǎn)點(diǎn)使使( )f x 12()x其其中中在在與與之之間間由題設(shè)對(duì)由題設(shè)對(duì)證證:思考題思考題31132( )()!fx12( )f212()x 1122( )!f 有有12( )f212()x 1122( )!f 3113

13、2( )()!fx且0 1, ,x 分分別別令令得得0 1 , ,x1122( )()fx0 1( , )證證明明內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在31132()()!f32132()( )!f12( )f211222( )()!f 211222( )( )!f 1下式減上式下式減上式 , 得得21148()()ff21148()()ff令令)(,)(max)(12fff 24( )f10( )f21 ( )f12( )f1102( , )2112(, )124( )f01()xy xysin 播放播放五、小結(jié)1 1. .t ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似計(jì)計(jì)算算中中的的應(yīng)應(yīng)用用;

14、;播放播放2 2. .t tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .思考題思考題利用泰勒公式求極限利用泰勒公式求極限30)1(sinlimxxxxexx 思思考考題題解解答答)(! 3! 21332xoxxxex )(! 3sin33xoxxx 30)1(sinlimxxxxexx3333320)1()(! 3)(! 3! 21limxxxxoxxxoxxxx 33330)(! 3! 2limxxoxxx .31 五、五、 利用泰勒公式求極限：利用泰勒公式求極限：1 1、xexxx420sincoslim2 ；2 2、)11ln(lim2xxxx . .練練

15、習(xí)習(xí) 題題一、一、)1()1()1(112nxxxx )1 , 0()1(1)1()1(211 nnnxx. .二、二、)!1(! 232 nxxxxxenx )10(,)1()!1(11 nxxexnn. .三、三、645. 1 e. .四、四、5331088. 1,10724. 330 r. .五、五、1 1、121. 2. 2、21. .練習(xí)題答案練習(xí)題答案xy xysin 五、小結(jié)1 1. .t ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似計(jì)計(jì)算算中中的的應(yīng)應(yīng)用用; ;xy xysin ! 33xxy o五、小結(jié)1 1. .t ta ay yl lo or r 公公式式在在近

16、近似似計(jì)計(jì)算算中中的的應(yīng)應(yīng)用用; ;xy xysin ! 33xxy o! 5! 353xxxy 五、小結(jié)1 1. .t ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似計(jì)計(jì)算算中中的的應(yīng)應(yīng)用用; ;xy xysin ! 33xxy ! 5! 353xxxy !7! 5! 3753xxxxy o五、小結(jié)1 1. .t ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似計(jì)計(jì)算算中中的的應(yīng)應(yīng)用用; ;xysin !11! 9!7! 5! 3119753xxxxxxy o五、小結(jié)1 1. .t ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似計(jì)計(jì)算算中中的的應(yīng)應(yīng)用用; ;2 2. .

17、t tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .2 2. .t tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .2 2. .t tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .2 2. .t tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .2 2. .t tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .2 2. .t tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .2 2. .t tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .2 2. .t tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .2 2. .t tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .2 2. .t tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .