無窮級數(shù)高等數(shù)學(xué)同濟七PPT課件

1、一、交錯級數(shù)及其判別法定義: 正、負(fù)項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù). nnnnnnuu 111)1()1(或或萊不尼茲定理萊不尼茲定理 如果交錯級數(shù)滿足條件如果交錯級數(shù)滿足條件: : ( () ), 3 , 2 , 1(1 nuunn;(;() )0lim nnu, , 則級數(shù)收斂則級數(shù)收斂, ,且其和且其和1us , ,其余項其余項nr的絕對值的絕對值 1 nnur. . )0( nu其中其中第1頁/共14頁解2)1(2)1()1( xxxxx)2(0 x,1單調(diào)遞減單調(diào)遞減故函數(shù)故函數(shù) xx,1 nnuu1limlim nnunnn又又. 0 原級數(shù)收斂.第2頁/共14頁二、絕對收斂與條件收斂定

2、義: 正項和負(fù)項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項級數(shù).定理定理 若若任意項級數(shù)任意項級數(shù) 1nnu的各項絕對值組成的級的各項絕對值組成的級數(shù)數(shù) 1nnu收斂收斂, ,則則 1nnu也收斂也收斂. . 第3頁/共14頁上定理的作用：任意項級數(shù)正項級數(shù)定義定義: :若若 1nnu收斂收斂, , 則稱則稱 1nnu為絕對收斂為絕對收斂; ;若若 1nnu發(fā)發(fā)散散, ,而而 1nnu收收斂斂, , 則則稱稱 1nnu為為條條件件收收斂斂. .第4頁/共14頁定理：如果任意項級數(shù) 滿足條件則當(dāng) 時級數(shù)絕對收斂，當(dāng) 時級數(shù)發(fā)散。1nnu 1limnnnuu 1 1 第5頁/共14頁解,1sin22nnn ,112

3、收斂收斂而而 nn,sin12 nnn收斂收斂故由定理知原級數(shù)絕對收斂.第6頁/共14頁三、小結(jié)正 項 級 數(shù)任意項級數(shù)審斂法1.2.4.充要條件5.比較法6.比值法7.根值法4.絕對收斂5.交錯級數(shù)(萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì);,則級數(shù)收斂則級數(shù)收斂若若SSn;, 0,則級數(shù)發(fā)散則級數(shù)發(fā)散當(dāng)當(dāng) nun第7頁/共14頁思考題 設(shè)設(shè)正正項項級級數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂, , 能能否否推推得得 12nnu收收斂斂? ?反反之之是是否否成成立立? ?第8頁/共14頁思考題解答由由正正項項級級數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂，可可以以推推得得 12nnu收收斂斂,nnnuu2lim nnu lim0 由比較審斂

4、法知 收斂. 12nnu反之不成立.例如： 121nn收斂, 11nn發(fā)散.第9頁/共14頁一、一、 填空題填空題: :1 1、 p級數(shù)當(dāng)級數(shù)當(dāng)_時收斂時收斂, ,當(dāng)當(dāng)_時發(fā)散；時發(fā)散；2 2、若正項級數(shù)、若正項級數(shù) 1nnu的后項與前項之比值的根的后項與前項之比值的根 等于等于, , 則當(dāng)則當(dāng)_時級數(shù)收斂；時級數(shù)收斂；_時級數(shù)發(fā)散；時級數(shù)發(fā)散； _時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 . .二、二、 用比較審斂法或極限審斂法判別下列級數(shù)的收斂用比較審斂法或極限審斂法判別下列級數(shù)的收斂性性: : 1 1、 22211313121211nn； 2 2、)0(111 aann . .練

5、 習(xí) 題第10頁/共14頁三、三、 用比值審斂法判別下列級數(shù)的收斂性用比值審斂法判別下列級數(shù)的收斂性: : 1 1、 nnn 232332232133322；2 2、 1!2nnnnn. .四、四、 用根值審斂法判別下列級數(shù)的收斂性用根值審斂法判別下列級數(shù)的收斂性: :1 1、 1)1ln(1nnn； 2 2、121)13( nnnn. .五、五、 判別下列級數(shù)的收斂性判別下列級數(shù)的收斂性: :1 1、 nn1232；2 2、 13sin2nnn ； 3 3、)0()1()2ln(1 anannn. .第11頁/共14頁六、六、 判別下列級數(shù)是否收斂判別下列級數(shù)是否收斂? ?如果是收斂的如果是

6、收斂的, ,是絕對收是絕對收斂還是條件收斂斂還是條件收斂? ?1 1、 1113)1(nnnn；2 2、 5ln14ln13ln12ln1；3 3、 2ln)1(nnnn. .七、若七、若nnun2lim存在存在, ,證明證明: :級數(shù)級數(shù) 1nnu收斂收斂 . .八、證明八、證明: :0!lim3 nnnanb. .第12頁/共14頁練習(xí)題答案一、一、1 1、1, 1 pp； 2 2、1),lim( 1, 11 nnnuu或或. .二、二、1 1、發(fā)散；、發(fā)散； 2 2、發(fā)散、發(fā)散. .三、三、1 1、發(fā)散；、發(fā)散； 2 2、收斂、收斂. .四、四、1 1、收斂；、收斂； 2 2、收斂、收斂. .五、五、1 1、發(fā)散；、發(fā)散； 2 2、收斂；、收斂； 3 3、 ., 1;, 1