人教A版選修2-3教案：1.3.2研究性課題 楊輝三角（含反思）

1、研究性課題：楊輝三角教學(xué)目標(biāo):知識(shí)目標(biāo): 進(jìn)一步探索楊輝三角的基本性質(zhì)及數(shù)字排列規(guī)律，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)；能力目標(biāo): 培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，重點(diǎn)培養(yǎng)創(chuàng)新能力；情感目標(biāo)：了解我國(guó)古今數(shù)學(xué)的偉大成就，增強(qiáng)愛(ài)國(guó)情感教學(xué)重點(diǎn)：楊輝三角的基本性質(zhì)及數(shù)字排列規(guī)律的探求。教學(xué)難點(diǎn): 楊輝三角的基本性質(zhì)及數(shù)字排列規(guī)律的探求。教學(xué)方法: 引導(dǎo)探究課時(shí)安排: 2課時(shí)教學(xué)過(guò)程一、課題引入1引言: 為什么要研究楊輝三角？教學(xué)意圖 研究楊輝三角的意義（1）在學(xué)習(xí)了排列組合概率和數(shù)學(xué)歸納法等知識(shí)后，繼續(xù)研究楊輝三角的性質(zhì)，進(jìn)一步探索楊輝三角的基本性質(zhì)及其中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的

2、能力同時(shí)復(fù)習(xí)鞏固所學(xué)知識(shí)，發(fā)現(xiàn)知識(shí)間的聯(lián)系（2）通過(guò)探究楊輝三角，不斷培養(yǎng)創(chuàng)新能力（創(chuàng)新是發(fā)展的不竭動(dòng)力）（3）了解古今數(shù)學(xué)家的偉大成就，進(jìn)行愛(ài)國(guó)主義教育；2什么是楊輝三角？ 教學(xué)意圖 復(fù)習(xí)楊輝三角 二項(xiàng)式（a+b）n展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)，當(dāng)n依次取1，2，3時(shí)，列出的一張表，叫做二項(xiàng)式系數(shù)表，因它形如三角形，南宋的楊輝對(duì)其有過(guò)深入研究，所以我們又稱(chēng)它為楊輝三角（如圖）3介紹楊輝古代數(shù)學(xué)家的杰出代表 教學(xué)意圖 了解數(shù)學(xué)家楊輝及其成就, 增強(qiáng)民族自豪感楊輝，杭州錢(qián)塘人。中國(guó)南宋末年數(shù)學(xué)家，數(shù)學(xué)教育家著作甚多，他編著的數(shù)學(xué)書(shū)共五種二十一卷，著有詳解九章算法十二卷（1261年）、日用算法二卷、乘除通變

3、本末三卷、田畝比類(lèi)乘除算法二卷、續(xù)古摘奇算法二卷其中后三種合稱(chēng)楊輝算法，朝鮮、日本等國(guó)均有譯本出版，流傳世界?！皸钶x三角”出現(xiàn)在楊輝編著的詳解九章算法一書(shū)中，此書(shū)還說(shuō)明表內(nèi)除“一”以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和楊輝指出這個(gè)方法出于釋鎖算書(shū)，且我國(guó)北宋數(shù)學(xué)家賈憲（約公元11世紀(jì)）已經(jīng)用過(guò)它，這表明我國(guó)發(fā)現(xiàn)這個(gè)表不晚于11世紀(jì)在歐洲，這個(gè)表被認(rèn)為是法國(guó)數(shù)學(xué)家物理學(xué)家帕斯卡首先發(fā)現(xiàn)的（Blaise Pascal, 1623年1662年）,他們把這個(gè)表叫做帕斯卡三角這就是說(shuō)，楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早500年左右，由此可見(jiàn)我國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的二、問(wèn)題研究觀察楊輝三角所蘊(yùn)含的數(shù)

4、量關(guān)系1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 2 / 131 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 11 8 28 56 70 56 28 8 11 9 36 84 126 126 84 36 9 11 10 45 120 210 252 210 120 45 10 11 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 11 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 11 13 78 286 715 1284 1716 1716 1284 715 286 78

5、13 11楊輝三角基本性質(zhì)教學(xué)意圖 介紹楊輝三角蘊(yùn)含的基本規(guī)律 （1）表中每個(gè)數(shù)都是組合數(shù)，第n行的第r+1個(gè)數(shù)是（2）三角形的兩條斜邊上都是數(shù)字1，而其余的數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)字相加，也就是（3）楊輝三角具有對(duì)稱(chēng)性（對(duì)稱(chēng)美），即（4）楊輝三角的第n行是二項(xiàng)式（a+b）n展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)，即 (5) 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),第n行有奇數(shù)項(xiàng),中間一項(xiàng)最大;當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),第n行有偶數(shù)項(xiàng),中間兩項(xiàng)相等且最大這條性質(zhì)就是二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)2下面,師生一起繼續(xù)探究楊輝三角蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)2楊輝三角有趣的數(shù)字排列規(guī)律教學(xué)意圖 培養(yǎng)學(xué)生觀察力，注意觀察方法：橫看、豎看、斜看、連續(xù)看、隔行看，從多種角度觀

6、察（橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同?。﹩?wèn)題1：楊輝三角的第1，3，7，15，行，即第2K-1(k是正整數(shù))行的各個(gè)數(shù)字有什么特點(diǎn)？分析：觀察可知，它們均為奇數(shù)第2K行除兩端的1之外都是偶數(shù).延伸：除兩端的1之外，哪些行的各個(gè)數(shù)字是3的倍數(shù)？分析：第3、9、3k(k是正整數(shù))行。問(wèn)題2：楊輝三角第5行中，除去兩端的數(shù)字1以外，行數(shù)5整除其余所有的數(shù)你能再找出具有類(lèi)似性質(zhì)的三行嗎？這時(shí)的行數(shù)是什么數(shù)？教學(xué)意圖 繼續(xù)“橫”看分析：如2，3，7，11等行行數(shù)是質(zhì)數(shù)(素?cái)?shù)).問(wèn)題3：計(jì)算楊輝三角中各行數(shù)字的和，看有何規(guī)律：第1行112第2行121422第3行1331823第4行146411624第5行1

7、51010513225第n行分析：第n行數(shù)字的和為2 n前n行(含第0行)所有數(shù)的和為2 n 1，它恰好比第n行的和2 n小1 問(wèn)題4：從楊輝三角中一個(gè)確定的數(shù)的“左（右）肩” 出發(fā)， 向右（左）上方作一條和左斜邊平行的射線(xiàn)，在這條射線(xiàn)上的各數(shù)的和等于這個(gè)數(shù)教學(xué)意圖 再引導(dǎo)學(xué)生“斜”向看例如：101234， 2013610，教學(xué)意圖 引導(dǎo)學(xué)生得出一般性的結(jié)論一般地，在第m條斜線(xiàn)上（從右上到左下）前n個(gè)數(shù)字的和，等于第m+1條斜線(xiàn)上的第n個(gè)數(shù)根據(jù)這一性質(zhì)，猜想下列數(shù)列的前n項(xiàng)和：111 1 （第1條斜線(xiàn)）123 （第2條斜線(xiàn)）136 （第3條斜線(xiàn)）1410 （第4條斜線(xiàn)）（第r+1條斜線(xiàn)）問(wèn)題5

8、：第1條斜線(xiàn)上的數(shù)字構(gòu)成了常數(shù)列1，1，1，1；第2條斜線(xiàn)上的數(shù)字依次構(gòu)成等差數(shù)列1，2，3，4，；二階等差數(shù)列（其一階差分?jǐn)?shù)列是等差數(shù)列）1，3，6，10，；三階等差數(shù)列（其二階差分?jǐn)?shù)列是等差數(shù)列）1，4，10，20，；問(wèn)題6：如圖，寫(xiě)出斜線(xiàn)上各行數(shù)字的和，有什么規(guī)律？ 教學(xué)意圖 繼續(xù)換一角度“斜”向看 1，1，2，3，5，8，13，21，34，此數(shù)列an滿(mǎn)足, a1=1,a2=1, 且an=an-1+an-2 (n3)這就是著名的斐波那契數(shù)列教學(xué)意圖 以下介紹斐波那契“兔子繁殖問(wèn)題”增強(qiáng)趣味性中世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的傳世之作算術(shù)之法中提出了一個(gè)饒有趣味的問(wèn)題：假定一對(duì)剛出生的兔子一個(gè)月

9、就能長(zhǎng)成大兔子，再過(guò)一個(gè)月就開(kāi)始生下一對(duì)小兔子，并且以后每個(gè)月都生一對(duì)小兔子設(shè)所生一對(duì)兔子均為一雄一雌，且均無(wú)死亡問(wèn)一對(duì)剛出生的小兔一年內(nèi)可以繁殖成多少對(duì)兔子？ 結(jié)論： 兔子繁殖問(wèn)題可以從楊輝三角得到答案：右側(cè)從上而下的一列數(shù)1，1，2，3，5，8，13，正好是剛生的兔子，第一個(gè)月后的兔子第二個(gè)月后的兔子，第三個(gè)月后的兔子，n個(gè)月后的兔子的對(duì)數(shù)“兔子繁殖問(wèn)題”的答案就是第12行右下側(cè)的數(shù)（第13個(gè)），即2333學(xué)生自主探究：4與楊輝三角有關(guān)的應(yīng)用(1)楊輝三角與彈子游戲（先介紹我國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)家華羅庚）教學(xué)意圖 介紹我國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)家華羅庚的成就、學(xué)習(xí)其 為科學(xué)獻(xiàn)身的精神、 增強(qiáng)愛(ài)國(guó)情感華羅

10、庚（1910-1985）是一位具有世界聲譽(yù)的數(shù)學(xué)家，我國(guó)進(jìn)入世界著名數(shù)學(xué)行列最杰出的代表。撰寫(xiě)了不少高質(zhì)量的10部專(zhuān)著、200篇論文和10余部科普著作。由于他的貢獻(xiàn)，有許多定理、引理、不等式與方法等都用他的名字命名為了推廣優(yōu)選法，華羅庚帶領(lǐng)小分隊(duì)去二十七個(gè)省市普及應(yīng)用數(shù)學(xué)方法達(dá)二十年之久，取得了明顯的經(jīng)濟(jì)效益和社會(huì)效益，為我國(guó)經(jīng)濟(jì)建設(shè)作出了重大貢獻(xiàn)在他的科普著作從楊輝三角談起中，對(duì)楊輝三角的構(gòu)成，提出了一種有趣的看法教學(xué)意圖 下面介紹彈子游戲問(wèn)題，本節(jié)的重要內(nèi)容如圖，在一塊傾斜的木板上，釘上一些正六角形小木塊，在它們中間留下一些通道，從上部的漏斗直通到下部的長(zhǎng)方形框子。把小彈子倒在漏斗里，它首

11、先會(huì)通過(guò)中間的一個(gè)通道落到第二層六角板上面（有幾個(gè)通道就算第幾層），以后，再落到六角板的左邊或右邊的兩個(gè)豎直通道里去，以此類(lèi)推，算一算：個(gè)彈子通過(guò)n+1層通道，落到各長(zhǎng)方形框里的可能情況。分析：彈子從每一通道通過(guò)時(shí)可能情況是：它選擇左右兩通道可能性是相等的，而其他任一個(gè)通道的可能情形，應(yīng)等于它左右肩上兩個(gè)通道的可能情形的和。可以設(shè)想，第1層只有條通道，通過(guò)的概率是 1第2層有條通道，每條通過(guò)的概率依次是 第3層有3個(gè)通道，每條通過(guò)的概率從左到右依次是 ，第4層各通道通過(guò)的概率從左到右依次是 ，照這樣計(jì)算第n+1層有n+1個(gè)通道，彈子通過(guò)各通道的概率將是？引導(dǎo)學(xué)生寫(xiě)出此“概率三角形”，分析與楊輝

12、三角的關(guān)系：第n行各概率的分子是楊輝三角中的數(shù)，分母是2 n。（引導(dǎo)學(xué)生課后仿第1章復(fù)習(xí)小結(jié)例1解答）（2）楊輝三角與“縱橫路線(xiàn)圖” 教學(xué)意圖 楊輝三角又一實(shí)際應(yīng)用,學(xué)以致用“縱橫路線(xiàn)圖”是數(shù)學(xué)中的一類(lèi)有趣的問(wèn)題圖1是某城市的部分街道圖，縱橫各有五條路，如果從A處走到B處 (只能由北到南，由西向東)，那么有多少種不同的走法？我們把圖順時(shí)針轉(zhuǎn)45度，使A在正上方，B在正下方，然后在交叉點(diǎn)標(biāo)上相應(yīng)的楊輝三角數(shù)有趣的是，B處所對(duì)應(yīng)的數(shù)70，正好是答案(70)一般地, 每個(gè)交點(diǎn)上的楊輝三角數(shù)，就是從A到達(dá)該點(diǎn)的方法數(shù)由此看來(lái)，楊輝三角與縱橫路線(xiàn)圖問(wèn)題有天然的聯(lián)系（3）楊輝三角與“堆垛術(shù)”（三角垛，正方

13、垛， ）教學(xué)意圖 介紹我國(guó)古代數(shù)學(xué)的偉大成就堆垛術(shù)，引導(dǎo)學(xué)生自行探究將圓彈堆成三角垛：底層是每邊n的三角形，向上逐層每邊少一個(gè)圓彈，頂層是一個(gè)圓彈，求總數(shù)5展示學(xué)生探究成果通過(guò)投影儀展示學(xué)生探究結(jié)果，提高學(xué)習(xí)趣味性，其次，通過(guò)點(diǎn)評(píng)提高探究水平，培養(yǎng)創(chuàng)新能力6教學(xué)小結(jié)：古代數(shù)學(xué)家楊輝，通過(guò)“彈子游戲”了解現(xiàn)代數(shù)學(xué)家華羅庚，增強(qiáng)愛(ài)國(guó)情感；系統(tǒng)探究楊輝三角蘊(yùn)含的數(shù)字排列規(guī)律，培養(yǎng)觀察、探究及創(chuàng)新能力；展示部分探究成果，相互交流學(xué)習(xí)7作業(yè)(1) 求彈子游戲中，彈子落入各長(zhǎng)方形框的可能數(shù)目(2) P.74 習(xí)題1、2楊輝三角形訓(xùn)練1（06湖北卷）將楊輝三角中的每一個(gè)數(shù)都換成，就得到一個(gè)如下圖所示的分?jǐn)?shù)三

14、角形，成為萊布尼茨三角形，從萊布尼茨三角形可看出，其中 。令，則 。解填r1, 1/2.本題考查考生的類(lèi)比歸納及推理能力，第一問(wèn)對(duì)比楊輝三角的性質(zhì)通過(guò)觀察、類(lèi)比、歸納可知萊布尼茨三角形中每一行中的任一數(shù)都等于其“腳下”兩數(shù)的和，故此時(shí)，第二問(wèn)實(shí)質(zhì)上是求萊布尼茨三角形中從第三行起每一行的倒數(shù)第三項(xiàng)的和，即根據(jù)第一問(wèn)所推出的結(jié)論只需在原式基礎(chǔ)上增加一項(xiàng)，則由每一行中的任一數(shù)都等于其“腳下”兩數(shù)的和，結(jié)合給出的數(shù)表可逐次向上求和為，故，從而。2、（07湖南理15）將楊輝三角中的奇數(shù)換成1，偶數(shù)換成0，得到如圖1所示的0-1三角數(shù)表從上往下數(shù)，第1次全行的數(shù)都為1的是第1行，第2次全行的數(shù)都為1的是第

15、3行，第次全行的數(shù)都為1的是第 行；第61行中1的個(gè)數(shù)是 第1行 1 1第2行 1 0 1第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 圖1【答案】，32【解析】由不完全歸納法知，全行都為1的是第行； 故第63行共有64個(gè)1，逆推知第62行共有32個(gè)1，第61行共有32個(gè)1。3.（2009浙江卷理） 觀察下列等式： ， ，由以上等式推測(cè)到一個(gè)一般的結(jié)論：對(duì)于， 答案：【解析】這是一種需類(lèi)比推理方法破解的問(wèn)題，結(jié)論由二項(xiàng)構(gòu)成，第二項(xiàng)前有，二項(xiàng)指數(shù)分別為，因此對(duì)于，4、如圖2所示的三角形數(shù)陣叫“萊布尼茲調(diào)和三角形”, 它們是由整數(shù)的倒數(shù)組成的,第行有個(gè)數(shù)且兩端的數(shù)均為,每個(gè)數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和,如,則第10行第4個(gè)數(shù)(從左往右數(shù))為（B）ABCD5、楊輝三角的第8行是：1 7 21 35 35 21 7 1，其中7，21，35三個(gè)相鄰的數(shù)成等差數(shù)列，你還能在楊輝三角中找出其他在同一行中成等差數(shù)列的相鄰三個(gè)數(shù)嗎？6、如圖所示的數(shù)陣叫“萊布尼茲調(diào)和三角形”，他們是由整數(shù)的倒數(shù)組成的，第行有個(gè)數(shù)且兩端的數(shù)均為，每個(gè)數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和，如：，則第行第3個(gè)數(shù)字是 【答案】 ， 7、給出如下三角形數(shù)表,此數(shù)表滿(mǎn)足:(1)第n行首尾兩數(shù)均為n+1;(2)表中數(shù)字間的遞推關(guān)系類(lèi)似于楊輝三角形,即除了“兩腰”上的數(shù)字以外,每一個(gè)數(shù)都等于它上一行左