選修系列球面上的幾何

1、江西師范大學(xué)數(shù)信學(xué)院13學(xué)科數(shù)學(xué)：陳杰華球面上的幾何球面上的幾何非歐幾何簡史非歐幾何簡史1課程標(biāo)準(zhǔn)解讀課程標(biāo)準(zhǔn)解讀2細(xì)說球面幾何細(xì)說球面幾何3非歐幾何簡史非歐幾何簡史課程標(biāo)準(zhǔn)解讀課程標(biāo)準(zhǔn)解讀細(xì)說球面幾何細(xì)說球面幾何非歐幾何簡史非歐幾何簡史非歐幾何簡史：非歐幾何簡史： 1.為什么學(xué)習(xí)球面幾何？為什么學(xué)習(xí)球面幾何？ 2.球面幾何發(fā)展史球面幾何發(fā)展史.非歐幾何簡史非歐幾何簡史課程標(biāo)準(zhǔn)解讀課程標(biāo)準(zhǔn)解讀細(xì)說球面幾何細(xì)說球面幾何航海航海衛(wèi)星定位衛(wèi)星定位天體觀測天體觀測大地測量大地測量航空航空非歐幾何簡史非歐幾何簡史實(shí)際生活的需要實(shí)際生活的需要非歐幾何簡史非歐幾何簡史課程標(biāo)準(zhǔn)解讀課程標(biāo)準(zhǔn)解讀細(xì)說球面幾何細(xì)說

2、球面幾何非歐幾何簡史非歐幾何簡史 黎曼黎曼羅巴切夫斯基羅巴切夫斯基鮑耶鮑耶高斯高斯普萊菲爾普萊菲爾薩開里薩開里歐幾里德歐幾里德公元前公元前300300年，歐幾里德創(chuàng)作了年，歐幾里德創(chuàng)作了幾何原本幾何原本，其中在幾何方，其中在幾何方面提出五面提出五條條公設(shè)，第五條公設(shè)，第五條“若若一條直線與另外兩條直線相交一條直線與另外兩條直線相交且使其一鋇且使其一鋇( (的內(nèi)角和小于兩個(gè)的內(nèi)角和小于兩個(gè)直角直角, ,則則該兩條直線在該側(cè)延長該兩條直線在該側(cè)延長后必后必相交相交”。17951795年蘇格蘭數(shù)學(xué)家、物理學(xué)年蘇格蘭數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家家普萊菲爾提出普萊菲爾提出一條跟歐氏第一條跟歐氏第五公設(shè)等價(jià)的命題五公

3、設(shè)等價(jià)的命題, ,過己知直線過己知直線外一點(diǎn)能且只能作一條直線外一點(diǎn)能且只能作一條直線與已知直線平行與已知直線平行. .也叫作普萊菲也叫作普萊菲爾公設(shè)爾公設(shè). .德國大數(shù)學(xué)家德國大數(shù)學(xué)家高斯高斯18171817年年, ,他確他確信信第五公設(shè)獨(dú)立于第五公設(shè)獨(dú)立于其他公設(shè)其他公設(shè), ,并并開始得到了一系列非歐幾何結(jié)開始得到了一系列非歐幾何結(jié)論論, ,但是高斯但是高斯( (由于哲學(xué)由于哲學(xué)觀點(diǎn)觀點(diǎn)的的原因原因) )沒有發(fā)表他的倒可證明與沒有發(fā)表他的倒可證明與結(jié)論結(jié)論. .匈牙利數(shù)學(xué)家匈牙利數(shù)學(xué)家鮑耶鮑耶18231823年寫成年寫成了擯棄了擯棄第五公設(shè)的第五公設(shè)的空間的絕空間的絕對幾何學(xué)對幾何學(xué), ,

4、給他父親的信中敘給他父親的信中敘述了自己對第五公設(shè)問題的研述了自己對第五公設(shè)問題的研究究, ,兩年后兩年后發(fā)表在他父親一本書發(fā)表在他父親一本書的附錄中的附錄中, ,其主要結(jié)論是首次說其主要結(jié)論是首次說明可能存在一種明可能存在一種全新全新的幾何的幾何. .俄羅斯俄羅斯數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基采羅巴切夫斯基采用用了歐氏幾何學(xué)除第五公設(shè)以了歐氏幾何學(xué)除第五公設(shè)以外的所有公設(shè)外的所有公設(shè), ,他他把歐幾里德的把歐幾里德的第五公設(shè)放到一邊第五公設(shè)放到一邊, ,提出了另外提出了另外一個(gè)公設(shè)一個(gè)公設(shè): :過已知直線外的一過已知直線外的一個(gè)已知點(diǎn)至少可以作兩條直線個(gè)已知點(diǎn)至少可以作兩條直線和己知直線平行。證明

5、了三角和己知直線平行。證明了三角形的內(nèi)角之和小于形的內(nèi)角之和小于180180。18541854年德國數(shù)學(xué)家年德國數(shù)學(xué)家黎曼空間黎曼空間由由“長度長度”決定。把歐氏幾何學(xué)決定。把歐氏幾何學(xué)的第一的第一, ,第二第二, ,第五公設(shè)修改為第五公設(shè)修改為: :1.1.兩個(gè)不同的點(diǎn)至少確定一條兩個(gè)不同的點(diǎn)至少確定一條直線直線。2 2. .直線是無界的直線是無界的。5 5. .平平面上的倒可兩條直線都直交。面上的倒可兩條直線都直交。證明證明了三角形的內(nèi)角之和大于了三角形的內(nèi)角之和大于180180。非歐幾何簡史非歐幾何簡史項(xiàng)目項(xiàng)目歐氏幾何歐氏幾何羅氏幾何羅氏幾何黎曼幾何黎曼幾何兩條不重合直線的相交情況兩條不

6、重合直線的相交情況至多一個(gè)點(diǎn)至多一個(gè)點(diǎn)至多一個(gè)點(diǎn)至多一個(gè)點(diǎn)一個(gè)或兩個(gè)一個(gè)或兩個(gè)給定一直線給定一直線,與已知直線平行的條與已知直線平行的條數(shù)數(shù)唯一一條唯一一條至多兩條至多兩條沒有沒有兩條平行線兩條平行線等距等距不等距不等距不存在不存在如果一條直線與兩平行線中一條如果一條直線與兩平行線中一條相交，則與另一條相交，則與另一條必相交必相交不一定不一定不存在不存在垂直于同一條直線的不同直線的垂直于同一條直線的不同直線的關(guān)系關(guān)系彼此平行彼此平行平行平行相交相交三角形的內(nèi)角和三角形的內(nèi)角和等于等于180小于小于180大于大于180三角形的面積與其內(nèi)角和的關(guān)系三角形的面積與其內(nèi)角和的關(guān)系無關(guān)無關(guān)反比反比反比反

7、比對應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形的關(guān)系對應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形的關(guān)系相似相似全等全等全等全等非歐幾何簡史非歐幾何簡史課程標(biāo)準(zhǔn)解讀課程標(biāo)準(zhǔn)解讀細(xì)說球面幾何細(xì)說球面幾何課程標(biāo)準(zhǔn)解讀課程標(biāo)準(zhǔn)解讀非歐幾何簡史非歐幾何簡史課程標(biāo)準(zhǔn)解讀課程標(biāo)準(zhǔn)解讀細(xì)說球面幾何細(xì)說球面幾何課程標(biāo)準(zhǔn)解讀課程標(biāo)準(zhǔn)解讀非歐幾何簡史非歐幾何簡史課程標(biāo)準(zhǔn)解讀課程標(biāo)準(zhǔn)解讀細(xì)說球面幾何細(xì)說球面幾何課程標(biāo)準(zhǔn)解讀課程標(biāo)準(zhǔn)解讀非歐幾何簡史非歐幾何簡史課程標(biāo)準(zhǔn)解讀課程標(biāo)準(zhǔn)解讀細(xì)說球面幾何細(xì)說球面幾何課程標(biāo)準(zhǔn)解讀課程標(biāo)準(zhǔn)解讀非歐幾何簡史非歐幾何簡史課程標(biāo)準(zhǔn)解讀課程標(biāo)準(zhǔn)解讀細(xì)說球面幾何細(xì)說球面幾何課程標(biāo)準(zhǔn)解讀課程標(biāo)準(zhǔn)解讀非歐幾何簡史非歐幾何簡史課程標(biāo)準(zhǔn)解讀課

8、程標(biāo)準(zhǔn)解讀細(xì)說球面幾何細(xì)說球面幾何細(xì)說球面幾何細(xì)說球面幾何 歐拉公式歐拉公式 球面三角形的性質(zhì)球面三角形的性質(zhì)23 球面上的基本定義球面上的基本定義1非歐幾何簡史非歐幾何簡史課程標(biāo)準(zhǔn)解讀課程標(biāo)準(zhǔn)解讀細(xì)說球面幾何細(xì)說球面幾何球面上的基本定義球面上的基本定義定義定義1 1 三維空間三維空間中與一個(gè)定點(diǎn)中與一個(gè)定點(diǎn)O O的距的距離等于離等于r r的點(diǎn)的軌跡叫做的點(diǎn)的軌跡叫做球面球面。定點(diǎn)定點(diǎn)O O叫做叫做球心球心，等距離的長，等距離的長度度r r叫做球的叫做球的半徑半徑（或者半徑（或者半徑為為r r的半圓繞直徑旋轉(zhuǎn)一周所的半圓繞直徑旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)面叫做球面得旋轉(zhuǎn)面叫做球面) )，通常把，通常把半徑

9、長度為半徑長度為1 1的球面叫的球面叫單位球單位球面面P P定義定義2 2 如果直線如果直線l l與球面與球面S S相切，它們相切，它們有唯一公共點(diǎn)，則這公共點(diǎn)有唯一公共點(diǎn)，則這公共點(diǎn)P P為為切點(diǎn)切點(diǎn)定義定義3 3 如果直線與球面如果直線與球面S S相交，則它相交，則它們交于兩點(diǎn)，當(dāng)直線經(jīng)過球心們交于兩點(diǎn)，當(dāng)直線經(jīng)過球心時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)稱為時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)稱為對徑點(diǎn)對徑點(diǎn)，譬如譬如A A、AA定義定義4 4 通過通過球心的平面截球面所得截球心的平面截球面所得截口是一個(gè)圓，它叫做口是一個(gè)圓，它叫做大圓大圓；不；不過球心的平面截球面所得的截過球心的平面截球面所得的截口也是一個(gè)圓，它叫做口也是一個(gè)圓，

10、它叫做小圓小圓。非歐幾何簡史非歐幾何簡史課程標(biāo)準(zhǔn)解讀課程標(biāo)準(zhǔn)解讀細(xì)說球面幾何細(xì)說球面幾何球面上的基本定義球面上的基本定義定義定義5 5 過球面上兩點(diǎn)的大圓叫做這兩過球面上兩點(diǎn)的大圓叫做這兩點(diǎn)的點(diǎn)的球面直線球面直線，過球面上兩點(diǎn)，過球面上兩點(diǎn)的大圓的劣弧叫做連接這兩點(diǎn)的大圓的劣弧叫做連接這兩點(diǎn)的線段，即這兩點(diǎn)的的線段，即這兩點(diǎn)的球面距離球面距離非歐幾何簡史非歐幾何簡史課程標(biāo)準(zhǔn)解讀課程標(biāo)準(zhǔn)解讀細(xì)說球面幾何細(xì)說球面幾何球面上的基本定義球面上的基本定義定義定義6 6 設(shè)設(shè)c c是球面上的一個(gè)大圓，是球面上的一個(gè)大圓，則在球面上存在一對對則在球面上存在一對對徑點(diǎn)徑點(diǎn)P P和和P,P,使得直徑使得直徑PP

11、PP垂直大圓垂直大圓c c所在平面，我所在平面，我們把對徑點(diǎn)們把對徑點(diǎn)P P、PP叫做叫做大圓大圓c c的的極點(diǎn)極點(diǎn)非歐幾何簡史非歐幾何簡史課程標(biāo)準(zhǔn)解讀課程標(biāo)準(zhǔn)解讀細(xì)說球面幾何細(xì)說球面幾何球面上的基本定義球面上的基本定義定義定義6 6 設(shè)設(shè)P P是球面上任意一點(diǎn)，是球面上任意一點(diǎn)，P P是它的對徑點(diǎn)是它的對徑點(diǎn), ,那么那么存在唯一一個(gè)大圓，使存在唯一一個(gè)大圓，使得得P P、PP是是大圓大圓c c的極點(diǎn)，的極點(diǎn)，我們把大圓我們把大圓c c叫做點(diǎn)叫做點(diǎn)P P的的極線極線非歐幾何簡史非歐幾何簡史課程標(biāo)準(zhǔn)解讀課程標(biāo)準(zhǔn)解讀細(xì)說球面幾何細(xì)說球面幾何球面上的基本定義球面上的基本定義定義定義7 7 兩兩大圓

12、相交所成之角，叫做大圓相交所成之角，叫做球球面角面角。其交點(diǎn)叫做球面角的。其交點(diǎn)叫做球面角的頂頂點(diǎn)點(diǎn)，大圓弧叫做這球面角的，大圓弧叫做這球面角的邊邊。 一般一般，球面角是以過頂點(diǎn)的圓，球面角是以過頂點(diǎn)的圓弧的二切線所夾的角來度量弧的二切線所夾的角來度量的的非歐幾何簡史非歐幾何簡史課程標(biāo)準(zhǔn)解讀課程標(biāo)準(zhǔn)解讀細(xì)說球面幾何細(xì)說球面幾何球面上的基本定義球面上的基本定義注重定義定義8 8 球面球面上相交于三點(diǎn)的三個(gè)大圓上相交于三點(diǎn)的三個(gè)大圓弧所圍成的球面上的一部分弧所圍成的球面上的一部分,叫叫做球面三角形做球面三角形.這三個(gè)大圓弧叫這三個(gè)大圓弧叫做球面三角形的邊做球面三角形的邊.通常用小寫通常用小寫拉丁字

13、母拉丁字母a ,b ,c 來表示來表示.各大圓各大圓弧所成的球面角，叫做球面三弧所成的球面角，叫做球面三角形的角，通常大寫拉丁字母角形的角，通常大寫拉丁字母A,B,C來表示來表示.這三個(gè)邊與三個(gè)角這三個(gè)邊與三個(gè)角統(tǒng)稱為球面三角形的六個(gè)元素統(tǒng)稱為球面三角形的六個(gè)元素.非歐幾何簡史非歐幾何簡史課程標(biāo)準(zhǔn)解讀課程標(biāo)準(zhǔn)解讀細(xì)說球面幾何細(xì)說球面幾何球面三角形的性質(zhì)球面三角形的性質(zhì)注重非歐幾何簡史非歐幾何簡史課程標(biāo)準(zhǔn)解讀課程標(biāo)準(zhǔn)解讀細(xì)說球面幾何細(xì)說球面幾何注重定義定義9 在在同球或等球面上，若兩球面三角同球或等球面上，若兩球面三角形的對應(yīng)邊和角分別相等，而且排形的對應(yīng)邊和角分別相等，而且排列順序相同，則稱這

14、兩個(gè)球面三角列順序相同，則稱這兩個(gè)球面三角形全等形全等. .非歐幾何簡史非歐幾何簡史課程標(biāo)準(zhǔn)解讀課程標(biāo)準(zhǔn)解讀細(xì)說球面幾何細(xì)說球面幾何球面三角形的性質(zhì)球面三角形的性質(zhì)球面三角形的全等判定球面三角形的全等判定u定理定理1 如果兩個(gè)球面三角形的三對邊對應(yīng)相等，則這兩球面如果兩個(gè)球面三角形的三對邊對應(yīng)相等，則這兩球面三角形相等，即全等或?qū)ΨQ三角形相等，即全等或?qū)ΨQ（SSS）。u推論推論 如果兩個(gè)球面三角形的三對角對應(yīng)相等，則這兩球面如果兩個(gè)球面三角形的三對角對應(yīng)相等，則這兩球面三角形相等，即全等或?qū)ΨQ三角形相等，即全等或?qū)ΨQ（AAA）。u定理定理2 如果兩個(gè)球面三角形有兩對邊對應(yīng)相等，并且它們的如果兩個(gè)球面三角形有兩對邊對應(yīng)相等，并且它們的夾角也相等，則這兩球面三角形相等，即全等或?qū)ΨQ夾角也相等，則這兩球面三角形相等，即全等或?qū)ΨQ（SAS） 。u推論推論 如果兩個(gè)球面三角形有兩對角對應(yīng)相等而且它們的夾如果兩個(gè)球面