2022年線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)匯總

1、線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1 行列式（一）行列式概念和性質(zhì)1、逆序數(shù)： 所有的逆序的總數(shù)2、行列式定義： 不同行不同列元素乘積代數(shù)和3、行列式性質(zhì)：（用于化簡(jiǎn)行列式）（1）行列互換（轉(zhuǎn)置），行列式的值不變（2）兩行（列）互換，行列式變號(hào)（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一數(shù)k，等于用數(shù) k乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是兩組數(shù)之和，那么這個(gè)行列式就等于兩個(gè)行列式之和。（5）一行（列）乘 k 加到另一行（列），行列式的值不變。（6）兩行成比例，行列式的值為0。（二）重要行列式4、上（下）三角（主對(duì)角線）行列式的值等于主對(duì)角線元素的乘積5、副對(duì)角線行列式的值

2、 等于副對(duì)角線元素的乘積乘6、laplace展開式： （a 是 m 階矩陣， b 是 n 階矩陣） ，則7、n 階（n2）范德蒙德行列式精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁(yè)，共 15 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁(yè)，共 15 頁(yè) - - - - - - - - -數(shù)學(xué)歸納法證明8、對(duì)角線的元素為a，其余元素為 b 的行列式的值：（三）按行（列）展開9、按行展開定理：（1）任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和等于行列式

3、的值（2）行列式中某一行（列）各個(gè)元素與另一行（列）對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于 0（四）行列式公式10、行列式七大公式：（1）|ka|=kn|a|（2）|ab|=|a| |b|（3）|at|=|a|（4）|a-1|=|a|-1（5）|a*|=|a|n-1（6）若 a 的特征值1 、2 、 n，則（7）若 a 與 b 相似，則 |a|=|b|（五）克萊姆法則11、克萊姆法則：（ 1 ） 非 齊 次 線 性 方 程 組 的 系 數(shù) 行 列 式 不 為0 ， 那 么 方 程 為 唯 一 解精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁(yè)，共 1

4、5 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁(yè)，共 15 頁(yè) - - - - - - - - -（2）如果非齊次線性方程組無(wú)解或有兩個(gè)不同解，則它的系數(shù)行列式必為0（3）若齊次線性方程組的系數(shù)行列式不為0，則齊次線性方程組只有0 解；如果方程組有非零解，那么必有d=0。2 矩陣（一）矩陣的運(yùn)算1、矩陣乘法注意事項(xiàng)：（1）矩陣乘法要求前列后行一致；（2）矩陣乘法不滿足交換律； （因式分解的公式對(duì)矩陣不適用，但若b=e,o,a-1，a*,f(a)時(shí)，可以用交換律）（3）ab=o不能推出 a=o或 b=o。

5、2、轉(zhuǎn)置的性質(zhì)（ 5 條）（1） （a+b）t=at+bt（2） （ka）t=kat（3） （ab）t=btat（4）|a|t=|a|（5） （at）t=a（二）矩陣的逆3、逆的定義：ab=e或 ba=e成立，稱 a 可逆， b 是 a 的逆矩陣，記為 b=a-1注：a可逆的充要條件是 |a| 04、逆的性質(zhì)：（5條）（1） （ka）-1=1/ka-1 (k0)（2） （ab）-1=b-1a-1（3）|a-1|=|a|-1（4） （at）-1=（a-1）t（5） （a-1）-1=a精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁(yè)，共 15 頁(yè)

6、- - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁(yè)，共 15 頁(yè) - - - - - - - - -5、逆的求法：（1）a 為抽象矩陣：由定義或性質(zhì)求解（2）a 為數(shù)字矩陣：（a|e）初等行變換 （e|a-1）（三）矩陣的初等變換6、初等行（列）變換定義：（1）兩行（列）互換；（2）一行（列）乘非零常數(shù)c（3）一行（列）乘 k 加到另一行（列）7、初等矩陣： 單位矩陣 e經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣。8、初等變換與初等矩陣的性質(zhì)：（1）初等行（列）變換相當(dāng)于左（右）乘相應(yīng)的初等矩陣（2）初等矩陣均為可逆矩陣，且ei

7、j-1=eij（i，j 兩行互換）；ei-1（c）=ei（1/c） （第 i 行（列）乘 c）eij-1（k）=eij（-k） （第 i 行乘 k 加到 j）（四）矩陣的秩9、秩的定義： 非零子式的最高階數(shù)注： （1）r（a）=0 意味著所有元素為0，即 a=o（2）r（ann）=n（滿秩） |a| 0 a 可逆；r（a）n|a|=0 a 不可逆；（3）r（a）=r（r=1、2、 n-1）r 階子式非零且所有r+1 子式均為 0。10、秩的性質(zhì)：（7 條）（1）a 為 mn 階矩陣，則 r（a）min（m,n）（2）r（ab）r（a）（ b）（3）r（ab）minr（a） ，r（b）（4）r（

8、ka）=r（a） （k0）（5）r（a）=r（ac ） （c是一個(gè)可逆矩陣）（6）r（a）=r（at）=r（ata）=r（aat）（7）設(shè) a 是 mn 階矩陣， b是 ns 矩陣， ab=o ，則 r（a）+r（b）n精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁(yè)，共 15 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁(yè)，共 15 頁(yè) - - - - - - - - -11、秩的求法：（1）a 為抽象矩陣：由定義或性質(zhì)求解；（2）a為數(shù)字矩陣： a初等

9、行變換 階梯型（每行第一個(gè)非零元素下面的元素均為 0） ，則 r（a）=非零行的行數(shù)（五）伴隨矩陣12、伴隨矩陣的性質(zhì)：（8 條）（1）aa*=a*a=|a|e a*=|a|a-1（2） （ka）*=kn-1a*（3） （ab）*=b*a*（4）|a*|=|a|n-1（5） （at）*=（a*）t（6） （a-1）*=（a*）-1=a|a|-1（7） （a*）*=|a| n-2a（8）r（a*）=n （r（a）=n） ；r（a*）=1 （r（a）=n-1） ；r（a*）=0 （r（a）n-1）（六）分塊矩陣13、分塊矩陣的乘法： 要求前列后行分法相同。14、分塊矩陣求逆：3 向量（一）向量的概

10、念及運(yùn)算1、向量的內(nèi)積：（，） =t=t2、長(zhǎng)度定義：| |=3、正交定義：（，） =t=t=a1b1+a2b2+anbn=04、正交矩陣的定義： a 為 n 階矩陣， aat=e a-1=at ata=e |a|= 1精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁(yè)，共 15 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁(yè)，共 15 頁(yè) - - - - - - - - -（二）線性組合和線性表示5、線性表示的充要條件：非零列向量可由1，2，s線性表示(1

11、) 非齊次線性方程組（1，2，s） （x1，x2， xs）t=有解。(2)r（1，2，s）=r（1，2，s，） （系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，用于大題第一步的檢驗(yàn)）6、線性表示的充分條件： （了解即可）若1，2，s線性無(wú)關(guān)，1，2，s，線性相關(guān)，則可由1，2，s線性表示。7、線性表示的求法：（大題第二步）設(shè)1，2，s線性無(wú)關(guān)，可由其線性表示。（1，2，s| ）初等行變換 （行最簡(jiǎn)形 |系數(shù)）行最簡(jiǎn)形：每行第一個(gè)非0 的數(shù)為 1，其余元素均為 0（三）線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)8、線性相關(guān)注意事項(xiàng)：（1）線性相關(guān) =0（2）1，2線性相關(guān) 1，2成比例9、線性相關(guān)的充要條件：向量組1，2，s線性相關(guān)（

12、1）有個(gè)向量可由其余向量線性表示；（2）齊次方程（1，2，s） （x1，x2， xs）t=0有非零解；（3）r（1，2，s）s 即秩小于個(gè)數(shù)特別地， n 個(gè) n 維列向量1，2，n線性相關(guān)（1） r（1，2，n）n（2）|1，2，n |=0（3）（1，2，n）不可逆精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁(yè)，共 15 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁(yè)，共 15 頁(yè) - - - - - - - - -10、線性相關(guān)的充分條件：（1）向量組

13、含有零向量或成比例的向量必相關(guān)（2）部分相關(guān)，則整體相關(guān)（3）高維相關(guān)，則低維相關(guān)（4）以少表多，多必相關(guān)推論： n+1 個(gè) n 維向量一定線性相關(guān)11、線性無(wú)關(guān)的充要條件向量組1，2，s線性無(wú)關(guān)（1）任意向量均不能由其余向量線性表示；（2）齊次方程（1，2，s） （x1，x2， xs）t=0只有零解（3）r（1，2，s）=s特別地， n 個(gè) n 維向量1，2，n線性無(wú)關(guān)r（1，2，n）=n |1，2，n |0 矩陣可逆12、線性無(wú)關(guān)的充分條件：（1）整體無(wú)關(guān)，部分無(wú)關(guān)（2）低維無(wú)關(guān)，高維無(wú)關(guān)（3）正交的非零向量組線性無(wú)關(guān)（4）不同特征值的特征向量無(wú)關(guān)13、線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)判定（1）定義法（

14、2）秩：若小于階數(shù)，線性相關(guān)；若等于階數(shù)，線性無(wú)關(guān)【專業(yè)知識(shí)補(bǔ)充】（1）在矩陣左邊乘列滿秩矩陣（秩=列數(shù)） ，矩陣的秩不變；在矩陣右邊乘行滿秩矩陣，矩陣的秩不變。（2）若 n 維列向量1，2，3線性無(wú)關(guān)， 1，2，3可以由其線性表示，即（1，2，3）=（1，2，3）c，則 r（1，2，3）=r（c） ，從而線性無(wú)關(guān)。r（1，2，3）=3 r（c）=3 |c| 0精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁(yè)，共 15 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - -

15、第 7 頁(yè)，共 15 頁(yè) - - - - - - - - -（四）極大線性無(wú)關(guān)組與向量組的秩14、極大線性無(wú)關(guān)組不唯一15、向量組的秩 :極大無(wú)關(guān)組中向量的個(gè)數(shù)成為向量組的秩對(duì)比：矩陣的秩 :非零子式的最高階數(shù)注:向量組1，2，s的秩與矩陣 a=（1，2，s）的秩相等16、極大線性無(wú)關(guān)組的求法（1）1，2，s為抽象的：定義法（2）1，2，s為數(shù)字的：（1，2，s）初等行變換 階梯型矩陣則每行第一個(gè)非零的數(shù)對(duì)應(yīng)的列向量構(gòu)成極大無(wú)關(guān)組（五）向量空間17、基（就是極大線性無(wú)關(guān)組）變換公式：若1，2，n與1，2，n是 n 維向量空間 v 的兩組基，則基變換公式為（1，2，n）=（1，2，n）cnn其中

16、， c是從基1，2，n到1，2，n的過(guò)渡矩陣。c=（1，2，n）-1（1，2，n）18、坐標(biāo)變換公式：向量在基1， 2， ， n與基1， 2， ， n的坐標(biāo)分別為 x= （x1， x2， ，xn）t，y=（y1，y2，yn）t， ，即=x11 + x22 + +xnn =y11 + y22 + +ynn，則坐標(biāo)變換公式為x=cy或 y=c-1x。其中，c是從基1，2，n到1，2，n的過(guò)渡矩陣。 c=（1，2，n）-1（1，2，n）（六） schmidt 正交化19、schmidt 正交化設(shè)1，2，3線性無(wú)關(guān)（1）正交化令1=1精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - -

17、- - - - - 第 8 頁(yè)，共 15 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁(yè)，共 15 頁(yè) - - - - - - - - -（2）單位化4 線性方程組（一）方程組的表達(dá)形與解向量1、解的形式：(1)一般形式(2)矩陣形式： ax=b；(3)向量形式： a=（1，2，n）2、解的定義：若=（c1，c2， cn）t滿足方程組 ax=b，即 a=b，稱是 ax=b的一個(gè)解（向量）（二）解的判定與性質(zhì)3、齊次方程組：（1）只有零解 r（a）=n（n 為 a的列數(shù)或是未知數(shù)x 的個(gè)數(shù)）（2）有非零解

18、r（a）n4、非齊次方程組：（1）無(wú)解 r（a）r（a|b）r（a）=r（a）-1（2）唯一解 r（a）=r（a|b）=n（3）無(wú)窮多解 r（a）=r（a|b）n5、解的性質(zhì)：（1）若1，2是 ax=0的解，則 k11+k22是 ax=0的解（2）若是 ax=0的解，是 ax=b的解，則 +是 ax=b的解（3）若1，2是 ax=b的解，則1-2是 ax=0的解精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁(yè)，共 15 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - -

19、第 9 頁(yè)，共 15 頁(yè) - - - - - - - - -【推廣】（1）設(shè)1，2，s是 ax=b的解，則 k11+k22+kss為ax=b的解（當(dāng) ki=1）ax=0的解（當(dāng) ki=0）（2）設(shè)1，2，s是 ax=b的 s個(gè)線性無(wú)關(guān)的解， 則2-1，3-1，s-1為 ax=0的 s-1個(gè)線性無(wú)關(guān)的解。變式：1-2，3-2，s-22-1，3-2，s-s-1（三）基礎(chǔ)解系6、基礎(chǔ)解系定義：（1）1，2，s是 ax=0的解（2）1，2，s線性相關(guān)（3）ax=0的所有解均可由其線性表示基礎(chǔ)解系即所有解的極大無(wú)關(guān)組注：基礎(chǔ)解系不唯一。任意 n-r（a）個(gè)線性無(wú)關(guān)的解均可作為基礎(chǔ)解系。7、重要結(jié)論：（證

20、明也很重要）設(shè) a 施 mn 階矩陣， b是 ns 階矩陣， ab=o（1）b的列向量均為方程 ax=0的解（2）r（a）+r（b）n（第 2 章，秩）8、總結(jié)：基礎(chǔ)解系的求法（1）a 為抽象的：由定義或性質(zhì)湊n-r（a）個(gè)線性無(wú)關(guān)的解（2）a 為數(shù)字的： a初等行變換 階梯型自由未知量分別取1,0,0；0,1,0；0,0,1；代入解得非自由未知量得到基礎(chǔ)解系（四）解的結(jié)構(gòu)（通解）9、齊次線性方程組的通解（所有解）設(shè) r（a）=r，1，2，n-r為 ax=0的基礎(chǔ)解系，則 ax=0的通解為 k11+k22+kn-rn-r （其中 k1，k2， kn-r為任意常數(shù)）精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f

21、 - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁(yè)，共 15 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁(yè)，共 15 頁(yè) - - - - - - - - -10、非齊次線性方程組的通解設(shè) r（a）=r，1，2，n-r為 ax=0的基礎(chǔ)解系，為 ax=b的特解，則 ax=b的通解為 + k11+k22+kn-rn-r （其中 k1，k2，kn-r為任意常數(shù)）（五）公共解與同解11、公共解定義：如果既是方程組ax=0的解，又是方程組bx=0的解，則稱為其公共解12、非零公共解的充要條件

22、：方程組 ax=0與 bx=0有非零公共解有非零解 13、重要結(jié)論（需要掌握證明）（1）設(shè) a 是 mn 階矩陣，則齊次方程atax=0與 ax=0同解， r（ata ）=r（a）（2）設(shè) a 是 mn 階矩陣， r（a）=n，b是 ns 階矩陣，則齊次方程abx=0與bx=0同解， r（ab）=r（b）5 特征值與特征向量（一）矩陣的特征值與特征向量1、特征值、特征向量的定義：設(shè) a 為 n 階矩陣，如果存在數(shù)及非零列向量，使得a=，稱是矩陣a屬于特征值的特征向量。2、特征多項(xiàng)式、特征方程的定義：| e-a|稱為矩陣 a 的特征多項(xiàng)式（的n 次多項(xiàng)式）。| e-a |=0 稱為矩陣 a 的特

23、征方程（的n 次方程） 。注:特征方程可以寫為 |a- e|=03、重要結(jié)論：（1）若為齊次方程 ax=0的非零解，則 a=0，即為矩陣 a特征值 =0的特征向量（2）a 的各行元素和為 k，則(1，1， 1)t為特征值為 k 的特征向量。（3）上（下）三角或主對(duì)角的矩陣的特征值為主對(duì)角線各元素。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁(yè)，共 15 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁(yè)，共 15 頁(yè) - - - - - - - - -

24、4、總結(jié)：特征值與特征向量的求法（1）a 為抽象的：由定義或性質(zhì)湊（2）a 為數(shù)字的：由特征方程法求解5、特征方程法：（1）解特征方程 | e-a|=0，得矩陣 a 的 n 個(gè)特征值1，2，n注：n 次方程必須有 n 個(gè)根(可有多重根，寫作1=2=s=實(shí)數(shù)，不能省略 )（2）解齊次方程 （ie-a ）=0，得屬于特征值i的線性無(wú)關(guān)的特征向量， 即其基礎(chǔ)解系（共 n-r（ie-a ）個(gè)解）6、性質(zhì)：（1）不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān)（2）k重特征值最多 k 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量1n-r（ie-a ）ki（3）設(shè) a 的特征值為1，2，n，則|a|= i，i=aii（4）當(dāng) r（a）=1，即 a=

25、t，其中，均為n 維非零列向量，則a 的特征值為1=aii=t=t，2=n=0（5）設(shè)是矩陣 a 屬于特征值的特征向量，則af（a）ata-1a*p-1ap （相似）f（ ）-1|a| -1/p-1（二）相似矩陣7、相似矩陣的定義：設(shè) a、b 均為 n 階矩陣，如果存在可逆矩陣p使得 b=p-1ap，稱 a 與 b 相似，記作 ab8、相似矩陣的性質(zhì)（1）若 a 與 b相似，則 f（a）與 f（b）相似（2）若 a 與 b相似， b與 c相似，則 a 與 c相似精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁(yè)，共 15 頁(yè) - - - - -

26、 - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁(yè)，共 15 頁(yè) - - - - - - - - -（3）相似矩陣有相同的行列式、秩、特征多項(xiàng)式、特征方程、特征值、跡（即主對(duì)角線元素之和）【推廣】（4）若 a 與 b相似，則 ab與 ba相似， at與 bt相似， a-1與 b-1相似， a*與 b*也相似（三）矩陣的相似對(duì)角化9、相似對(duì)角化定義：如果 a 與對(duì)角矩陣相似，即存在可逆矩陣p，使得 p-1ap= =，稱 a 可相似對(duì)角化。注：ai=ii（i0，由于 p可逆） ，故 p的每一列均為矩陣a 的特征值i的特征向量10、相

27、似對(duì)角化的充要條件（1）a 有 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量（2）a 的 k 重特征值有 k 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量11、相似對(duì)角化的充分條件：（1）a 有 n 個(gè)不同的特征值（不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān)）（2）a 為實(shí)對(duì)稱矩陣12、重要結(jié)論：（1）若 a 可相似對(duì)角化，則r（a）為非零特征值的個(gè)數(shù)， n-r（a）為零特征值的個(gè)數(shù)（2）若 a 不可相似對(duì)角化， r（a）不一定為非零特征值的個(gè)數(shù)（四）實(shí)對(duì)稱矩陣13、性質(zhì)（1）特征值全為實(shí)數(shù)（2）不同特征值的特征向量正交（3）a 可相似對(duì)角化，即存在可逆矩陣p使得 p-1ap= （4）a 可正交相似對(duì)角化，即存在正交矩陣q，使得 q-1aq=qtaq

28、= 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 頁(yè)，共 15 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 頁(yè)，共 15 頁(yè) - - - - - - - - -6 二次型（一）二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形1、二次型：（1）一般形式（2）矩陣形式（常用）2、標(biāo)準(zhǔn)形：如果二次型只含平方項(xiàng)，即f（x1，x2， xn）=d1x12+d2x22+dnxn2這樣的二次型稱為標(biāo)準(zhǔn)形（對(duì)角線）3、二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的方法：（1）配方法：通過(guò)可逆線性變換x=cy （c可逆） ，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。其中，可逆線性變換及標(biāo)準(zhǔn)形通過(guò)先配方再換元得到。（2）正交變換法：通過(guò)正交變換 x=qy，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形1y12+2y22+nyn2其中，1，2，n是 a 的 n 個(gè)特征值， q 為 a 的正交矩陣注:正交矩陣 q不唯一，i與i對(duì)應(yīng)即可。（二）慣性定理及規(guī)范形4、定義：正慣性指數(shù)：標(biāo)準(zhǔn)形中正平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)稱為正慣性指數(shù)，記為p；負(fù)慣性指數(shù)：標(biāo)準(zhǔn)形中負(fù)平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)稱為負(fù)慣性指數(shù)，記為q；規(guī)范形： f=z12+zp2-zp+12-zp+q2稱為二次型的規(guī)范形。