圓的切線方程

1、本節(jié)要求：本節(jié)要求： 掌握求圓的切線方程的方法。掌握求圓的切線方程的方法。圓的切線方程的幾種基本類型圓的切線方程的幾種基本類型:1.過圓上一點(diǎn)的切線方程過圓上一點(diǎn)的切線方程2.過圓外一點(diǎn)的切線方程過圓外一點(diǎn)的切線方程例例 1 已知圓的方程是已知圓的方程是x2+y2=r2,求經(jīng)過求經(jīng)過 圓上一點(diǎn)圓上一點(diǎn)M(x0,y0)的切線方程的切線方程. .,.10000yxkxykkkkOMOM ， 解解: :設(shè)切線的斜率為設(shè)切線的斜率為 則則0),(000 xxyxyyM 的切線方程是的切線方程是經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn) .,20022020ryyxxryxM 所求的切線方程是所求的切線方程是在圓上在圓上, ,所以所

2、以因?yàn)辄c(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn)當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)M在坐標(biāo)軸上時(shí)，在坐標(biāo)軸上時(shí)，可以驗(yàn)證，上面方程可以驗(yàn)證，上面方程同樣適用同樣適用.),(00yxMyxO練習(xí)練習(xí): 寫出過圓寫出過圓x2+y2=10上一點(diǎn)上一點(diǎn)M(2, ) 的切線的方程的切線的方程. 62x+6y=10 過圓過圓 x2+y2=r2上一點(diǎn)上一點(diǎn)(x0,y0)的切線方程為：的切線方程為：x0 x+y0y=r2小結(jié)：小結(jié)：221:13( 3,2)xyP例求與圓切于點(diǎn)的切線方程。013231323)2 , 3(yxyxP可直接寫出切線方程：在圓上是切點(diǎn)解： 例例 2. 已知圓的方程是已知圓的方程是(x-1)2+y2=9,求過點(diǎn)求過點(diǎn) (-2,4)的圓的切線方程

3、的圓的切線方程. 解解:圓心圓心(1,0)到點(diǎn)到點(diǎn)(-2,4)的距離為的距離為5大于半徑大于半徑3點(diǎn)點(diǎn)(-2,4)在已知圓外在已知圓外,過該點(diǎn)的圓的切線有過該點(diǎn)的圓的切線有兩條兩條設(shè)過點(diǎn)設(shè)過點(diǎn)(-2,4)的圓的切線方程為的圓的切線方程為y-4=k(x+2) 即即kx-y+2k+4=0 由圓心由圓心(1,0)到該切線的距離等于半徑到該切線的距離等于半徑,得得 k-0+2k+4K2+1=3解得解得: k=-724724 代入代入得得- x-y-2 +4=0 即即 7x+24y-82=0724分析又圓心到直線又圓心到直線x=-2的距離等于半徑的距離等于半徑3,所以所以x=-2也是圓的方程也是圓的方程

4、因此因此,所求圓的切線方程為所求圓的切線方程為x=-2, 7x+24y-82=0.yx0(-2,4)注注:過圓外一點(diǎn)的切線有兩條過圓外一點(diǎn)的切線有兩條,若求的一個(gè)若求的一個(gè)k值值,則則過已知點(diǎn)垂直過已知點(diǎn)垂直x軸的直線也是所求的切線軸的直線也是所求的切線.(1,0)43212400024, 2,0 , 02kkkkkykxr圓心的切線方程。所引向圓求過點(diǎn)例4)4 , 2(:322 yxA)2(4:xky程為解：設(shè)所求圓的切線方2010432xyxx或故切線方程為：但斜率不存在時(shí)，yxo),(A42小結(jié)：要求過一定點(diǎn)的圓的切線方程，首先必須判斷這點(diǎn)小結(jié)：要求過一定點(diǎn)的圓的切線方程，首先必須判斷這

5、點(diǎn)是是否在圓上。否在圓上。若在圓上，則該點(diǎn)為切點(diǎn)；直接用公式。若在圓上，則該點(diǎn)為切點(diǎn)；直接用公式。若在圓外，一般用若在圓外，一般用“圓心到切線的距離等于半徑長圓心到切線的距離等于半徑長”來解來解題較為簡單題較為簡單. .需考慮需考慮k 不存在的情況不存在的情況練習(xí)練習(xí):1 求過點(diǎn)求過點(diǎn)A(2,3)且與圓且與圓(x-1)2+(y- 1)2=1相切的切線方程相切的切線方程.3x-4y+6=0 x=22 設(shè)圓的方程為設(shè)圓的方程為x2+(y-1)2=1,求該圓的求該圓的斜率為斜率為1的切的切線方程線方程. x-y+1 =023. 自點(diǎn)自點(diǎn)A(-3，3)發(fā)射的光線發(fā)射的光線l 射到射到x軸上，被軸上，被

6、x軸反射，軸反射， 其反射光線所在的直線與圓其反射光線所在的直線與圓x2+y2-4x-4y+7=0相切，相切， 求光線求光線l 所在直線的方程所在直線的方程.練習(xí)練習(xí)3: 自點(diǎn)自點(diǎn)A(-3，3)發(fā)射的光線發(fā)射的光線l 射到射到x軸上，被軸上，被x軸反射，軸反射， 其反射光線所在的直線與圓其反射光線所在的直線與圓x2+y2-4x-4y+7=0相切，相切， 求光線求光線l 所在直線的方程所在直線的方程. B(-3，-3)A(-3，3) C(2, 2) 答案：答案： l : 4x+3y+3=0或或3x+4y-3=0備用：備用： 當(dāng)當(dāng)k為何值時(shí)，直線為何值時(shí)，直線y=kx與圓與圓(x-1)2+(y-2)2=1相交，相切，相離？相交，相切，相離？ 解：解： 法一：代數(shù)法：方程組有無實(shí)數(shù)解。法一：代數(shù)法：方程組有無實(shí)數(shù)解。法二：圓心為（法二：圓心為（1，2），到直線），到直線y=kx即即 kx-y=0的距離為的距離為d=k-2k2+134 當(dāng)當(dāng)d1 即即 k 時(shí)，直線與圓時(shí)，直線與圓相交相交。34當(dāng)當(dāng)d=1 即即 k=時(shí)，直線與圓時(shí)，直線與圓相切相切。34當(dāng)當(dāng)d1 即即 k 時(shí)，直線與圓時(shí)，直線與圓相離相離。練習(xí)：已知圓過點(diǎn)練習(xí)：已知