方向導數與梯度

1、第七節(jié)第七節(jié) 方向導數與梯度方向導數與梯度一、方向導數一、方向導數二、梯度二、梯度),(00yxD),(yxfz xyzxzxx 0lim ),(00yxfx ),(00yxfyyzyy 0lim1 1、定義、定義一、方向導數一、方向導數),(000yxPD),(yxfz xyzl),(yxP0limPP 0Plf稱為稱為 在在 沿方向沿方向 的的方向導數方向導數. .),(yxf),(00yxl|)()(00PPPfPf 202000),(),()()(),(),(lim00yyxxyxfyxfyxyx 0Plf0limPP|)()(00PPPfPf le設與設與 同方向的單位向量同方向的單

2、位向量l)cos,(cos PP0 與與 同向同向，l故故 coscos00yyxx t t即即 cos,cos00tyytxx 0 0limt),()cos,cos(0000yxftytxf 0Plf)0 , 1( l 0limttyxfytxf),(),(0000 2 2、方向導數與偏導數的關系、方向導數與偏導數的關系 若若 存在，存在，),(00yxfx則則 沿沿 與與 方向的方向導數存在；方向的方向導數存在；),(yxf)0 , 1()0 , 1( 若若 存在，存在，),(00yxfy則則 沿沿 與與 方向的方向導數存在；方向的方向導數存在；),(yxf)1 , 0()1, 0( ),

3、(00yxfx )0 , 1( l 0Plf 0limttyxfytxf),(),(0000 ),(00yxfx )0,0(lf 0limttftf)0 , 0()0 ,( 不能保證不能保證 存在；存在；),(00yxfx 沿沿 與與 方向的方向導數存在，方向的方向導數存在，),(yxf)0 , 1()0 , 1( 不能保證不能保證 存在存在. .),(00yxfy 沿沿 與與 方向的方向導數存在，方向的方向導數存在，),(yxf)1 , 0()1, 0( 1 0limttftf)0 , 0()0 ,( )0 , 0(xf)0 , 0( ,22yxz )0 , 1( lttt 0limttt|

4、lim0 不存在不存在 例例)0 , 1( l )0,0(lf 0limttftf)0 , 0()0 ,( ttt 0lim1 3 3、方向導數存在的充分條件及計算方法、方向導數存在的充分條件及計算方法 定理：定理： 若若 在在 可微，可微，),(yxfz ),(000yxP則則 在在 沿任意方向的方向導數存在，沿任意方向的方向導數存在，),(yxf0P 且且 0Plf cos),(cos),(0000yxfyxfyx 其中其中l(wèi)e)cos,(cos 證明證明 0Plftyxftytxft),()cos,cos(lim00000 cos),(cos),(0000yxfyxfyx x y 0li

5、mt),(00yxfx cost cost ),(00yxfy t)(to 例例1求求 在在 沿從沿從 到到 方向的方向導數方向的方向導數. .yxez2 )0 , 1(P)1, 1( PQ 解解P)1, 2( Q cos21 21 cos2| PQ)0, 1(2ye )0, 1(xz1 )0, 1(yz)0, 1(22yxe 2 )0, 1(lf21 12 )21( 22 例例2求求 在在 上點上點 處，處，沿曲線在該點處切線方向（沿曲線在該點處切線方向（ 增大方向）的增大方向）的方向導數方向導數. .223yyxz )3 , 2( )3, 2(T 解解12 xyx cos174171 co

6、s)3,2()2 , 1(x)3,2(6xy )3,2(xz36 )3,2(yz)3,2(2)23(yx 6 )3,2(lf171 366 174 1760 )4 , 1( |T17 若若 在在 可微，可微，),(zyxfu ),(0000zyxP則則 0Plf cos),(cos),(cos),(000000yxfyxfyxfzyx 其中其中l(wèi)e)cos,cos,(cos 例例3求求 在該點沿在該點沿 的方向導數的方向導數. .zyxu2286 )1 , 1 , 1( n 解解632222 zyx cos143142 cos)1 , 1 , 1(),3 ,2(zyx)1 , 1 , 1(22

7、866yxzx )1 , 1 , 1(xu146 )1 , 1 , 1(lf143 711 )1 , 3 , 2( |n14是是 在在 處指向外側的法向量，處指向外側的法向量，nn cos141)1 , 1 , 1(yu)1 , 1 , 1(22868yxzy 148 )1 , 1 , 1(zu14 146142 148 )14( )1 , 1 , 1(22286zyx 141 1 1、定義、定義二、梯度二、梯度稱為稱為 在在 的的梯度梯度，),(yxf),(00yx 向量向量),(),(0000yxfyxfyx 記為記為),(00yxf ),(00yxgradf ),(),(0000yxfy

8、xfyx 2 2、梯度與方向導數的關系、梯度與方向導數的關系 0Plf cos),(cos),(0000yxfyxfyx ),(),(0000yxfyxfyx )cos,(cos ),(00yxf le | ),(|00yxf ),cos(lef 函數值增長最快函數值增長最快. . 當方向當方向 與與 同向時，同向時，lf 最大值為梯度的模最大值為梯度的模 . . |f 即函數沿梯度即函數沿梯度 方向的方向導數最大，方向的方向導數最大，f 當方向當方向 與與 反向時，反向時，lf 函數值減少最快函數值減少最快. . 當方向當方向 與與 垂直時，垂直時，lf 函數值變化率為函數值變化率為0.0.

9、例例4問問 在在 沿什么方向變化最快，沿什么方向變化最快，在這個方向的變化率是多少？在這個方向的變化率是多少？)(2122yxz )1 , 1(P )1 , 1(f 解解)1 , 1( )1 , 1(),(yx 在在 沿沿 方向增長最快，方向增長最快，)(2122yxz )1 , 1(P)1 , 1(f 沿沿 方向減少最快方向減少最快. .)1 , 1(f 這兩個方向的變化率分別為這兩個方向的變化率分別為| )1 , 1(|f 2 | )1 , 1(|f 2 稱為稱為 在在 的的梯度梯度. .),(zyxf),(000zyx 向量向量),(),(),(000000000zyxfzyxfzyxfzyx ),(000zyxf ),(000zyxgradf 3 3、等值線、等值面、等值線、等值面曲線曲線 czyxfz),(在在xoy 面的投影曲線面的投影曲線cyxf ),(稱為函數稱為函數 的等值線的等值線. .),(yxfz xycyxf ),(1),(cyxf