《電動(dòng)力學(xué)》知識(shí)點(diǎn)歸納及典型試題分析_6723

1、電動(dòng)力學(xué)知識(shí)點(diǎn)歸納及典型試題分析一、試題結(jié)構(gòu)總共四個(gè)大題：1單選題（ 102' ）：主要考察基本概念、基本原理和基本公式，及對(duì)它們的理解。2填空題（ 102' ）：主要考察基本概念和基本公式。3簡(jiǎn)答題 ( 5 3' )： 主要考察對(duì)基本理論的掌握和基本公式物理意義的理解。4. 證明題（ 8'7 '）和計(jì)算題（9 '8'6 '7 ' ）：考察能進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算和對(duì)基本常用的方程和原理進(jìn)行證明。例如：證明泊松方程、電磁場(chǎng)的邊界條件、亥姆霍茲方程、長(zhǎng)度收縮公式等等；計(jì)算磁感強(qiáng)度、電場(chǎng)強(qiáng)度、能流密度、能量密度、波的穿透深度、波導(dǎo)的截

2、止頻率、空間一點(diǎn)的電勢(shì)、矢勢(shì)、以及相對(duì)論方面的內(nèi)容等等。二、知識(shí)點(diǎn)歸納EBt知識(shí)點(diǎn)1：一般情況下，電磁場(chǎng)的基本方程為：HDJ ; （此為麥克斯tD;B0.韋方程組）；在沒(méi)有電荷和電流分布（0, J0的情形 ）的自由空間（或均勻BEt介質(zhì)）的電磁場(chǎng)方程為：HD ; （齊次的麥克斯韋方程組）tD 0; B 0.知識(shí)點(diǎn) 2：位移電流及與傳導(dǎo)電流的區(qū)別。答：我們知道恒定電流是閉合的：J 0. 恒定電流在交變情況下，電流分布由電荷守恒定律制約，它一般不再閉合。一般說(shuō)來(lái)，在非恒定情況下，由電荷守恒定律有J0.t現(xiàn)在我們考慮電流激發(fā)磁場(chǎng)的規(guī)律：B0J.取兩邊散度，由于B0 ，因此上式只有當(dāng)J0 時(shí)才能成立。

3、在非恒定情形下，一般有J 0 ，因而 式與電荷守恒定律發(fā)生矛盾。由于電荷守恒定律是精確的普遍規(guī)律，故應(yīng)修改 式使服從普遍的電荷守恒定律的要求。把 式推廣的一個(gè)方案是假設(shè)存在一個(gè)稱(chēng)為位移電流的物理量J D ，它和電流J 合起來(lái)構(gòu)成閉合的量J J D0, * 并假設(shè)位移電流 J D 與電流 J 一樣產(chǎn)生磁效應(yīng)，即把 修改為B0 J JD 。此式兩邊的散度都等于零，因而理論上就不再有矛盾。由電荷守恒定律J0. 電荷密度與電場(chǎng)散度有關(guān)系式E. 兩式合起來(lái)t0得：E0. 與 * 式比較可得 J D 的一個(gè)可能表示式J0tJ D0E .t位移電流與傳導(dǎo)電流有何區(qū)別：位移電流本質(zhì)上并不是電荷的流動(dòng)，而是電場(chǎng)

4、的變化。它說(shuō)明，與磁場(chǎng)的變化會(huì)感應(yīng)產(chǎn)生電場(chǎng)一樣， 電場(chǎng)的變化也必會(huì)感應(yīng)產(chǎn)生磁場(chǎng)。而傳導(dǎo)電流實(shí)際上是電荷的流動(dòng)而產(chǎn)生的。知識(shí)點(diǎn) 3：電荷守恒定律的積分式和微分式，及恒定電流的連續(xù)性方程。J dsdV答：電荷守恒定律的積分式和微分式分別為：SVtJ0t恒定電流的連續(xù)性方程為：J 0知識(shí)點(diǎn) 4：在有介質(zhì)存在的電磁場(chǎng)中，極化強(qiáng)度矢量p 和磁化強(qiáng)度矢量 M 各的定義方法； P 與P ；M 與 j；E、D 與 p 以及 B、H 與 M 的關(guān)系。答：極化強(qiáng)度矢量 p：由于存在兩類(lèi)電介質(zhì)：一類(lèi)介質(zhì)分子的正電中心和負(fù)電中心不重和， 沒(méi)有電偶極矩。 另一類(lèi)介質(zhì)分子的正負(fù)電中心不重和， 有分子電偶極矩，但是由于分子

5、熱運(yùn)動(dòng)的無(wú)規(guī)性，在物理小體積內(nèi)的平均電偶極矩為零，因而也沒(méi)有宏觀(guān)電偶極矩分布。 在外場(chǎng)的作用下， 前一類(lèi)分子的正負(fù)電中心被拉開(kāi)，后一類(lèi)介質(zhì)的分子電偶極矩平均有一定取向性， 因此都出現(xiàn)宏觀(guān)電偶極矩分布。而宏觀(guān)電偶極矩分布用電極化強(qiáng)度矢量 P 描述，它等于物理小體積 V 內(nèi)的總電偶極矩與V 之比，Ppi.pi為第i 個(gè)分子的電偶極矩，求和符號(hào)表示V對(duì) V 內(nèi)所有分子求和。磁化強(qiáng)度矢量 M ：介質(zhì)分子內(nèi)的電子運(yùn)動(dòng)構(gòu)成微觀(guān)分子電流， 由于分子電流取向的無(wú)規(guī)性， 沒(méi)有外場(chǎng)時(shí)一般不出現(xiàn)宏觀(guān)電流分布。 在外場(chǎng)作用下， 分子電流出現(xiàn)有規(guī)則取向， 形成宏觀(guān)磁化電流密度J M 。分子電流可以用磁偶極矩描述。把分子

6、電流看作載有電流 i 的小線(xiàn)圈，線(xiàn)圈面積為 a，則與分子電流相應(yīng)的磁矩為： m ia .介質(zhì)磁化后，出現(xiàn)宏觀(guān)磁偶極矩分布，用磁化強(qiáng)度 M 表示，它定義為物理小體積 V 內(nèi)的總磁偶極矩與 V 之比，Mmi.VPP, j MM,D0E P,HBM0知識(shí)點(diǎn) 5：導(dǎo)體表面的邊界條件。答：理想導(dǎo)體表面的邊界條件為：nE0, nD,nH. nB。它們可以形象地0.表述為：在導(dǎo)體表面上，電場(chǎng)線(xiàn)與界面正交，磁感應(yīng)線(xiàn)與界面相切。知識(shí)點(diǎn) 6：在球坐標(biāo)系中，若電勢(shì)不依賴(lài)于方位角，這種情形下拉氏方程的通解。答：拉氏方程在球坐標(biāo)中的一般解為：R, ,anm Rnbnmmcos cosmcnm Rndnmmcos sin

7、 mRn 1PnRn 1Pnn,mn,m式中 anm ,bnm , cnm 和 dnm 為任意的常數(shù)，在具體的問(wèn)題中由邊界條件定出。 Pnm cos為締合勒讓德函數(shù)。若該問(wèn)題中具有對(duì)稱(chēng)軸，取此軸為極軸，則電勢(shì)不依賴(lài)于方位角，這球形下通解為：an RnbnPn c o s , Pn c o s為勒讓德函數(shù)，an 和bn 是任意常數(shù)，由Rn 1n邊界條件確定。知識(shí)點(diǎn) 7：研究磁場(chǎng)時(shí)引入矢勢(shì) A 的根據(jù)；矢勢(shì) A 的意義。答：引入矢勢(shì) A 的根據(jù)是：磁場(chǎng)的無(wú)源性。矢勢(shì)A 的意義為：它沿任一閉合回路的環(huán)量代表通過(guò)以該回路為界的任一曲面的磁通量。只有A 的環(huán)量才有物理意義，而每點(diǎn)上的A （x）值沒(méi)有直接

8、的物理意義。知識(shí)點(diǎn) 8：平面時(shí)諧電磁波的定義及其性質(zhì)；一般坐標(biāo)系下平面電磁波的表達(dá)式。答：平面時(shí)諧電磁波是交變電磁場(chǎng)存在的一種最基本的形式。它是傳播方向一定的電磁波， 它的波陣面是垂直于傳播方向的平面，也就是說(shuō)在垂直于波的傳播方向的平面上，相位等于常數(shù)。平面時(shí)諧電磁波的性質(zhì)：（ 1）電磁波為橫波， E 和 B 都與傳播方向垂直；（ 2） E 和 B 同相，振幅比為 v；（ 3 E 和 B 互相垂直， E×B 沿波矢 k 方向。知識(shí)點(diǎn) 9：電磁波在導(dǎo)體中和在介質(zhì)中傳播時(shí)存在的區(qū)別；電磁波在導(dǎo)體中的透射深度依賴(lài)的因素。答：區(qū)別 :（ 1）在真空和理想絕緣介質(zhì)內(nèi)部沒(méi)有能量的損耗，電磁波可以

9、無(wú)衰減地傳播（在真空和理想絕緣介質(zhì)內(nèi)部） ；（ 2）電磁波在導(dǎo)體中傳播，由于導(dǎo)體內(nèi)有自由電子， 在電磁波電場(chǎng)作用下， 自由電子運(yùn)動(dòng)形成傳導(dǎo)電流， 由電流產(chǎn)生的焦耳熱使電磁波能量不斷損耗。 因此，在導(dǎo)體內(nèi)部的電磁波是一種衰減波 （在導(dǎo)體中）。在傳播的過(guò)程中，電磁能量轉(zhuǎn)化為熱量。電磁波在導(dǎo)體中的透射深度依賴(lài)于：電導(dǎo)率和頻率。知識(shí)點(diǎn) 10：電磁場(chǎng)用矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)表示的關(guān)系式。BA答：電磁場(chǎng)用矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)表示的關(guān)系式為：EAt知識(shí)點(diǎn) 11：推遲勢(shì)及達(dá)朗貝爾方程。x' , trx, t40 rcdv'答：推遲勢(shì)為：rJ x ' , tA x, t0rcdv'42 A12 A0

10、Jc2t 2212達(dá)朗貝爾方程為：c 2t 20A10c2t知識(shí)點(diǎn) 12：愛(ài)因斯坦建立狹義相對(duì)論的基本原理（或基本假設(shè)）是及其內(nèi)容。答：（1）相對(duì)性原理：所有的慣性參考系都是等價(jià)的。物理規(guī)律對(duì)于所有慣性參考系都可以表為相同的形式。也就是不論通過(guò)力學(xué)現(xiàn)象， 還是電磁現(xiàn)象， 或其他現(xiàn)象，都無(wú)法覺(jué)察出所處參考系的任何“絕對(duì)運(yùn)動(dòng)”。相對(duì)性原理是被大量實(shí)驗(yàn)事實(shí)所精確檢驗(yàn)過(guò)的物理學(xué)基本原理。 （ 2）光速不變?cè)恚?真空中的光速相對(duì)于任何慣性系沿任一方向恒為c，并與光源運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)。知識(shí)點(diǎn) 13：相對(duì)論時(shí)空坐標(biāo)變換公式（洛倫茲變換式）和速度變換公式。x'xvtxx 'vt '1v 21

11、v 2c 2c 2y 'yyy'答：坐標(biāo)變換公式（洛倫茲變換式）：z'z洛倫茲反變換式： zz'tvt'vx't'c2 xtc2v2v 211c2c 2u x'u xv1vu xc2u y1v2c2速度變換公式：'u yvux1c2uz1v2c2'uzvu x1c2知識(shí)點(diǎn) 14：導(dǎo)出洛侖茲變換時(shí)，應(yīng)用的基本原理及其附加假設(shè)；洛侖茲變換同伽利略變換二者的關(guān)系。答：應(yīng)用的基本原理為：變換的線(xiàn)性和間隔不變性?；炯僭O(shè)為：光速不變?cè)恚íM義相對(duì)論把一切慣性系中的光速都是 c 作為基本假設(shè)，這就是光速不變?cè)恚?、空間是均勻

12、的并各向同性，時(shí)間是均勻的、運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性。 洛侖茲變換與伽利略變換二者的關(guān)系： 伽利略變換是存在于經(jīng)典力學(xué)中的一種變換關(guān)系， 所涉及的速率都遠(yuǎn)小于光速。 洛侖茲變換是存在于相對(duì)論力學(xué)中的一種變換關(guān)系，并假定涉及的速率等于光速。當(dāng)慣性系S' （即物體）運(yùn)動(dòng)的速度 V c 時(shí)，洛倫茲變換就轉(zhuǎn)化為伽利略變換， 也就是說(shuō)，若兩個(gè)慣性系間的相對(duì)速率遠(yuǎn)小于光速，則它以伽利略變換為近似。知識(shí)點(diǎn) 15：四維力學(xué)矢量及其形式。答：四維力學(xué)矢量為：（ 1）能量動(dòng)量四維矢量（或簡(jiǎn)稱(chēng)四維動(dòng)量）：iW（ 2）速度矢量：Udxdx（ ）動(dòng)量矢量：pm0U（ ）pp,ddt34c四維電流密度矢量：J0U ,JJ,

13、ic（ ）四維空間矢量：xx,ict（6）5四維勢(shì)矢量： AA, i（7）反對(duì)稱(chēng)電磁場(chǎng)四維張量： FAA（8）xcx四維波矢量： kk, i wc知識(shí)點(diǎn) 16：事件的間隔：答：以第一事件P 為空時(shí)原點(diǎn)（ 0， 0， 0， 0） ;第二事件 Q 的空時(shí)坐標(biāo)為：（ x,y,z,t），這兩事件的間隔為：s2c 2 t 2x2y 2z 2c2 t 2r 2式中的 rx2y 2z2 為兩事件的空間距離。兩事件的間隔可以取任何數(shù)值。在此區(qū)別三種情況：（1）若兩事件可以用光波聯(lián)系，有rct，因而 s20 （類(lèi)光間隔）；（2）若兩事件可用低于光速的作用來(lái)聯(lián)系，有rct ，因而有 s20（類(lèi)時(shí)間隔）；（a）絕對(duì)

14、未來(lái)；（b）絕對(duì)過(guò)去。（3）若兩事件的空間距離超過(guò)光波在時(shí)間t 所能傳播的距離，有 rct ，因而有 s20 （類(lèi)空間隔）。知識(shí)點(diǎn) 17：導(dǎo)體的靜電平衡條件及導(dǎo)體靜電平衡時(shí)導(dǎo)體表面的邊界條件。答：導(dǎo)體的靜電平衡條件：（ 1）導(dǎo)體內(nèi)部不帶電，電荷只能分布在于導(dǎo)體表面上；（ 2）導(dǎo)體內(nèi)部電場(chǎng)為零；（ 3）導(dǎo)體表面上電場(chǎng)必沿法線(xiàn)方向，因此導(dǎo)體表面為等勢(shì)面。整個(gè)導(dǎo)體的電勢(shì)相等。導(dǎo)體靜電平衡時(shí)導(dǎo)體表面的邊界條件：常量；.n知識(shí)點(diǎn) 18：勢(shì)方程的簡(jiǎn)化。答：采用兩種應(yīng)用最廣的規(guī)范條件：（ 1） 庫(kù)侖規(guī)范：輔助條件為A0.（ 2） 洛倫茲規(guī)范：輔助條件為：10.A2ct2 A12 A(A1)0 J例如：對(duì)于方

15、程組：c2t 2c2t（適用于一2At0般規(guī)范的方程組）。2 A12 A10 Jc2t 2c 2t若采用庫(kù)侖規(guī)范，可得：3；0(A0)2 A12 A0 Jc 2t 2212若采用洛倫茲規(guī)范，可得：（此為達(dá)朗貝爾方程）。c 2t 20A10c2t知識(shí)點(diǎn) 19：引入磁標(biāo)勢(shì)的條件。答：條件為：該區(qū)域內(nèi)的任何回路都不被電流所環(huán)繞，或者說(shuō)，該區(qū)域是沒(méi)j0有傳導(dǎo)電流分布的單連通區(qū)域，用數(shù)學(xué)式表示為：HdL 0L知識(shí)點(diǎn) 20：動(dòng)鐘變慢：S' 系中同地異時(shí)的兩事件的時(shí)間間隔，即S' 系中同一地點(diǎn) x2'x1' ，先后（ t2't1'）發(fā)生的兩事件的時(shí)間間隔 t

16、2't1' 在 S 系的觀(guān)測(cè)：(t 2 't1' )v2x2 'x1't 2t1cv212cx2'x1't 2t1t 2 't1 'v2(t2 't 1' )1v 21c 2c2稱(chēng)為固有時(shí)，它是最短的時(shí)間間隔，t.知識(shí)點(diǎn) 21：長(zhǎng)度收縮（動(dòng)尺縮短）尺相對(duì)于 S' 系靜止，在 S' 系中觀(guān)測(cè) l ''x2'x1' 在 S 系中觀(guān)測(cè) t 2t1 即兩端位置同時(shí)測(cè)定''x2x1ll 01v 2'x1'l 0 , x2x1l )

17、x2x1v 2c2(x21c 2l 0 稱(chēng)為固有長(zhǎng)度，固有長(zhǎng)度最長(zhǎng)，即l 0l 。知識(shí)點(diǎn) 22：電磁場(chǎng)邊值關(guān)系（也稱(chēng)邊界上的場(chǎng)方程）n( E2E1 )0,n( H 2H 1 ),n( D2D1 ),n( B2B1 )0.知識(shí)點(diǎn) 23：AB 效應(yīng)1959 年 Aharonov 和Bohm 提出一種后來(lái)被試驗(yàn)所證實(shí)的新效應(yīng)（這簡(jiǎn)稱(chēng)A B 效應(yīng)），同時(shí)A B 效應(yīng)的存在說(shuō)明磁場(chǎng)的物理效應(yīng)不能完全用B 描述。知識(shí)點(diǎn)24：電磁波的能量和能流平面電磁波的能量為：wE 21B 2平面電磁波的能流密度為：S E HE(n E)2 .E n能量密度和能流密度的平均值為：w1E021 B02 ,22S1 Re(E

18、 *H )1E02 n.22知識(shí)點(diǎn) 25：波導(dǎo)中傳播的波的特點(diǎn)：電場(chǎng) E 和磁場(chǎng) H 不同時(shí)為橫波。通常選一種波模為E zo 的波，稱(chēng)為橫電波（ TE）；另一種波模為 H z0 的波，稱(chēng)為橫磁波（ TM ）。知識(shí)點(diǎn) 26：截止頻率定義 :能夠在波導(dǎo)內(nèi)傳播的波的最低頻率wc 稱(chēng)為該波模的截止頻率。22mn計(jì)算公式 : (m,n)型的截止頻率為： wc,mnab；若 a>b，則 TE10波有最低截止頻率1 wc,101. 若管內(nèi)為真空，此最低截止頻率為c 2a ，22a相應(yīng)的截止波長(zhǎng)為：c,102 . （在波導(dǎo)中能夠通過(guò)的最大波長(zhǎng)為）a2a知識(shí)點(diǎn) 27：相對(duì)論的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ) :橫向多普勒（ Do

19、ppler）效應(yīng)實(shí)驗(yàn)（證實(shí)相對(duì)論的運(yùn)動(dòng)時(shí)鐘延緩效應(yīng)） ；高速運(yùn)動(dòng)粒子壽命的測(cè)定（證實(shí)時(shí)鐘延緩效應(yīng)） ；攜帶原子鐘的環(huán)球飛行實(shí)驗(yàn) （證實(shí)狹義相對(duì)論和廣義相對(duì)論的時(shí)鐘延緩總效應(yīng)）；相對(duì)論質(zhì)能關(guān)系和運(yùn)動(dòng)學(xué)的實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)（對(duì)狹義相對(duì)論的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證）知識(shí)點(diǎn) 28：靜電場(chǎng)是有源無(wú)旋場(chǎng)：EP ;q0 （此為微分表達(dá)式）E0.穩(wěn)恒磁場(chǎng)是無(wú)源有旋場(chǎng)：B 0;（此為微分表達(dá)式）B0 j .u y'dy'u y1 v 2c2;dt '1vuxc 2知識(shí)點(diǎn) 29：相對(duì)論速度變換式：ux'dx'u xv其反變換式根據(jù)此式dt'vux12c2vuz'u z12'd

20、zc .dt '1vuxc 2ux求 u y 。u z知識(shí)點(diǎn) 30：麥克斯韋方程組積分式和微分式，及建立此方程組依據(jù)的試驗(yàn)定律。EdlBdsLStBdlj0E0ds答：麥克斯韋方程組積分式為：LStEds1dVS0VBds0SEBtB0 jE麥克斯韋方程組微分式為：0 0tE0B0依據(jù)的試驗(yàn)定律為： 靜電場(chǎng)的高斯定理、 靜電場(chǎng)與渦旋電場(chǎng)的環(huán)路定理、 磁場(chǎng)中的安培環(huán)路定理、磁場(chǎng)的高斯定理。三、典型試題分析1、證明題：1、試由畢奧沙伐爾定律證明B 0證明：由式：B0 J x'r dv'0J x'1 dv '又 知 ：4r 34r' 11B40J x&

21、#39;dv'A 式中'， 因 此r由J xJ xJx ' dv'rrA04rBA0 所以原式得證。2、試由電磁場(chǎng)方程證明一般情況下電場(chǎng)的表示式EA .t證：在一般的變化情況中，電場(chǎng)E 的特性與靜電場(chǎng)不同。電場(chǎng)E 一方面受到電荷的激發(fā)，另一方面也受到變化磁場(chǎng)的激發(fā)， 后者所激發(fā)的電場(chǎng)是有旋的。 因此在一般情況下， 電場(chǎng)是有源和有旋的場(chǎng)， 它不可能單獨(dú)用一個(gè)標(biāo)勢(shì)來(lái)描述。 在變化情況下電場(chǎng)與磁場(chǎng)發(fā)生直接聯(lián)系，因而電場(chǎng)的表示式必然包含矢勢(shì)A 在內(nèi)。BA式代入EB得：EA0 ，該式表示矢量 EA 是無(wú)旋ttt場(chǎng)，因此它可以用標(biāo)勢(shì)A。因此，在一般情況下電場(chǎng)的表描述， Et

22、示式為： EA . 。即得證。t23、試由洛侖茲變換公式證明長(zhǎng)度收縮公式 l l 01 v 2 。c答：用洛倫茲變換式求運(yùn)動(dòng)物體長(zhǎng)度與該物體靜止長(zhǎng)度的關(guān)系。如圖所示，設(shè)物體沿 x 軸方向運(yùn)動(dòng)，以固定于物體上的參考系為 。若物體后端經(jīng)過(guò) P1 點(diǎn)（第一事件）與前端經(jīng)過(guò) P2點(diǎn)（第二事件）相對(duì)于同時(shí)，則 P1 P2 定義為 上測(cè)得的物體長(zhǎng)度。物體兩端在 上的坐標(biāo)設(shè)為 x1'和 x2' 。在 上 P1 點(diǎn)的坐標(biāo)為 x1 ， P2 點(diǎn)的坐標(biāo)為 x2，兩端分別經(jīng)過(guò) P1 和 P2 的時(shí)刻為 t1t2 。對(duì)這兩事件分別應(yīng)用洛倫茲變換式得x1'x1vt1 , x2'x2vt2

23、 ， 兩 式 相 減 ， 計(jì) 及 t1 t2 ， 有1v21v2c2c2x2'x1'x2 x1* . 式中 x2 x1 為 上測(cè)得的物體長(zhǎng)度 l（因?yàn)樽鴺?biāo) x1和 x2 是在v 21c 2上同時(shí)測(cè)得的）， x2'x1'為 上測(cè)得的物體靜止長(zhǎng)度 l 0。由于物體對(duì) 靜止，2所以對(duì)測(cè)量時(shí)刻 t1'和 t2'沒(méi)有任何限制。由 * 式得 l l 0 1v2 。c4、試由麥克斯韋方程組證明靜電場(chǎng)與電勢(shì)的關(guān)系E.答：由于靜電場(chǎng)的無(wú)旋性，得：Edl0設(shè) C1 和C2 為由 P1點(diǎn)到 P2點(diǎn)的兩條不同路徑。 C1與 C2 合成閉合回路，因此EdlEdl0C1C2

24、即EdlEdl因此，電荷由C1C2P1點(diǎn)移至 P2點(diǎn)時(shí)電場(chǎng)對(duì)它所作的功 與路徑無(wú)關(guān)，而只和兩端點(diǎn)有關(guān)。把單位正電P2荷由 P1點(diǎn)移至 P2 , 電場(chǎng) E 對(duì)它所作的功為：Edl , 這功定義為 P1點(diǎn)和 P2 點(diǎn)的電P1P2勢(shì)差。若電場(chǎng)對(duì)電荷作了正功，則電勢(shì)下降。由此，P2P1Edl 由P1這定義，只有兩點(diǎn)的電勢(shì)差才有物理意義，一點(diǎn)上的電勢(shì)的絕對(duì)數(shù)值是沒(méi)有物理意義的。相距為dl的兩點(diǎn)的電勢(shì)差為dEdl .由于ddxdydzdl ， 因此，電場(chǎng)強(qiáng)度E 等于電勢(shì)的負(fù)梯度xyzE.5、試由恒定磁場(chǎng)方程證明矢勢(shì)A 的微分方程2 Aj 。答：已知恒定磁場(chǎng)方程B0J（1）（在均勻線(xiàn)性介質(zhì)內(nèi)），把BA(2)

25、代 入 （1）得矢勢(shì)A 的微分方程AJ. 由矢量分析公式AA2 A.若取 A 滿(mǎn)足規(guī)范條件A0 ，得矢勢(shì) A 的微分方2AJ.程A06、試由電場(chǎng)的邊值關(guān)系證明勢(shì)的邊值關(guān)系21.211n證：電場(chǎng)的邊值關(guān)系為： nE2E10, $， * 式可寫(xiě)為D2nD1n nD 2D1. *式中 n 為由介質(zhì) 1指向介質(zhì)2的法線(xiàn)。利用D及,可用標(biāo)勢(shì)將 E E表為：21.21n1勢(shì)的邊值關(guān)系即得證。7、試由靜電場(chǎng)方程證明泊松方程2。E0,(1)并知道 E.(3)在均勻各向同性線(xiàn)答：已知靜電場(chǎng)方程為：.(2)D性介質(zhì)中， DE ，將（ 3）式代入（ 2）得2，為自由電荷密度。于是得到靜電勢(shì)滿(mǎn)足的基本微分方程，即泊松

26、方程。8、試由麥克斯韋方程證明電磁場(chǎng)波動(dòng)方程。E( x)( x)0答：麥克斯韋方程組E(x)B x表明，變化的磁場(chǎng)可以激發(fā)tB x0E xB x0 j x0 0t電場(chǎng)，而變化的電場(chǎng)又可以激發(fā)磁場(chǎng)， 因此，自然可以推論電磁場(chǎng)可以互相激發(fā)，形成電磁波。 這個(gè)推論可以直接從麥克斯韋方程得到， 在真空的無(wú)源區(qū)域， 電荷密度和電流密度均為零， 在這樣的情形下， 對(duì)麥克斯韋方程的第二個(gè)方程取旋度并利用第一個(gè)方程，得到2 E( x)B x ，再把第四個(gè)方程對(duì)時(shí)間求t導(dǎo)，得到B x0 02 E x，從上面兩個(gè)方程消去B x，得到tt 2t2E x0 02 E x0。這就是標(biāo)準(zhǔn)的波動(dòng)方程。對(duì)應(yīng)的波的速度是t 2

27、1c.009、試由麥克斯韋方程組證明電磁場(chǎng)的邊界條件nE2E10; nD2D1; nB2B10.D dsdVSV解： 即： SnD 2SnD1S.nD 2D1fD 2 nD1n對(duì)于磁場(chǎng) B，把 Bds 0應(yīng)用到邊界上無(wú)限小的扁平圓柱高斯面上， 重復(fù)以S上推導(dǎo)可得： B2 nB1n即： nB2 B10作跨過(guò)介質(zhì)分界面的無(wú)限小狹長(zhǎng)的矩形積分回路，矩形回路所在平面與界面垂直，矩形長(zhǎng)邊邊長(zhǎng)為l ，短邊邊長(zhǎng)為l ' 。因?yàn)?E dl 0 ，作沿狹長(zhǎng)矩形的 E的路徑積分。由于l ' 比 l 小得多，當(dāng)l '0 時(shí)， E 沿 l '積分為二級(jí)小量，忽略 沿 l '的路

28、 徑 積 分 ， 沿 界 面 切線(xiàn) 方 向 積 分 為 ： E2 tl E1t l 0 即 ：E2 tE1t 0, * 。 * 可以用矢量形式表示為：E2E1 t0 式中 t 為沿著矩形長(zhǎng)邊的界面切線(xiàn)方向單位矢量。令矩形面法線(xiàn)方向單位矢量為t '，它與界面相切，顯然有t n t ' #將#式代入 式，則E2E1n t '0, $，利用混合積公式ABCCAB，改寫(xiě)# 式為： t 'E2E1n0 此式對(duì)任意 t ' 都成立，因此E2E1n0 ，此式表示電場(chǎng)在分界面切線(xiàn)方向分量是連續(xù)的。10、試由麥克斯韋方程組推導(dǎo)出亥姆霍茲方程2 Ek 2 E0答：從時(shí)諧情形

29、下的麥?zhǔn)戏匠探M推導(dǎo)亥姆霍茲方程。在一定的頻率下，有D E,BH ，把時(shí)諧電磁波的電場(chǎng)和磁場(chǎng)方程：E x,tE x eiwt ,B x, t代入麥?zhǔn)螧 x e iwt .EB ,Eiw H ,t方程組HDiwt 后得Hiw E, 在此注意一點(diǎn)。, 消去共同因子 eDtE0,0,H0.B 0.在 w 0 的時(shí)諧電磁波情形下這組方程不是獨(dú)立的。取第一式的散度，由于E 0 ，因而 H 0 ，即得第四式。同樣，由第二式可導(dǎo)出第三式。在此，在一定頻率下，只有第一、二式是獨(dú)立的，其他兩式可由以上兩式導(dǎo)出。取第一式旋度并用第二式得E w2E由EE2 E2 E ，上式變?yōu)? Ek 2 E0, 此為亥姆霍茲方kw

30、.程。11、試用邊值關(guān)系證明：在絕緣介質(zhì)與導(dǎo)體的分界面上，在靜電的情況下，導(dǎo)體外的電場(chǎng)線(xiàn)總是垂直于導(dǎo)體表面；在恒定電流的情況下， 導(dǎo)體內(nèi)的電場(chǎng)線(xiàn)總是平行于導(dǎo)體表面。證明：（1）導(dǎo)體在靜電條件下達(dá)到靜電平衡，所以導(dǎo)體內(nèi) E10，而：n ( E2E1 )0, nE20, 故E0 垂直于導(dǎo)體表面。（ 2）導(dǎo)體中通過(guò)恒定的電流時(shí)，導(dǎo)體表面f0. 導(dǎo)體外 E20,即：D20 。而： n( D2D1 )f 0,即： n D1 n0 E10，n E1 0 。導(dǎo)體內(nèi)電場(chǎng)方向和法線(xiàn)垂直，即平行于導(dǎo)體表面。12、設(shè)和是滿(mǎn)足洛倫茲規(guī)范的矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)， 現(xiàn)引入一矢量函數(shù)Z x, t（赫A茲矢量），若令Z,證明 A1Z

31、.c 2t證明： A和滿(mǎn)足洛倫茲規(guī)范，故有10.A2tcZ代入洛倫茲規(guī)范，有：1Z0,即A1ZAtc2tc 2A1Z .c 2t2、計(jì)算題：1、真空中有一半徑為R0 接地導(dǎo)體球，距球心為a aR0處有一點(diǎn)電荷Q，求空間各點(diǎn)的電勢(shì)。解：假設(shè)可以用球內(nèi)一個(gè)假想點(diǎn)電荷Q' 來(lái)代替球面上感應(yīng)電荷對(duì)空間電場(chǎng)的作用。由對(duì)稱(chēng)性， Q' 應(yīng)在 OQ 連線(xiàn)上。關(guān)鍵是能否選擇 Q' 的大小和位置使得球面上0 的條件使得滿(mǎn)足？考慮到球面上任一點(diǎn)。邊界條件要求QQ '0.式中 r 為 Q 到 P 的距離，Prr 'r '為 Q'到 P的距離。因此對(duì)球面上任一點(diǎn)，

32、應(yīng)有r 'Q'常數(shù)。（1）由圖可看rQ出，只要選 Q'的位置使OQ'P OPQ,則r 'R0常數(shù)。（ 2）'距球心為b ， 兩 三 角 形 相 似 的 條 件 為a設(shè) QrbR0, 或bR02Q'R0Q.(4) （3）和（ 4）式確R0a. 3 由（ 1）和（ 2）式求出aa定假想電荷 Q' 的位置和大小。由 Q 和鏡象電荷 Q ' 激發(fā)的總電場(chǎng)能夠滿(mǎn)足在導(dǎo)體面上 0 的邊界條件，因此是 空 間 中 電 場(chǎng) 的 正 確 解 答 。 球 外 任 一 點(diǎn) p 的 電 勢(shì) 是 ：1 QR0Q1QR0Q式中 ra4 0 rar &

33、#39;40R2a 22Ra cosR2b 22Rbcos為由Q到P點(diǎn)的距離，r ' 為由 Q'到 P 點(diǎn)的距離， R 為由球心 O 到 P 點(diǎn)的距離，為OP與OQ的夾角。2、兩金屬小球分別帶電荷 和 ，它們之間的距離為 l ，求小球的電荷（數(shù)值和符號(hào)）同步地作周期變化，這就是赫茲振子，試求赫茲振子的輻射能流，并討論其特點(diǎn)。B1P eikRsin e ,40 c 3 R（取球坐標(biāo)原點(diǎn)在解：可知赫茲振子激發(fā)的電磁場(chǎng)：1EP eikRsin e .40 c2R電荷分布區(qū)內(nèi)，并以 P 方向?yàn)闃O軸，則可知 B 沿緯線(xiàn)上振蕩， E 沿徑線(xiàn)上振蕩。）。赫茲振子輻射的平均能流密度為：2S1 Re E *Hc Re B *n Bc2ps 2i n. nB n32 20 c3 R222 02 0因子 sin 2表示赫茲振子輻射的角分布， 即輻射的方向性。 在900 的平面上輻射最強(qiáng)，而沿電偶極矩軸線(xiàn)方向0和沒(méi)有輻射。3、已知海水的r1,1s m 1 試計(jì)算頻率v 為 50、 106 和 10 9 Hz 的三種電磁波在海水中的透入深度。解：取電磁波以垂直于海水表面的方