量子力學(xué)教程第九講

1、The variables in Quantum mechanics 1第九講第九講第第 二二 章章3.7 算符的對易關(guān)系算符的對易關(guān)系 兩力學(xué)量同時(shí)有兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件確定值的條件 測不準(zhǔn)關(guān)系測不準(zhǔn)關(guān)系Operator commute The Heisenberg Uncertainty PrincipleThe variables in Quantum mechanics 21 1在什么情況下力學(xué)量具有確定值；力學(xué)在什么情況下力學(xué)量具有確定值；力學(xué)量可能值、概率、量可能值、概率、 平均值的計(jì)算方法，兩個力學(xué)量同時(shí)具平均值的計(jì)算方法，兩個力學(xué)量同時(shí)具有確定值的條件；有確定值的條件；2

2、 2不確定關(guān)系及其應(yīng)用；不確定關(guān)系及其應(yīng)用； 。學(xué) 習(xí) 內(nèi) 容學(xué) 習(xí) 內(nèi) 容重點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)The variables in Quantum mechanics 3 3.7 算符對易關(guān)系、兩力學(xué)量同時(shí)可測的條件、算符對易關(guān)系、兩力學(xué)量同時(shí)可測的條件、 測不準(zhǔn)關(guān)系測不準(zhǔn)關(guān)系1 1算符的對易關(guān)系算符的對易關(guān)系設(shè)設(shè) 和和 為兩個算符為兩個算符FG若若 ，F(xiàn)GGF則稱則稱 與與 對易對易GF若若 ，F(xiàn)GGF則稱則稱 與與 不對易不對易GF引入對易子：引入對易子：FGGFGF,若若 ，0,GF 則則 與與 對易對易GF若若 ，0,GF 則則 與與 不對易不對易GF（1 1）力學(xué)量算符的基本對易關(guān)系）力學(xué)量算

3、符的基本對易關(guān)系The variables in Quantum mechanics 4,0,0,0 x yy zz x, 0, 0, 0 xyyzzxpppppp , 0 xx,1, 2, 3 ,0pp 123,xx xy xz1,2,3()xyzpppppp,1, 2, 3 ,0,0,0,yzxyxzxyzx px px piy piy py pz pz pz pi,( ,1, 2, 3)xpi The variables in Quantum mechanics 5證明對易關(guān)系式證明對易關(guān)系式 xxUipxUx)(),(ExProve設(shè)設(shè) 為任一可微函數(shù)為任一可微函數(shù), ,f x y z

4、 ,xxxxxU xPfUPPUfUP fPUf ,xUU x Pix Uffi UixxUUi fifxx特別地，當(dāng)特別地，當(dāng) 代入上對易式，即證得代入上對易式，即證得 U xx,xx Pi同理可證：同理可證：,yy Pi,zz PifUfi Ui fi UxxxThe variables in Quantum mechanics 6 ,0AA , ,A BBA ,CABACBA,CBCACBA,CABCBACBA,CBABCACBA , , , , , , 0AB CBC ACA Bprove:（2 2）對易恒等式）對易恒等式雅可比恒等式雅可比恒等式雙線性雙線性 BACBACABCBCA,

5、CABCBA ,A BC ABCBCAThe variables in Quantum mechanics 7,LLiL LLi L,xyzyzxzxyLLi LLLi LLLi L（3 3）角動量算符的對易關(guān)系）角動量算符的對易關(guān)系110is an odd permutation of xyzis an even permutation of xyzotherwise222,0,0,0 xyzLLLLLL2,0LL,xyzThe variables in Quantum mechanics 8,yyzyxLpzpyLL, , ,zyyzyyyyy p Ly L pz p Lz L p, ,z

6、xzxzyy p zpxpz zpxp p, ,zzxzxyzyp xpzy p zpypz xpp pz, , ,zzxxzyzyp pzy p z pyzp px zxp pxyi ypi xpzLiProve:Prove: ,0yy L,0yypL等于零等于零()yxixpyp 等于零等于零The variables in Quantum mechanics 9定 理定 理prove:prove:2 2力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件設(shè)設(shè) 是是 和和 的共同本征函數(shù)完全系，則的共同本征函數(shù)完全系，則 nFG,nnnnnnFG 0nnnnnnFG GF 設(shè)設(shè) 是任一狀態(tài)波函

7、數(shù)，是任一狀態(tài)波函數(shù)，1n nna0nnnFG GFa FG GF,0FG GFF G 若算符若算符 和和 具有共同的本征函數(shù)完全具有共同的本征函數(shù)完全系，則系，則 和和 必對易。必對易。FGGFThe variables in Quantum mechanics 10逆 定 理逆 定 理prove:prove:設(shè)設(shè) 是是 的本征函數(shù)完全系，則的本征函數(shù)完全系，則 nF若算符若算符 與與 對易，則對易，則FGFGGFnnnF （1 1）nnnnFGGFG（2 2） 為簡單起見，先考慮非簡并情況。由（為簡單起見，先考慮非簡并情況。由（1 1）、（）、（2 2）式知，式知， 和和 都是都是 屬于本

8、征值屬于本征值 的本征函數(shù)，它的本征函數(shù)，它們最多相差一個常數(shù)因子們最多相差一個常數(shù)因子 ，即，即nnGFnnnnnG 可見，可見， 也是也是 的本征方程的解。因此，的本征方程的解。因此， 是是 的本征函數(shù)完全系的本征函數(shù)完全系nG nG若算符若算符 與與 對易，則它們具有共同的本對易，則它們具有共同的本征函數(shù)完全系征函數(shù)完全系FG3.7 算符對易關(guān)系兩力學(xué)算符對易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)可測的條件量同時(shí)可測的條件 測不準(zhǔn)測不準(zhǔn)關(guān)系關(guān)系（續(xù)7）The variables in Quantum mechanics 11 若兩個力學(xué)量算符彼此不對易，則一般說來這兩若兩個力學(xué)量算符彼此不對易，則一般說來這兩

9、個算符表示的兩個力學(xué)量不能同時(shí)具有確定性，或個算符表示的兩個力學(xué)量不能同時(shí)具有確定性，或者說不能同時(shí)測定。者說不能同時(shí)測定。 兩個算符有共同本征函數(shù)系的充要條件是這兩個兩個算符有共同本征函數(shù)系的充要條件是這兩個算符彼此對易；在兩個力學(xué)量算符的共同本征函數(shù)算符彼此對易；在兩個力學(xué)量算符的共同本征函數(shù)所描寫的狀態(tài)中，這兩個算符所表示的力學(xué)量同時(shí)所描寫的狀態(tài)中，這兩個算符所表示的力學(xué)量同時(shí)有確定值?；蛘哒f有確定值?；蛘哒f兩個力學(xué)量算符所表示的力學(xué)量兩個力學(xué)量算符所表示的力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件是這兩個力學(xué)量算符相互對易。同時(shí)有確定值的條件是這兩個力學(xué)量算符相互對易。注注 為簡單起見，以上定理和逆定理

10、的證明是在非簡為簡單起見，以上定理和逆定理的證明是在非簡并情況下證明的；在簡并的情況下，結(jié)論仍成立并情況下證明的；在簡并的情況下，結(jié)論仍成立（這里就不再證明了（這里就不再證明了）The variables in Quantum mechanics 12Ex.2Ex.2 角動量算符角動量算符 和和 對易，即對易，即 因此它們有共同的本征函數(shù)完備系因此它們有共同的本征函數(shù)完備系 。0,2LLz( , ) l mY zL2L22(1)zLl lLm，3.7 算符對易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)可測的條件算符對易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)可測的條件 測不準(zhǔn)關(guān)系測不準(zhǔn)關(guān)系（續(xù)9）( )pr同時(shí)有確定值。同時(shí)有確定值。,xyz

11、ppp在在 描述的狀態(tài)中，描述的狀態(tài)中，在在 描述的狀態(tài)中，描述的狀態(tài)中，,lmY 和和 可同時(shí)有確定值可同時(shí)有確定值: :2LzLEx.1Ex.1動量算符動量算符 彼此對易，它們有共同的彼此對易，它們有共同的本征函數(shù)完備系本征函數(shù)完備系 ,xyzp p prpiper23)2()(The variables in Quantum mechanics 13Ex.5Ex.5 彼此不對易，故彼此不對易，故 一般不一般不可能同時(shí)有確定值?？赡芡瑫r(shí)有確定值。zyxLLL,zyxLLL, Ex.4 坐標(biāo)算符與動量算符不對易坐標(biāo)算符與動量算符不對易 ，故故 一般不可同時(shí)具有確定值。一般不可同時(shí)具有確定值。

12、 iPxx,xPx,42222,(1),2snzeELl lLmn Ex.3 氫原子的算符氫原子的算符 彼此對易：彼此對易：2zHL L、 、0,2LH0,zLH0,2zLL它們有共同的本征函數(shù)完備系它們有共同的本征函數(shù)完備系 ( , , ) nlmr 故故 可可同時(shí)有確定值同時(shí)有確定值: :zLLH,2在在 狀態(tài)中，狀態(tài)中，, ,nlmr The variables in Quantum mechanics 14（1 1）定義：為完全確定狀態(tài)所需要的一組兩兩對易的）定義：為完全確定狀態(tài)所需要的一組兩兩對易的最?。〝?shù)目）力學(xué)量算符的集合稱為力學(xué)量完全集。最?。〝?shù)目）力學(xué)量算符的集合稱為力學(xué)量完

13、全集。三維空間中自由粒子，完全確三維空間中自由粒子，完全確定其狀態(tài)需要三個兩兩對易的定其狀態(tài)需要三個兩兩對易的力學(xué)量：力學(xué)量：.,zyxpppEx.2Ex.2氫原子，完全確定其狀態(tài)也需氫原子，完全確定其狀態(tài)也需要三個兩兩對易的力學(xué)量：要三個兩兩對易的力學(xué)量：.,2zLLH一維諧振子，只需要一個力學(xué)一維諧振子，只需要一個力學(xué)量就可完全確定其狀態(tài)：量就可完全確定其狀態(tài)：H（2 2）力學(xué)量完全集中力學(xué)量的數(shù)目一般與體系自由度）力學(xué)量完全集中力學(xué)量的數(shù)目一般與體系自由度數(shù)相同。數(shù)相同。（3 3）由力學(xué)量完全集所確定的本征函數(shù)系，構(gòu)成該體）由力學(xué)量完全集所確定的本征函數(shù)系，構(gòu)成該體系態(tài)空間的一組完備的本

14、征函數(shù)，即體系的任何狀態(tài)系態(tài)空間的一組完備的本征函數(shù)，即體系的任何狀態(tài)均可用它展開。均可用它展開。3 .3 . 力 學(xué) 量 完 全 集 合力 學(xué) 量 完 全 集 合Ex.3Ex.3Ex.1Ex.1The variables in Quantum mechanics 154 4測不準(zhǔn)關(guān)系測不準(zhǔn)關(guān)系 測不準(zhǔn)關(guān)系的嚴(yán)格推導(dǎo)測不準(zhǔn)關(guān)系的嚴(yán)格推導(dǎo) 坐標(biāo)和動量的測不準(zhǔn)關(guān)系坐標(biāo)和動量的測不準(zhǔn)關(guān)系 角動量的測不準(zhǔn)關(guān)系角動量的測不準(zhǔn)關(guān)系引 言引 言由前面討論表明，兩對易力學(xué)量算符則同由前面討論表明，兩對易力學(xué)量算符則同時(shí)有確定值；不對易兩力學(xué)量算符，一般時(shí)有確定值；不對易兩力學(xué)量算符，一般來說，不存在共同本征函

15、數(shù)，不同時(shí)具有來說，不存在共同本征函數(shù)，不同時(shí)具有確定值。確定值。問 題問 題兩個不對易算符所對應(yīng)的力學(xué)量在某一狀兩個不對易算符所對應(yīng)的力學(xué)量在某一狀態(tài)中究竟不確定到什么程度？即不確定度態(tài)中究竟不確定到什么程度？即不確定度是多少？是多少？不確定度：不確定度：測量值測量值 F Fn n 與平均值與平均值 F 的偏差的的偏差的大小。大小。The variables in Quantum mechanics 16GGGFFF,)()(FFGGGGFFFGGF() ()FG FG FG FGGF GF GF GFk iFGGF 設(shè)設(shè) 和和 的對易關(guān)系為的對易關(guān)系為GFk iGF,k iFGGF考慮積分

16、：考慮積分：2( )()IFi Gd dGiFGiF)()(*dFGGFidFF)()()()()(*2dGG)()(*（再利用力學(xué)量算符的厄米性）（再利用力學(xué)量算符的厄米性） 測不準(zhǔn)關(guān)系的嚴(yán)格推導(dǎo)測不準(zhǔn)關(guān)系的嚴(yán)格推導(dǎo) The variables in Quantum mechanics 170)()(222GkF由代數(shù)中二次定理知，這個不等式成立的條件由代數(shù)中二次定理知，這個不等式成立的條件是系數(shù)必須滿足下列關(guān)系：是系數(shù)必須滿足下列關(guān)系： 4)()(222kGF（稱為測不準(zhǔn)關(guān)系）（稱為測不準(zhǔn)關(guān)系） 如果如果 不等于零，則不等于零，則 和和 的均方偏差不會同時(shí)為的均方偏差不會同時(shí)為零，它們的乘

17、積要大于一正數(shù)，這意味著零，它們的乘積要大于一正數(shù)，這意味著 和和 不能不能同時(shí)測定。同時(shí)測定。kFGFG222*()()FdiF GG FdGd The variables in Quantum mechanics 18 由測不準(zhǔn)關(guān)系由測不準(zhǔn)關(guān)系 看出：若兩個力學(xué)量看出：若兩個力學(xué)量算符算符 和和 不對易，則一般說來不對易，則一般說來 與與 不能同不能同時(shí)為零，即時(shí)為零，即 和和 不能同時(shí)測定（但注意不能同時(shí)測定（但注意 的特殊態(tài)可能是例外），或者說它們不能有共同本征的特殊態(tài)可能是例外），或者說它們不能有共同本征態(tài)。反之，若兩個厄米算符態(tài)。反之，若兩個厄米算符 和和 對易，則可以找對易，則可

18、以找出這樣的態(tài)，使出這樣的態(tài)，使 和和 同時(shí)滿足，即可同時(shí)滿足，即可以找出它們的共同本征態(tài)。以找出它們的共同本征態(tài)。 222() ()4FGkFGFG , 0F G FG0F0GFG4)()(222xpx故有故有 坐標(biāo)和動量的測不準(zhǔn)關(guān)系坐標(biāo)和動量的測不準(zhǔn)關(guān)系 22)2xxp （或?qū)懗苫驅(qū)懗? ipxxThe variables in Quantum mechanics 192xpx簡記為簡記為 表明：表明： 和和 不能同時(shí)為零，坐標(biāo)不能同時(shí)為零，坐標(biāo) 的均方差越的均方差越小，則與它共軛的動量小，則與它共軛的動量 的均方偏差越大，亦就是說，的均方偏差越大，亦就是說，坐標(biāo)愈測量準(zhǔn)，動量就愈測不準(zhǔn)。

19、坐標(biāo)愈測量準(zhǔn)，動量就愈測不準(zhǔn)。xxpxPx 角動量的測不準(zhǔn)關(guān)系角動量的測不準(zhǔn)關(guān)系22224)zyxzyxLLLLiLL（，當(dāng)粒子處在當(dāng)粒子處在 的本征態(tài)時(shí)的本征態(tài)時(shí)zL42222241)(4)mmLLyx（The variables in Quantum mechanics 20測不準(zhǔn)關(guān)系的應(yīng)用測不準(zhǔn)關(guān)系的應(yīng)用 Ex. 1 利用測不準(zhǔn)關(guān)系估算線性諧振子的零點(diǎn)能利用測不準(zhǔn)關(guān)系估算線性諧振子的零點(diǎn)能0ESolve：諧振子的能量諧振子的能量 21nEn222( )()xnnnxN eHx222212xpH平均能量：平均能量： 2222121xpHEdxxPxPnn)()(*dxxdxdxinn)()

20、(dxxxdxdixxinnnn)()()()(The variables in Quantum mechanics 210)(2dxxxxn222222222()()()() ()4PPPPxxxxPx2224Px22222221112228EHpxxx0P ( )nnpx dxPThe variables in Quantum mechanics 22222221280ExxdEdxmin012EE 故所謂零點(diǎn)能即為測不準(zhǔn)關(guān)系要求的最小能量，故所謂零點(diǎn)能即為測不準(zhǔn)關(guān)系要求的最小能量，零點(diǎn)能在舊量子理論是沒有的。零點(diǎn)能在舊量子理論是沒有的。22x（零點(diǎn)能）（零點(diǎn)能）The variables in Quantum mechanics 23Prove:22224)xzyxzyLLLLiLL （，則測不準(zhǔn)關(guān)系：則測不準(zhǔn)關(guān)系：222224040)xxyLLL （平均值的平方平均值的平方為非負(fù)數(shù)為非負(fù)數(shù)欲保證不等式成立，必有：欲保證不等式成立，必有：0 xL同 理同 理0 yL由于在由于在 本征態(tài)本征態(tài) 中，測量力學(xué)量中，測量力學(xué)量 有確定值，有確定值，所以所以 均方偏差必為零，即均方偏差必為零，即zLlmYzLzLEx.2 利用測不