相似三角形難題集錦

1、相似三角形1 .如圖，在中，Z90° , 3, 4,過(guò)點(diǎn)B作射線1.動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿射線方向以每秒5個(gè)單位 的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C沿射線方向以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)D作，于H,過(guò)點(diǎn)E作 ，交射線1于F, G是中點(diǎn)，連接.設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.（1）當(dāng)t為何值時(shí)，并求出此時(shí)的長(zhǎng)度；（2）當(dāng)及相似時(shí)，求t的值.2 .如圖，在中，/=90° , 6m, 8m,動(dòng)點(diǎn)P以2的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿向點(diǎn) C移動(dòng).同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q以1的速度從C點(diǎn)出發(fā)，沿向點(diǎn)B移動(dòng).當(dāng)其中有一點(diǎn) 到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，它們都停止移動(dòng).設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t秒.（1）當(dāng)2. 5s時(shí)，求的面積；求的面積S （平方米）

2、關(guān)于時(shí)間t （秒） 的函數(shù)解析式；（2）在P, Q移動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求出t的值.3 .如圖1,在中，/=90° , =6, =8,點(diǎn)D在邊上運(yùn)動(dòng)，平分/交邊于點(diǎn)E, _L,垂足為M, ±,垂足為N.（1）當(dāng)=時(shí)，求證：；（2）探究：為何值時(shí)，及相似?4 .如圖所示，在中，=20, =30,點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿著以每秒4的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，沿以每秒3的速度向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，Q點(diǎn)隨之停 止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x.（1）當(dāng)x為何值時(shí)，？（2） 及能否相似？若能，求出的長(zhǎng)；若不能說(shuō)明理由.5 .如圖，在矩形中，12, 6,點(diǎn)P沿邊從A開(kāi)始向

3、點(diǎn)B以2的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q沿邊從點(diǎn)D開(kāi)始向點(diǎn)A 以1的速度移動(dòng).如果P、Q同時(shí)出發(fā)，用t （s）表示移動(dòng)的時(shí)間（0<t<6）o（1）當(dāng)t為何值時(shí)，為等腰直角三角形？（2）當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形及相似？1 / 116 .在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2, 1),正比例函數(shù)的圖象及線段的夾角是45°，求這個(gè)正 比例函數(shù)的表達(dá)式.10/117 .在中，25，4, 2,以為邊在C點(diǎn)的異側(cè)作，使為等腰直角三角形,求線段的長(zhǎng).8 .在中，N90° ,點(diǎn)M是上的一點(diǎn)，點(diǎn)N是上的一點(diǎn)，沿著直線折疊，使得 點(diǎn)C恰好落在邊上的P點(diǎn).求證:：.9 .如圖，在直角

4、坐標(biāo)系中，矩形的邊在x軸上，邊在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為 (1, 3),將矩形沿對(duì)角線翻折B點(diǎn)落在D點(diǎn)的位置，且交y軸于點(diǎn)E.那么D點(diǎn)的坐標(biāo)為()A. B. C. D.10.已知，如圖，直線-2x + 2及坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn).以為短邊在第一象限 做一個(gè)矩形，使得矩形的兩邊之比為1 : 2o 求C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)。11 .如圖：中，D是上一點(diǎn)，邊上的中線交于F。 求證：12 .四邊形中，為、的比例中項(xiàng)，且平分N。 求證：13 .在梯形中，=b, =a, E為邊上的任意一點(diǎn)，且交于點(diǎn)F,某同 學(xué)在研究這一問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)如下事實(shí)：4十匕（1）當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，參照上述研究結(jié)論，請(qǐng)你猜想用

5、a、b和k表示的一般結(jié) 論，并給出證明.14 .已知：如圖，在中，M是的中點(diǎn)，E、F是上的兩點(diǎn)，且=。 求：.215 .證明：（1）重心定理：三角形頂點(diǎn)到重心的距離等于該頂點(diǎn)對(duì)邊上中線長(zhǎng)的號(hào).（注：重心是三角 形三條中線的交點(diǎn)）.（2）角平分線定理：三角形一個(gè)角的平分線分對(duì)邊所成的兩條線段及這個(gè)角的 兩鄰邊對(duì)應(yīng)成比例.16 .如圖，在等邊中，M、N分別是邊，的中點(diǎn)，D為上任意一點(diǎn)，、的延長(zhǎng)線分別交、于點(diǎn)E、F. 求證：.17 .已知：如圖，梯形中，對(duì)角線、交于0,過(guò)0作分別交、于E、Fo 求證：.1&如圖，在中，已知為邊上的高，正方形的四個(gè)頂點(diǎn)分別在上。 求證：.19 .已知，在中作內(nèi)

6、接菱形，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為a.求證：.20 . (1)如圖1,點(diǎn)尸在平行四邊形的對(duì)角線上，一直線過(guò)點(diǎn)P分別交，的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q, S,交四， 于點(diǎn)尺T,求證：PQ PS ?T(2)如圖2,圖3,當(dāng)點(diǎn)P在平行四邊形的對(duì)角線四或力的延長(zhǎng)線上時(shí)，網(wǎng)是否仍然成立？ 若成立，試給出證明；若不成立，試說(shuō)明理由(要求僅以圖2為例進(jìn)行證明或說(shuō)明)；21 .如圖，在平行四邊形中，過(guò)點(diǎn)A作，垂足為E,連接，F(xiàn)為線段 上一點(diǎn)，且/二/B.求證：X若= 4 = 3、Q =3,求的長(zhǎng).22 .如圖，已知等腰三角形中，分別為，邊上的高，過(guò)D作的垂線交于E,交于G, 交延長(zhǎng)線于H。求證：-23 .已知如圖，P為平行四邊形的對(duì)角線

7、上一點(diǎn)，過(guò)P的直線及、的延長(zhǎng) 線、的延長(zhǎng)線分別相交于點(diǎn)E、F、G、H.求證：24 .已知，如圖，銳角中，于D, H為垂心（三角形三條高線的交點(diǎn)）; 上有一點(diǎn)P,且N為直角.求證：2= O25 .已知如圖，是斜邊上的高，E為的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于F。 求證：26如圖，在中，是斜邊上的高，點(diǎn)M在上，且及的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.求證：（1）（2） A£CM= AC CD27 .如圖，是直角三角形，Z90° ,于口，E是的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線及的延 長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.（1）求證：F疔 = FB-FC.（2）若G是的中點(diǎn)，連接，及垂直嗎？并說(shuō)明理由.II28 .如圖，四邊形、都是正方形，連接、及相交于

8、點(diǎn)M,及相交于點(diǎn)N.求證：M 二WMN.29 .如圖，、分別是的兩邊上的高，過(guò)D作，于G,分別交及的延長(zhǎng)線于F、Ho 求證：（1） 2= ： （2） = 30 .和是兩個(gè)等腰直角三角形，NN90。，的頂點(diǎn)E位于邊的中點(diǎn)上.（1）如圖1,設(shè)及交于點(diǎn)M,及交于點(diǎn)N,求證：s/；（2）如圖2,將繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，使得及的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,及交于點(diǎn)N,于是, 除（1）中的一對(duì)相似三角形外，能否再找出一對(duì)相似三角形并證明你的結(jié)論.圖1圖2dc31 .如圖，四邊形和四邊形都是平行四邊形，點(diǎn)R為的中點(diǎn)，分別交、于點(diǎn)P、Q. (1)請(qǐng)寫(xiě)出圖中各對(duì)相似三角形(相似比為1除外)； (2)求：.32 .如圖，在中，_1于口

9、，_1_于£, 1.于F。求證:33 .如圖， 。是由繞點(diǎn)力順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，連結(jié) 交斜邊于點(diǎn)瓦 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.(1)證明：/；(2)設(shè)Na, Z 二夕，試探索?滿足什么關(guān)系時(shí)，及是全等三角形，并說(shuō)明理由.34 .在直角梯形中，Z = 90°, =3, =6, =3.分別以、邊所在直線為 y軸建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系.(1)求點(diǎn)6的坐標(biāo)；(2)己知小£分別為線段、上的點(diǎn)，=5, =2,直線交x軸于點(diǎn)F.求直 解析式；(3)點(diǎn)"是(2)中直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在x軸上方的平面內(nèi)是否存在另點(diǎn)M使以0、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的

10、坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.35.在圖15T至圖15-3中，直線及線段相交于點(diǎn)。，N1=N2=450 .證:（1）如圖15T,若 二,請(qǐng)寫(xiě)出及 的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（2）將圖15-1中的繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到圖15-2,其中二， I ;（3）將圖152中的拉長(zhǎng)為的A倍得到圖15-3,求空的值.ACA求證；236 .如圖，在正方形中，£是上的一點(diǎn),連結(jié)，作_1,垂足為4交于E作，交于GFC2 _GFAB2 GB37 .劉衛(wèi)同學(xué)在一次課外活動(dòng)中，用硬紙片做了兩個(gè)直角三角形，見(jiàn)圖、.圖中，Z90° , Z 30° , 6；圖中，Z90° , N45°

11、 , 4 .圖是劉衛(wèi)同學(xué)所做的一個(gè)實(shí)驗(yàn)：他將的直角邊及 的斜邊重合在一起，并將沿方向移動(dòng).在移動(dòng)過(guò)程中，D、E兩點(diǎn)始終在邊上（移動(dòng)開(kāi)始時(shí)點(diǎn) D及點(diǎn)A重合）.（1）在沿方向移動(dòng)的過(guò)程中，劉衛(wèi)同學(xué)發(fā)現(xiàn)：F、C兩點(diǎn)間的距離逐漸 .（填“不變”、“變大”或“變小”）（2）劉衛(wèi)同學(xué)經(jīng)過(guò)進(jìn)一步地研究，編制了如下問(wèn)題：?jiǎn)栴}：當(dāng)移動(dòng)至什么位置，即的長(zhǎng)為多少時(shí)，F(xiàn)、C的連線及平行？問(wèn)題：當(dāng)移動(dòng)至什么位置，即的長(zhǎng)為多少時(shí)，以線段、的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三 角形？問(wèn)題：在的移動(dòng)過(guò)程中，是否存在某個(gè)位置，使得N15° ?如果存在，求出的長(zhǎng)度；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.請(qǐng)你分別完成上述三個(gè)問(wèn)題的解答過(guò)程.

12、（圖）38 .己知中，=2岳,=475 , =6(1)如圖1點(diǎn)M為的中點(diǎn)，在線段上取點(diǎn)N,使及相似，求線段的長(zhǎng)；(2)如圖2,是由100個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的10X10正方形網(wǎng)格，設(shè)頂點(diǎn)在這些小正方形頂 點(diǎn)的三角形為格點(diǎn)三角形，請(qǐng)你在所給的網(wǎng)格中畫(huà)出格點(diǎn)ABQ,使得ABC1及全等(畫(huà)出一 個(gè)即可，不需證明)試直接寫(xiě)出在所給的網(wǎng)格中及相似且面積最大的格點(diǎn)三角形的個(gè)數(shù)，并畫(huà)出其中的一個(gè)(不需證 明)39.已知直角坐標(biāo)系中菱形的位置如圖，C, 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(4,0), (0,3).現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)分別從同時(shí) 殳，點(diǎn)尸沿線段向終點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。沿折線向終點(diǎn)力運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.(1)填空：菱形的邊

13、長(zhǎng)是、面積是、高的長(zhǎng)是;(2)探究下列問(wèn)題：若點(diǎn)尸的速度為每秒1個(gè)單位，點(diǎn)。的速度為每秒2個(gè)單位.當(dāng)點(diǎn)0在線段上時(shí)，求的面積S關(guān) 于的函數(shù)關(guān)系式，以及S的最大值。若點(diǎn)尸的速度為每秒1個(gè)單位，點(diǎn)。的速度變?yōu)槊棵階個(gè)單位，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，任何時(shí)刻都有相應(yīng) 的A值，使得沿它的一邊翻折，翻折前后兩個(gè)三角形組成的四邊形為 菱形.請(qǐng)?zhí)骄慨?dāng)4秒時(shí)的情形，并求出A的值.（1）如圖（1）當(dāng)射線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，交邊于點(diǎn)E,不添加輔助線，寫(xiě)出圖中所有及相似的三角形.（2）如圖（2）,將N繞點(diǎn)D沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，分別交線段，于E, F點(diǎn)（點(diǎn)E及點(diǎn)A不重合），不 添加輔助線，寫(xiě)出圖中所有的相似三角形，并證明你的結(jié)論.（3）在圖（2）中，若10