數(shù)學重積分概念與性質PPT課件

1、如果積分區(qū)域為：, bxa ).()(21xyx 其中函數(shù) 、 在區(qū)間 上連續(xù).)(1x )(2x ,ba一、利用直角坐標系計算二重積分X型)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy X-型區(qū)域的特點型區(qū)域的特點： 穿過區(qū)域且垂直于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.第1頁/共49頁Df(x,y)dDzf(x,y) 的的值值等等于于以以為為底底，以以曲曲面面為為頂頂?shù)牡那旐斨w體的的體體積積 (f(x,y)0)(f(x,y)0)應用計算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法,zyx)(xA),(yxfz )(1xy)(2xy.),(),()()(21 Dbaxxdy

2、yxfdxdyxf 得axb( 先積一條線, 后掃積分域 )第2頁/共49頁.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf 如果積分區(qū)域為：,dyc ).()(21yxy Y型)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D Y-型區(qū)域的特點型區(qū)域的特點：穿過區(qū)域且垂直于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.第3頁/共49頁,DD注注: :對對y y先先積積分分時時, ,做做平平行行于于y y軸軸的的任任意意直直線線穿穿過過它它與與的的邊邊界界曲曲線線交交于于兩兩點點, ,這這兩兩點點y y的的坐坐標標就就是是y y的的上上下下限限. .后后積積分分的的上上下下限限

3、為為常常數(shù)數(shù). .第4頁/共49頁oxy為計算方便, ,可選擇積分序, ,必要時還可以交換積分序.若積分域較復雜, ,可將它分成若干1D2D3DX X- -型域或Y Y- -型域, ,321DDDD則 第5頁/共49頁解解兩兩曲曲線線的的交交點點),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy Ddxdyyx)(2 1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)(21)(42102 .14033 2xy 2yx 2xy 2yx 第6頁/共49頁例例2 2：計算計算,dDyx其中D D 是拋物線2yx 所圍成的閉區(qū)域. . 解解: 為計算簡便, ,先對x x后對y y積分, ,D: xydx Dx

4、yd 21dy 22y 2212y1x ydy 22511y(y2)y dy2 432621y41y2yy24361 458 Dxy22 xy214oyxy2yxy21y2 2yy2 yx2 及直線則 第7頁/共49頁例例3 3： 計算計算Dsinxdxdy,x 其中D D 是直線 ,0,yxy所圍成的閉區(qū)域. .oxyDxxy 解解: 由被積函數(shù)可知, ,因此取D D 為X X型域 : :0yxD:0 x Dsinxdxdyx x0dy 0sinxdx cosx0 2 0sinxdxx x先對x x積分不行, , 注: : 若被積函數(shù)為一元函數(shù), ,缺哪個變量就對該變量 先積分.第8頁/共4

5、9頁利利用用二二重重積積分分的的對對稱稱性性化化簡簡計計算算： D21DDDdxdy)y, x( fI軸對稱軸對稱關于關于xD)1( 1Dy)y, x( fdxdy)y, x( f2y)y, x( f0I為偶函數(shù)為偶函數(shù)關于關于為奇函數(shù)為奇函數(shù)關于關于軸對稱軸對稱關于關于yD)2( 1Dx)y, x( fdxdy)y, x( f2x)y, x( f0I為偶函數(shù)為偶函數(shù)關于關于為奇函數(shù)為奇函數(shù)關于關于第9頁/共49頁關關于于原原點點對對稱稱D)3( 1D)y, x( f)y, x( fdxdy)y, x( f2)y, x( f)y, x( f0I1yx:DdxdyxyID ，其中，其中例：例：1

6、D2D3D4D為偶函數(shù)為偶函數(shù)關于關于關于原點對稱，關于原點對稱，y, xxyDD21 314321DDDDDD,為偶函數(shù)為偶函數(shù)關于關于關于原點對稱，關于原點對稱，y, xxyDD43為偶函數(shù)為偶函數(shù)關于關于軸對稱，軸對稱，關于關于xxyyDD13111 x00D1I4xydxdy(4dxxydy)6 第10頁/共49頁0)D(;dxdy)ysinxcosxy(4)C(;xydxdy2)B(;ydxdysinxcos2)A()(dxdy)ysinxcosxy(DD)1, 1()1 , 1(),1 , 1(OXYD111DDDD1 在第一象限部分，則在第一象限部分，則是是三角形域，三角形域，為

7、頂點的為頂點的和和平面上以平面上以是是例：設例：設A第11頁/共49頁xy 1原原式式 ydxyxfdy1010),(.解解積分區(qū)域如圖第12頁/共49頁xy 222xxy 原原式式 102112),(yydxyxfdy.解解積分區(qū)域如圖第13頁/共49頁axy2 解解= ayaaaydxyxfdy02222),(原式 aayaadxyxfdy0222),(.),(2222 aaaaydxyxfdy22xaxy 22yaax a2aa2a第14頁/共49頁第15頁/共49頁 dyey2無法用初等函數(shù)表示無法用初等函數(shù)表示解解 積積分分時時必必須須考考慮慮次次序序 Dydxdyex22 yydx

8、exdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e 第16頁/共49頁D8yxdxdy,D1x11y1 例例 ：求求其其中中 ：，1D2Doxy yxxyyxyxxy解：解： 21DDDdxdyxydxdyyxdxdyxy111ydyxydx 33111y22y11122(xy)dy(yx)dy33 331122112216y dy(1y) dy33151y11dyyxdx 第17頁/共49頁解解曲面圍成的立體如圖.第18頁/共49頁, 10 yx,xyyx 所求體積所求體積 DdxyyxV )( 1010)(xdyxyyxdx 103)1(21)1(dxxxx.

9、247 所所圍圍立立體體在在xoy面面上上的的投投影影是是第19頁/共49頁例例10:10:求兩個底圓半徑為求兩個底圓半徑為R R 的直交圓柱面所圍的的直交圓柱面所圍的立體立體體積體積. .xyzRRo解: : 設兩個直圓柱方程為222xyR ,利用對稱性, , 考慮第一卦限部分, ,其曲頂柱體的頂為則所求體積為22DV8Rx dxdy 22Rx0dy R2208(Rx )dx 316R3 222xzR22zRx220yRx(x,y)D:0 xR R2208Rx dx 222Ryx222RzxD第20頁/共49頁二重積分化為二次積分計算步驟及注意二重積分化為二次積分計算步驟及注意事項事項 畫出

10、積分域 確定積分序 寫出積分限 計算要簡便積分域分塊要少累次積分好算為妙( (先積一條線, ,后掃積分域) )(充分利用對稱性)第21頁/共49頁AoDiirr iirrriiiiiiiiirrr 2221)(21iiiirrr )2(21iiiiirrrr 2)(,iiirr .)sin,cos(),( DDrdrdrrfdxdyyxf 二、利用極坐標系計算二重積分第22頁/共49頁.)sin,cos()()(21 rdrrrfd ADo)(1 r)(2 r Drdrdrrf )sin,cos(二重積分化為二次積分的公式（）二重積分化為二次積分的公式（）區(qū)域特征如圖, ).()(21 r的外

11、部的外部在積分區(qū)域在積分區(qū)域極點極點DO)1第23頁/共49頁AoD)(r.)sin,cos()(0 rdrrrfd二重積分化為二次積分的公式（）二重積分化為二次積分的公式（）區(qū)域特征如圖, ).(0 r Drdrdrrf )sin,cos(的邊界上的邊界上在積分區(qū)域在積分區(qū)域極點極點DO)2第24頁/共49頁 Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd極坐標系下區(qū)域的面積. Drdrd 二重積分化為二次積分的公式（）二重積分化為二次積分的公式（）區(qū)域特征如圖).(0 rDoA)(r,2 0的內部的內部在積分區(qū)域在積分區(qū)域極點極點DO)3第25頁/共49

12、頁221) (),();2);3)yf xyfxD 一一般般情情況況下下，被被積積函函數(shù)數(shù)為為積積分分區(qū)區(qū)域域為為圓圓域域或或圓圓的的一一部部分分的的邊邊界界曲曲線線用用極極坐坐標標表表示示時時用用極極坐坐標標。 D2222x2yx:D,dyxI1：計算：計算例例cos2r0 ,22| ), r(D: 解解 22cos202drrd原式原式 22dcos383932 第26頁/共49頁圍成。圍成。由由求求例例0 x, xy, 0y, 1yx , 4yxDdxyarctgI 222D22 D22x2yx1:D,dxdyxy3：求：求例例 210rdrdI:4解解2643 )23,21(A )23

13、,21(B 3432cos21rdrdtg:原式原式解解=0法二:積分區(qū)域關于x軸對稱,yxy為奇函數(shù)為奇函數(shù)關于關于0 原式原式第27頁/共49頁1 yx122 yx解解在極坐標系下在極坐標系下 sincosryrx所所以以圓圓方方程程為為 1 r,直直線線方方程程為為 cossin1 r, Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1 rdrrrfd第28頁/共49頁解解在極坐標系下在極坐標系下D：ar 0， 20.dxdyeDyx 22 arrdred0202).1(2ae 第29頁/共49頁注注: :利用例5 5可得到一個在概率論與數(shù)理統(tǒng)計及工程上非常有用的反常積分公

14、式2x0edx2 事實上, ,當D D為R R2 2時, ,22xyDedxdy 22xyedxedy 22x04edx 利用例5 5的結果, , 得 222xa0a4edxlim(1e) 故式成立 . .第30頁/共49頁解解32 61 sin4 r sin2 rdxdyyxD)(22 36sin4sin22rdrrd).32(15 yyx422 yyx222 03 yx03 xy第31頁/共49頁解解由對稱性，可只考慮第一象限部分由對稱性，可只考慮第一象限部分， 注意：注意：被積函數(shù)也要有對稱性被積函數(shù)也要有對稱性. Ddxdyyxyx2222)sin(4 12222)sin(Ddxdyy

15、xyx 210sin42rdrrrd. 4 14DD 1D第32頁/共49頁解解根根據(jù)據(jù)對對稱稱性性有有 14DD 在在極極坐坐標標系系下下)(2)(222222yxayx ,2cos2 ar ,222arayx 1D 由由 arar 2cos2, 得得交交點點)6,( aA,第33頁/共49頁 所求面積所求面積 Ddxdy 14Ddxdy 2cos2064aardrd).33(2 a第34頁/共49頁2dy(ba)bbbbaaaa例例10:10:設設f(x)f(x)在在a,ba,b上上連連續(xù)續(xù), ,且且恒恒大大于于零零, ,試試利利用用二二重重積積分分證證明明1 1f(x)dxf(x)dxf

16、(y)f(y)bxbaaa9:dxf(y)dyf(y)(by)dy例例證證明明( )( ):( )( )DDf xf yIdxdydxdyf yf x證證( )( )2()2( )( )DDf xf yIdxdydxdyf yf x2()Iba第35頁/共49頁二重積分在直角坐標下的計算公式（在積分中要正確選擇積分次序積分次序）三、小結.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf .),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf 第36頁/共49頁二重積分在極坐標下的計算公式（在積分中注意使用對稱性） Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()()(

17、21 rdrrrfd.)sin,cos()(0 rdrrrfd.)sin,cos()(020 rdrrrfd 第37頁/共49頁設設)(xf在在1 , 0上上連連續(xù)續(xù)，并并設設Adxxf 10)(， 求求 110)()(xdyyfxfdx.思考題思考題第38頁/共49頁 1)(xdyyf不能直接積出不能直接積出,改改變變積積分分次次序序. 令令 110)()(xdyyfxfdxI,思考題解答思考題解答則原式則原式 ydxyfxfdy010)()(.,)()(010 xdyyfdxxf第39頁/共49頁故故 110)()(2xdyyfdxxfI xdyyfdxxf010)()()()()(101

18、0dyyfdxxfxx .)()(21010Adyyfdxxf 第40頁/共49頁 交交換換積積分分次次序序: ).0(),(cos022 adrrfdIa思考題思考題第41頁/共49頁,cos022: arDoxy思考題解答思考題解答 cosar Daararccos ararccos .),(arccosarccos0 araradrfdrI 第42頁/共49頁一、一、 填空題填空題: : 1 1、 Ddyyxx )3(323_._.其中其中 . 10 , 10: yxD 2 2、 Ddyxx )cos(_._.其中其中D是頂是頂 點分別為點分別為 )0 , 0(，)0 ,( ，),( 的

19、三角形閉區(qū)域的三角形閉區(qū)域 . . 3 3、將二重積分、將二重積分 Ddyxf ),(, ,其中其中D是由是由x軸及半圓周軸及半圓周)0(222 yryx所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域, ,化為先對化為先對y后對后對x的二次積分的二次積分, ,應為應為_._.練練 習習 題題第43頁/共49頁 4 4、將二重積分、將二重積分 Ddyxf ),(, ,其中其中D是由直線是由直線 2, xxy及雙曲線及雙曲線)0(1 xxy所圍成的閉區(qū)所圍成的閉區(qū) 域域, ,化為先對化為先對x后對后對y的二次積分的二次積分, ,應為應為 _. _. 5 5、將將二二次次積積分分 22221),(xxxdyyxfdx

20、改改換換積積分分次次序序, , 應應為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 6 6、將將二二次次積積分分 xxdyyxfdxsin2sin0),( 改改換換積積分分次次序序, , 應應為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .第44頁/共49頁 7 7、將將二二次次積積分分 2ln1),(2yedxyxfdy 2)1(2112),(ydxyxfdy改改換換積積分分次次序序, , 應應為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .二、畫