方向導數與梯度70320

1、一、方向導數的定義一、方向導數的定義二、梯度的概念二、梯度的概念三、小結三、小結討論函數討論函數 z = f (x, y) 在一點在一點 p沿某一方向的變化率問題沿某一方向的變化率問題一、方向導數的定義一、方向導數的定義oyx lp x y p .),(),(lim0 yxfyyxxflf 定義定義的方向導數的方向導數沿方向沿方向限為函數在點限為函數在點的極限存在，則稱這極的極限存在，則稱這極時，如果此比時，如果此比趨于趨于沿著沿著比值，當比值，當之之兩點間的距離兩點間的距離與與函數的增量函數的增量lpplpyxppyxfyyxxf 22)()(),(),( 記為記為方向導數方向導數依定義，函

2、數依定義，函數),(yxf在點在點p沿著沿著x軸正向軸正向 0 , 11 e、 y軸正向軸正向 1 , 02 e 的方向導數分別為的方向導數分別為yxff ,； 沿沿著著x軸軸負負向向、y軸軸負負向向的的方方向向導導數數是是 yxff ,. . 定定理理 如如果果函函數數),(yxfz 在在點點),(yxp是是可可微微分分的的， 那那末末函函數數在在該該點點沿沿任任意意方方向向 l的的方方向向導導數數都都 存存在在，且且有有 sincosyfxflf ， 其其中中 為為 x 軸軸到到方方向向 l的的轉轉角角 xyo例例 1 1 求函數求函數 yxez2 在點在點 )0 , 1(p 處沿從點處沿

3、從點 )0 , 1(p 到點到點 )1 , 2( q 的方向的方向導數的方向的方向導數. . 解解故故x軸到方向軸到方向 l的轉角的轉角4 . . )0 , 1( xz由由 )0 , 1(yz)4sin(2)4cos(1 lz.22 這里方向這里方向 l即為即為1 , 1 pq, , 方向導數方向導數pq )0 , 1(2ye; 1 )0 , 1(22yxe, 2 對對于于三三元元函函數數),(zyxfu ，它它在在空空間間一一點點 ),(zyxp沿沿著著方方向向 l的的方方向向導導數數 ，可可定定義義為為 ,),(),(lim0 zyxfzzyyxxflf 推廣可得三元函數方向導數的定義推廣

4、可得三元函數方向導數的定義（ 其其中中222)()()(zyx ） 同理：當函數在此點可微時，那末函數在該點沿同理：當函數在此點可微時，那末函數在該點沿 任意方向任意方向 l的方向導數都存在，且有的方向導數都存在，且有 .coscoscos zfyfxflf 設設方方向向 l 的的方方向向角角為為 , ,. . 定義定義 設函數設函數),(yxfz 在平面區(qū)域在平面區(qū)域 d 內具有一階內具有一階 連續(xù)偏導數，則對于每一點連續(xù)偏導數，則對于每一點dyxp ),(，都，都 可定出一個向量可定出一個向量 jyfixf ，這向量稱為函，這向量稱為函 數數),(yxfz 在點在點),(yxp的的梯度梯度

5、，記為，記為 二、梯度的概念二、梯度的概念?:最快最快沿哪一方向增加的速度沿哪一方向增加的速度函數在點函數在點問題問題p. ),( jyfixfyxfgrad sincosyfxflf sin,cos, yfxf ),(eyxfgrad ,cos| ),(| yxfgrad lf 有最大值有最大值. . 設設 sin cos jie 是方向是方向 l上的單位向量，上的單位向量， 由由方方向向導導數數公公式式知知 其中其中) ),(eyxfgrad 當當1) ),(cos( eyxfgrad 時時， 函數在某點的梯度是這樣一個向量，它的方函數在某點的梯度是這樣一個向量，它的方 向與取得最大方向導

6、數的方向一致向與取得最大方向導數的方向一致, ,而它的而它的 模為方向導數的最大值梯度的模為模為方向導數的最大值梯度的模為 結論結論. | ),(|22 yfxfyxfgrad),(yxfz 在幾何上在幾何上 表示一個曲面表示一個曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得cz ,),( czyxfz所得曲線在所得曲線在xoy面上投影如圖面上投影如圖等高線等高線),(yxfgrad梯度為等高線上的法向量梯度為等高線上的法向量p2),(cyxf 1),(cyxf oyxcyxf ),(12cc 三元函數三元函數),(zyxfu 在空間區(qū)域在空間區(qū)域 g內具有一階內具有一階 連續(xù)偏導數，則對于每一點連續(xù)

7、偏導數，則對于每一點gzyxp ),(，都可，都可 定義一個向量定義一個向量( (梯度梯度) ) . ),(kzfjyfixfzyxfgrad 類似于二元函數，此梯度也是一個向量，其方向與類似于二元函數，此梯度也是一個向量，其方向與取得最大方向導數的方向一致，其模為方向導數的取得最大方向導數的方向一致，其模為方向導數的最大值最大值. .梯度的概念可以推廣到三元函數梯度的概念可以推廣到三元函數類似地類似地, ,設曲面設曲面czyxf ),(為函數為函數),(zyxfu 的等量面，此函數在點的等量面，此函數在點),(zyxp的梯度的方向與的梯度的方向與 過點過點 p的等量面的等量面czyxf ),

8、(在這點的法線的一在這點的法線的一 個方向相同，且從數值較低的等量面指向數值較個方向相同，且從數值較低的等量面指向數值較 高的等量面，而梯度的模等于函數在這個法線方高的等量面，而梯度的模等于函數在這個法線方 向的方向導數向的方向導數. . 例例 4 4 求求函函數數 yxzyxu2332222 在在點點 )2 , 1 , 1( 處處的的梯梯度度，并并問問在在 哪哪些些點點處處梯梯度度為為零零向向量量？ 解解由梯度計算公式得由梯度計算公式得 ),(kzujyuixuzyxugrad , 6 )24( )32(kzjyix 故故. 12 2 5)2 , 1 , 1( kjiugrad 在在)0 ,21 ,23(0 p處處梯梯度度為為零零向向量量. . 1 1、方向導數的概念、方向導數的概念2 2、梯度的概念、梯度的概念3 3、方向導數與梯度的關系、方向導數與梯度的關系（注意方向導數與一般所說偏導數的（注意方向