2015屆高考數(shù)學(xué)（四川專用理科）必考題型過關(guān)練：第26練（含答案）

1、第26練數(shù)列求和問題大全題型一分組轉(zhuǎn)化法求和例1等比數(shù)列an中，a1，a2，a3分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列bn滿足：bnan(1)nln an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.破題切入點(diǎn)(1)可以通過逐個(gè)驗(yàn)證來確定數(shù)列的前三項(xiàng)，進(jìn)而求得an；(2)可以分組求和：將bn前n項(xiàng)和轉(zhuǎn)化為數(shù)列an和數(shù)列(1)nln an前n項(xiàng)的和解(1)當(dāng)a13時(shí)，不合題意；當(dāng)a12時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)a26，a318時(shí)，符合題意；當(dāng)a110時(shí)，不合題意因此a12，a26

2、，a318.所以公比q3.故an2·3n1 (nN*)(2)因?yàn)閎nan(1)nln an2·3n1(1)nln(2·3n1)2·3n1(1)nln 2(n1)ln 32·3n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，所以Sn2(133n1)111(1)n·(ln 2ln 3)123(1)nnln 3.所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn2×ln 33nln 31；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn2×(ln 2ln 3)ln 33nln 3ln 21.- 1 - / 14綜上所述，Sn題型二錯(cuò)位相減法求和例2已知：數(shù)列an的前n項(xiàng)和為

3、Sn，且滿足Sn2ann(nN*)(1)求a1，a2的值；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(3)若數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，且滿足bnnan(nN*)，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.破題切入點(diǎn)(1)代入求解即可(2)由Sn2ann得Sn12an1(n1)，n2，兩式相減構(gòu)造數(shù)列求通項(xiàng)公式(3)錯(cuò)位相減求和解(1)Sn2ann.令n1，解得a11；令n2，解得a23.(2)Sn2ann，所以Sn12an1(n1)(n2，nN*)，兩式相減得an2an11，所以an12(an11)(n2，nN*)，又因?yàn)閍112，所以數(shù)列an1是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列所以an12n，即通項(xiàng)公式an2n1(nN*)(

4、3)bnnan，所以bnn(2n1)n·2nn，所以Tn(1·211)(2·222)(3·233)(n·2nn)，Tn(1·212·223·23n·2n)(123n)令Sn1·212·223·23n·2n，2Sn1·222·233·24n·2n1，得Sn2122232nn·2n1，Snn·2n1，Sn2(12n)n·2n12(n1)·2n1，所以Tn2(n1)·2n1(nN*)

5、題型三倒序相加法求和例3已知函數(shù)f(x)(xR)(1)證明：f(x)f(1x)；(2)若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為anf()(mN*，n1,2，m)，求數(shù)列an的前m項(xiàng)和Sm；(3)設(shè)數(shù)列bn滿足b1，bn1bbn，Tn，若(2)中的Sm滿足對(duì)不小于2的任意正整數(shù)m，Sm<Tn恒成立，試求正整數(shù)m的最大值破題切入點(diǎn)(1)利用函數(shù)的解析式，化簡(jiǎn)f(1x)即可求證(2)注意利用(1)中的結(jié)論，構(gòu)造倒序求和(3)由已知條件求出Tn的最小值，將不等式轉(zhuǎn)化為最值問題求解(1)證明因?yàn)閒(x)，所以f(1x).所以f(x)f(1x).(2)解由(1)，知f(x)f(1x)，所以f()f(1)(1km1，k

6、N*)，即f()f().所以akamk，amf()f(1).又Sma1a2am1am，Smam1am2a1am，由，得2Sm(m1)×2am，即Sm(mN*)(3)解由b1，bn1bbnbn(bn1)，顯然對(duì)任意nN*，bn>0，則，即，所以Tn()()()3.因?yàn)閎n1bnb>0，所以bn1>bn，即數(shù)列bn是單調(diào)遞增數(shù)列所以Tn關(guān)于n遞增，所以當(dāng)nN*時(shí)，TnT1.因?yàn)閎1，b2()2，所以TnT13.由題意，知Sm<，即<，解得m<，所以正整數(shù)m的最大值為3.題型四裂項(xiàng)相消法求和例4在公差不為0的等差數(shù)列an中，a1，a4，a8成等比數(shù)列(1

7、)已知數(shù)列an的前10項(xiàng)和為45，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bn，且數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，若Tn，求數(shù)列an的公差破題切入點(diǎn)(1)列方程組(兩個(gè)條件)確定an.(2)可以采用裂項(xiàng)相消法求得含有公差的表達(dá)式，再和已知Tn對(duì)比求得公差解設(shè)數(shù)列an的公差為d，由a1，a4，a8成等比數(shù)列可得aa1·a8，即(a13d)2a1(a17d)，a6a1d9d2a7a1d，而d0，a19d.(1)由數(shù)列an的前10項(xiàng)和為45可得S1010a1d45，即90d45d45，故d，a13，故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an3(n1)·(n8)(2)bn，則數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn.所以1，d&

8、#177;1.故數(shù)列an的公差d1或1.總結(jié)提高數(shù)列求和的主要方法：(1)分組求和法：一個(gè)數(shù)列既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，若將這個(gè)數(shù)列適當(dāng)拆開，重新組合，就會(huì)變成幾個(gè)可以求和的部分，即能分別求和，然后再合并，或?qū)ψ帜竛分類討論后再求和(2)錯(cuò)位相減法：這是推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，主要用于求an·bn的前n項(xiàng)和，其中an和bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列(3)倒序相加法： 這是推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)所用的方法，將一個(gè)數(shù)列倒過來排序，如果原數(shù)列相加時(shí)，若有公因式可提，并且剩余項(xiàng)的和易于求得，則這樣的數(shù)列可用倒序相加法求和(4)裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列和式中的各項(xiàng)分別裂開后，消去一

9、部分從而計(jì)算和的方法，適用于求通項(xiàng)為的前n項(xiàng)和，其中an若為等差數(shù)列，則·()其余還有公式法求和等1若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an，則其前n項(xiàng)和Sn為()A1 B.C. D.答案D解析方法一因?yàn)閍n，所以Sna1a2an11.故選D.方法二因?yàn)閍1，a2，所以S1a1.令n1，選項(xiàng)B中，10，選項(xiàng)C中，1，故排除B，C.又S2，選項(xiàng)A中，令n2，則1，故排除A，應(yīng)選D.2已知數(shù)列1，3，5，7，則其前n項(xiàng)和Sn為()An21 Bn22Cn21 Dn22答案A解析因?yàn)閍n2n1，則Snnn21.3(2013·課標(biāo)全國(guó))設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，Sm12，Sm0，Sm13，則

10、m等于()A3 B4C5 D6答案C解析am2，am13，故d1，因?yàn)镾m0，故ma1d0，故a1，因?yàn)閍mam15，故amam12a1(2m1)d(m1)2m15，即m5.4在數(shù)列an中，若存在一個(gè)確定的正整數(shù)T，對(duì)任意nN*滿足anTan，則稱an是周期數(shù)列，T叫作它的周期已知數(shù)列xn滿足x11，x2a(a1)，xn2|xn1xn|，當(dāng)數(shù)列xn的周期為3時(shí)，則xn的前2 013項(xiàng)和S2 013等于()A1 340 B1 342C1 344 D1 346答案B解析由xn2|xn1xn|，得x3|x2x1|a1|1a，x4|x3x2|12a|，因?yàn)閿?shù)列xn的周期為3，所以x4x1，即|12a|

11、1，解得a0或a1.當(dāng)a0時(shí)，數(shù)列xn為1,0,1,1,0,1，所以S2 0132×6711 342.當(dāng)a1時(shí)，數(shù)列xn為1,1,0,1,1,0，所以S2 0132×6711 342.綜上，S2 0131 342.5已知數(shù)列2 008,2 009,1，2 008，2 009，這個(gè)數(shù)列的特點(diǎn)是從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它的前后兩項(xiàng)之和，則這個(gè)數(shù)列的前2 014項(xiàng)之和S2 014等于()A2 008 B2 010 C1 D0答案B解析由已知得anan1an1(n2)，an1anan1.故數(shù)列的前8項(xiàng)依次為2 008,2 009,1，2 008，2 009，1,2 008,2 00

12、9.由此可知數(shù)列為周期數(shù)列，周期為6，且S60.2 0146×3354，S2 014S42 0082 0091(2 008)2 010.6數(shù)列an滿足an1(1)nan2n1，則an的前60項(xiàng)和為_答案1 830解析an1(1)nan2n1，a21a1，a32a1，a47a1，a5a1，a69a1，a72a1，a815a1，a9a1，a1017a1，a112a1，a1223a1，a57a1，a58113a1，a592a1，a60119a1，a1a2a60(a1a2a3a4)(a5a6a7a8)(a57a58a59a60)1026422341 830.7在等比數(shù)列an中，a13，a48

13、1，若數(shù)列bn滿足bnlog3an，則數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn_.答案解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則q327，解得q3.所以ana1qn13×3n13n，故bnlog3ann，所以.則數(shù)列的前n項(xiàng)和為11.8對(duì)于數(shù)列an，定義數(shù)列an1an為數(shù)列an的“差數(shù)列”，若a11.an的“差數(shù)列”的通項(xiàng)公式為an1an2n，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn_.答案2n1n2解析因?yàn)閍n1an2n，應(yīng)用累加法可得an2n1，所以Sna1a2a3an222232nnn2n1n2.9定義：若數(shù)列An滿足An1A，則稱數(shù)列An為“平方遞推數(shù)列”已知數(shù)列an中，a12，點(diǎn)(an，an1)在函數(shù)f(x)2x22x的

14、圖象上，其中n為正整數(shù)(1)證明：數(shù)列2an1是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列l(wèi)g(2an1)為等比數(shù)列；(2)設(shè)(1)中“平方遞推數(shù)列”的前n項(xiàng)之積為Tn，即Tn(2a11)·(2a21)··(2an1)，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式及Tn關(guān)于n的表達(dá)式(1)證明由題意得an12a2an，得2an114a4an1(2an1)2.所以數(shù)列2an1是“平方遞推數(shù)列”令cn2an1，所以lg cn12lg cn.因?yàn)閘g(2a11)lg 50，所以2.所以數(shù)列l(wèi)g(2an1)為等比數(shù)列(2)解因?yàn)閘g(2a11)lg 5，所以lg(2an1)2n1·lg 5，所以2an1

15、52n1，即an(52n11)因?yàn)閘g Tnlg(2a11)lg(2a21)lg(2an1)(2n1)lg 5.所以Tn52n1.10(2014·湖南)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn，nN*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn2an(1)nan，求數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和解(1)當(dāng)n1時(shí)，a1S11；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1n.故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann.(2)由(1)知ann，故bn2n(1)nn.記數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和為T2n，則T2n(212222n)(12342n)記A212222n，B12342n，則A22n12.B(12)(34)(2n1)2nn，故數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和T2nAB22n1n2.11(2014·課標(biāo)全國(guó))已知數(shù)列an滿足a11，an13an1.(1)證明an是等比數(shù)列，并求an的通項(xiàng)公式；(2)證明<.證明(1)由an13an1得an13(an)又a1，所以an是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列an，因此an的通項(xiàng)公式為an.(2)由(1)知.因?yàn)楫?dāng)n1時(shí)，3n12×3n1，所以.于是1(1)<.所以<.12(2014·山東