2015屆高考數(shù)學(xué)（四川專用理科）必考題型過關(guān)練：第32練（含答案）

1、第32練與直線和圓有關(guān)的最值問題題型一有關(guān)定直線、定圓的最值問題例1已知x，y滿足x2y50，則(x1)2(y1)2的最小值為()A. B. C. D.破題切入點直接用幾何意義距離的平方來解決，另外還可以將x2y50改寫成x52y，利用二次函數(shù)法來解決答案A解析方法一(x1)2(y1)2表示點P(x，y)到點Q(1,1)的距離的平方由已知可知點P在直線l：x2y50上，所以|PQ|的最小值為點Q到直線l的距離，即d，所以(x1)2(y1)2的最小值為d2.故選A.方法二由x2y50，得x52y，代入(x1)2(y1)2并整理可得(52y1)2(y1)24(y2)2(y1)25y218y175(

2、y)2，所以可得最小值為.題型二有關(guān)動點、動直線、動圓的最值問題例2直線l過點P(1,4)，分別交x軸的正方向和y軸的正方向于A、B兩點當(dāng)|OA|OB|最小時，O為坐標(biāo)原點，求l的方程破題切入點設(shè)出直線方程，將|OA|OB|表示出來，利用基本不等式求最值解依題意，l的斜率存在，且斜率為負(fù)，設(shè)直線l的斜率為k，則y4k(x1)(k<0)令y0，可得A(1，0)；令x0，可得B(0,4k)|OA|OB|(1)(4k)5(k)- 1 - / 125(k)549.所以，當(dāng)且僅當(dāng)k且k<0，即k2時，|OA|OB|取最小值這時l的方程為2xy60.題型三綜合性問題(1)圓中有關(guān)元素的最值問題

3、例3由直線yx2上的點P向圓C：(x4)2(y2)21引切線PT(T為切點)，當(dāng)|PT|最小時，點P的坐標(biāo)是()A(1,1) B(0,2)C(2,0) D(1,3)破題切入點將|PT|表示出來，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化答案B解析根據(jù)切線段長、圓的半徑和圓心到點P的距離的關(guān)系，可知|PT|，故|PT|最小時，即|PC|最小，此時PC垂直于直線yx2，則直線PC的方程為y2(x4)，即yx2，聯(lián)立方程解得點P的坐標(biāo)為(0,2)(2)與其他知識相結(jié)合的范圍問題例4已知直線xyk0(k>0)與圓x2y24交于不同的兩點A，B，O是坐標(biāo)原點，且有|，那么k的取值范圍是()A(，) B，)C，2)

4、D，2)破題切入點結(jié)合圖形分類討論答案C解析當(dāng)|時，O，A，B三點為等腰三角形的三個頂點，其中OAOB，AOB120°，從而圓心O到直線xyk0(k>0)的距離為1，此時k；當(dāng)k>時，|>|，又直線與圓x2y24存在兩交點，故k<2，綜上，k的取值范圍是，2)，故選C.總結(jié)提高(1)主要類型：圓外一點與圓上任一點間距離的最值直線與圓相離，圓上的點到直線的距離的最值過圓內(nèi)一定點的直線被圓截得的弦長的最值直線與圓相離，過直線上一點作圓的切線，切線段長的最小值問題兩圓相離，兩圓上點的距離的最值已知圓上的動點Q(x，y)，求與點Q的坐標(biāo)有關(guān)的式子的最值，如求axby，

5、等的最值，轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系(2)解題思路：數(shù)形結(jié)合法：一般結(jié)合待求距離或式子的幾何意義，數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為直線與直線或直線與圓的位置關(guān)系求解函數(shù)法：引入變量構(gòu)建函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解(3)注意事項：準(zhǔn)確理解待求量的幾何意義，準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化為直線與直線或直線與圓的相應(yīng)的位置關(guān)系；涉及切線段長的最值時，要注意切線，圓心與切點的連線及圓心與切線段另一端點的連線組成一個直角三角形1若動點A，B分別在直線l1：xy70和l2：xy50上移動，則AB的中點M到原點的距離的最小值為()A3 B2 C3 D4答案A解析依題意知，AB的中點M的集合是與直線l1：xy70和l2：xy50距離都相等的直線，則M到

6、原點的距離的最小值為原點到該直線的距離設(shè)點M所在直線的方程為l：xym0，根據(jù)平行線間的距離公式得|m7|m5|m6，即l：xy60，根據(jù)點到直線的距離公式，得M到原點的距離的最小值為3.2已知點M是直線3x4y20上的動點，點N為圓(x1)2(y1)21上的動點，則|MN|的最小值是()A. B1 C. D.答案C解析圓心(1，1)到點M的距離的最小值為點(1，1)到直線的距離d，故點N到點M的距離的最小值為d1.3(2014·成都模擬)已知P是直線l：3x4y110上的動點，PA，PB是圓x2y22x2y10的兩條切線，C是圓心，那么四邊形PACB面積的最小值是()A. B2 C

7、. D2答案C解析如圖所示，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y1)21，圓心為C(1,1)，半徑為r1.根據(jù)對稱性可知四邊形PACB面積等于2SAPC2×|PA|r|PA|，故|PA|最小時，四邊形PACB的面積最小，由于|PA|，故|PC|最小時，|PA|最小，此時，直線CP垂直于直線l：3x4y110，故|PC|的最小值為圓心C到直線l：3x4y110的距離d2，所以|PA|.故四邊形PACB面積的最小值為.4(2013·江西)過點(，0)引直線l與曲線y相交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點，當(dāng)AOB的面積取最大值時，直線l的斜率等于()A. B C± D答案B解析SAO

8、B|OA|OB|sinAOBsinAOB.當(dāng)AOB時，SAOB面積最大此時O到AB的距離d.設(shè)AB方程為yk(x)(k<0)，即kxyk0.由d，得k.5過點P(1,1)的直線，將圓形區(qū)域(x，y)|x2y24分為兩部分，使得這兩部分的面積之差最大，則該直線的方程為()Axy20 By10Cxy0 Dx3y40答案A解析由題意知，當(dāng)圓心與P的連線和過點P的直線垂直時，符合條件圓心O與P點連線的斜率k1，所以直線OP垂直于xy20，故選A.6(2014·雅安模擬)已知，直線ymx2m和曲線y有兩個不同的交點，它們圍成的平面區(qū)域為M，向區(qū)域上隨機投一點A，點A落在區(qū)域M內(nèi)的概率為P

9、(M)，若P(M)，則實數(shù)m的取值范圍是()A. B. C. D0,1答案D解析畫出圖形，不難發(fā)現(xiàn)直線恒過定點(2,0)，圓是上半圓，直線過(2,0)，(0,2)時，向區(qū)域上隨機投一點A，點A落在區(qū)域M內(nèi)的概率為P(M)，此時P(M)，當(dāng)直線與x軸重合時，P(M)1，故直線的斜率范圍是0,17在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2y28x150，若直線ykx2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則k的最大值是_答案解析可轉(zhuǎn)化為圓C的圓心到直線ykx2的距離不大于2.圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x4)2y21，圓心為(4,0)由題意知(4,0)到kxy20的距離應(yīng)不大于2，即

10、2.整理，得3k24k0，解得0k.故k的最大值是.8直線l過點(0，4)，從直線l上的一點P作圓C：x2y22y0的切線PA，PB(A，B為切點)，若四邊形PACB面積的最小值為2，則直線l的斜率k為_答案±2解析易知圓的半徑為1，因為四邊形PACB的最小面積是2，此時切線段長為2，圓心(0,1)到直線ykx4的距離為，即，解得k±2.9若直線axby1過點A(b，a)，則以坐標(biāo)原點O為圓心，OA長為半徑的圓的面積的最小值是_答案解析直線axby1過點A(b，a)，abab1.ab.又OA，以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓的面積為S·OA2(a2b2)2ab·

11、;，面積的最小值為.10與直線xy40和圓A：x2y22x2y0都相切的半徑最小的圓C的方程是_答案(x1)2(y1)22解析易知所求圓C的圓心在直線yx上，故設(shè)其坐標(biāo)為C(c，c)，又其直徑為圓A的圓心A(1,1)到直線xy40的距離減去圓A的半徑，即2r2r，即圓心C到直線xy40的距離等于，故有c3或c1，結(jié)合圖形當(dāng)c3時圓C在直線xy40下方，不符合題意，故所求圓的方程為(x1)2(y1)22.11已知點P(x，y)是圓(x2)2y21上任意一點(1)求點P到直線3x4y120的距離的最大值和最小值；(2)求的最大值和最小值解(1)圓心C(2,0)到直線3x4y120的距離為d.所以點

12、P到直線3x4y120的距離的最大值為dr1，最小值為dr1.(2)設(shè)k，則直線kxyk20與圓(x2)2y21有公共點，1，k，kmax，kmin.即的最大值為，最小值為.12已知圓M的方程為x2y22x2y60，以坐標(biāo)原點O為圓心的圓O與圓M相切(1)求圓O的方程；(2)圓O與x軸交于E，F(xiàn)兩點，圓O內(nèi)的動點D使得|DE|，|DO|，|DF|成等比數(shù)列，求·的取值范圍解(1)圓M的方程可整理為(x1)2(y1)28，故圓心M(1,1)，半徑R2.圓O的圓心為O(0,0)，因為|MO|<2，所以點O在圓M內(nèi)，故圓O只能內(nèi)切于圓M.設(shè)圓O的半徑為r，因為圓O內(nèi)切于圓M，所以|MO|Rr，即2r，解得r.所以圓O的方程為x2y22.(2)不妨設(shè)E(m,0)，F(xiàn)(n,0)，且m&