復(fù)變函數(shù)1-2 復(fù)平面點集

1、第二節(jié) 復(fù)平面上的點集1.2.1 復(fù)平面點集的幾個基本概念復(fù)平面點集的幾個基本概念1.2.2 區(qū)域區(qū)域與約當(dāng)與約當(dāng)(Jordan)曲線曲線1.2.3 典型例題典型例題1.2.4 小結(jié)與思考小結(jié)與思考21.2.1 復(fù)平面點集的幾個基本概念復(fù)平面點集的幾個基本概念定義定義1.1 鄰域鄰域:. : )( , 的的鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)部部的的點點的的集集合合稱稱為為的的圓圓為為半半徑徑任任意意的的正正數(shù)數(shù)為為中中心心平平面面上上以以000zzzz 記作記作:N (z0)N (z0)=z | |z-z0| . 0 00的的去去心心鄰鄰域域確確定定的的點點的的集集合合為為所所稱稱由由不不等等式式zzz 記作：記作

2、：N 0(z0)=z | 0|z-z0|0: N (z0)E=z0z0為為E的外點的外點 0: N (z0)E= 所成的集合稱為所成的集合稱為E的導(dǎo)集的導(dǎo)集 ，用，用E 表示表示4定義定義1.3 內(nèi)點內(nèi)點:. , , . , 000的的內(nèi)內(nèi)點點稱稱為為那那末末于于該該鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)的的所所有有點點都都屬屬的的一一個個鄰鄰域域存存在在如如果果中中任任意意一一點點為為為為一一平平面面點點集集設(shè)設(shè)EzEzEzE 如果如果 E 內(nèi)每一點都是它的內(nèi)點內(nèi)每一點都是它的內(nèi)點, ,那末那末E 稱為開集稱為開集. .如果在如果在z0的任意一個鄰域內(nèi)的任意一個鄰域內(nèi),都有都有屬于屬于 E 的點的點,也有也有不屬于不

3、屬于E的點的點,則稱則稱z0為為E的邊界點。的邊界點。z0為為E的內(nèi)點的內(nèi)點 0: N (z0)E點集點集E E的全體邊界組成的集合稱為的全體邊界組成的集合稱為E E的邊界的邊界. .記為：記為： E E5定義定義1.4 有界集和無界集有界集和無界集:. , , 0, , 否否則則稱稱為為無無界界的的稱稱為為有有界界的的那那末末足足使使區(qū)區(qū)域域的的每每一一個個點點都都滿滿即即存存在在心心的的圓圓里里面面點點為為中中可可以以被被包包含含在在一一個個以以原原如如果果一一個個EMzME 點集z zxy有界！有界！o為為E的的全部內(nèi)點組成的集合全部內(nèi)點組成的集合，稱為，稱為E的內(nèi)部的內(nèi)部E如果如果EE

4、，即，即E的全部聚點的全部聚點都屬于都屬于E,則稱則稱E為閉集為閉集6定義定義1.5 區(qū)域區(qū)域: 如果平面點集如果平面點集D滿足以下兩個條件滿足以下兩個條件, ,則稱則稱它為一個區(qū)域它為一個區(qū)域. .(1) D是一個是一個開集開集；(2) D是是連通的連通的, ,就是說就是說D中任何中任何兩點都可以用完全屬于兩點都可以用完全屬于D的一的一條折線連結(jié)起來條折線連結(jié)起來.1.2.2 區(qū)域與區(qū)域與Jordan曲線曲線D加上加上D的邊界稱為閉域。記為的邊界稱為閉域。記為 DD+ D z1z2D1. 區(qū)域區(qū)域:7說明說明 (2) 區(qū)域的邊界可能是區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立由幾條曲線和一些孤立的

5、點所組成的的點所組成的.z 1C2C3Cz 1C2C3C (1) 區(qū)域都是開的區(qū)域都是開的.以上基以上基本概念本概念的圖示的圖示1z 2z 區(qū)域區(qū)域 0z 鄰域鄰域P 邊界點邊界點邊界邊界不包含邊界！不包含邊界！8(1) 圓環(huán)域圓環(huán)域:;201rzzr 0z 2r1r課堂練習(xí)課堂練習(xí)判斷下列區(qū)域是否有界判斷下列區(qū)域是否有界?(2) 上半平面上半平面:; 0Im z(3) 角形域角形域:;arg0 z(4) 帶形域帶形域:.Imbza 答案答案(1)有界有界; (2) (3) (4)無界無界.xyo92 定義定義1.7 連續(xù)曲線連續(xù)曲線: 如如果果 和和 是是兩兩個個連連續(xù)續(xù)的的實實變變函函數(shù)數(shù)

6、, , 那那末末方方程程組組 , , 代代表表一一條條平平面面曲曲線線, , 稱稱為為連連續(xù)續(xù)曲曲線線. .用用表表示示( )( )( )( ),()x ty txx tyy ttC 平面曲線平面曲線C的復(fù)數(shù)表示的復(fù)數(shù)表示:)().()()( ttiytxtzzC的實參數(shù)方程的實參數(shù)方程C的的復(fù)復(fù)參數(shù)方程參數(shù)方程起點起點z( )C終點終點z( )zxyCC的正向：起點的正向：起點終點終點o10. )( , )()( , , 121212121的的重重點點稱稱為為曲曲線線點點時時而而有有當(dāng)當(dāng)與與的的對對于于滿滿足足Ctztztztttttt 沒有重點的曲線沒有重點的曲線 C 稱為簡單曲稱為簡單曲

7、線線( (或若爾當(dāng)或若爾當(dāng)JordonJordon曲線曲線).).重點重點重點重點重點重點. , )( )( , 為為簡簡單單閉閉曲曲線線那那末末稱稱即即的的起起點點和和終終點點重重合合如如果果簡簡單單曲曲線線CzzC 換句話說換句話說, 簡單曲線自身不相交簡單曲線自身不相交. 簡單曲線是簡單曲線是z平面上的一個有界閉集平面上的一個有界閉集. 11簡單閉曲線的性質(zhì)簡單閉曲線的性質(zhì)Jordon定理定理 任意一條簡單閉曲任意一條簡單閉曲線線 C C 將復(fù)平面唯一地分將復(fù)平面唯一地分成成C C, ,I I( (C C), ),E E( (C C) ) 三個互不相三個互不相交的點集交的點集. .滿足：

8、滿足：xyoI(C)E(C)邊界邊界（1）I I( (C C) ) 是一個有界區(qū)域是一個有界區(qū)域（稱為（稱為C C的內(nèi)部）的內(nèi)部）. .（2）E E( (C C) ) 是一個無界區(qū)域（稱為是一個無界區(qū)域（稱為C C的外部）的外部）. .（3）若簡單折線）若簡單折線P的一個斷點屬于的一個斷點屬于I(C)，另一個，另一個端點屬于端點屬于E(C) ，則，則P必與必與C相交相交. .（4）C是是I(C)，E(C) 的公共邊界的公共邊界. .123. 光滑曲線光滑曲線: 對對簡簡單單曲曲線線 , , 如如果果：:( )( )C zx tiy tt 由有限條光滑曲線段依次相接所組成的曲由有限條光滑曲線段依

9、次相接所組成的曲線稱為按段光滑曲線線稱為按段光滑曲線. .xyoxyo特特點點 （1）光滑曲線上的各點都有切線）光滑曲線上的各點都有切線 （2）光滑曲線可以求長）光滑曲線可以求長1 和和 在在 , , 存存在在；( )( )( )x ty t 2 2 和和 , , ( )( )( )x ty tC 2222(3) 0, , (3) 0, , ( )( )x ty ttC 則則稱稱曲曲線線C C為為光光滑滑( (閉閉) )曲曲線線. .13課堂練習(xí)課堂練習(xí) 判斷下列曲線是否為簡單曲線判斷下列曲線是否為簡單曲線?答答案案簡簡單單閉閉簡簡單單不不閉閉不不簡簡單單閉閉不不簡簡單單不不閉閉 )(az)(

10、bz )(az)(bz )(az)(bz )(az)(bz 144. 單連通域與多連通域的定義單連通域與多連通域的定義: 復(fù)平面上的一個區(qū)域復(fù)平面上的一個區(qū)域D, 如果在其中任作如果在其中任作一條簡單閉曲線一條簡單閉曲線, 而曲線的內(nèi)部總屬于而曲線的內(nèi)部總屬于D, 就稱就稱為單連通域為單連通域. 一個區(qū)域如果不是單連通域一個區(qū)域如果不是單連通域, 就稱就稱為多連通域為多連通域.單連通域單連通域多連通域多連通域有洞有洞的區(qū)的區(qū)域域有洞有洞的區(qū)的區(qū)域域無洞無洞的區(qū)的區(qū)域域15三、典型例題三、典型例題例例1 1 指明下列不等式所確定的區(qū)域指明下列不等式所確定的區(qū)域, 是有界的還是有界的還是無界的是無

11、界的,單連通的還是多連通的單連通的還是多連通的. 111)5(; 411)4(; 31)3(;3arg)2(; 1)Re()1(2 zzzzzzz解解 , )1(時時當(dāng)當(dāng)iyxz ,)Re(222yxz , 11)Re(222 yxz無界的單連通域無界的單連通域(如圖如圖).163arg)2( z,3arg33arg zz是角形域是角形域, 無界的單連通域無界的單連通域(如圖如圖).31)3( z,3131 zz, 31 ,的圓的外部的圓的外部半徑為半徑為是以原點為中心是以原點為中心無界的多連通域無界的多連通域. 17411)4( zz表示到表示到1, 1的距離之的距離之和為定值和為定值4的點

12、的軌跡的點的軌跡, 是橢圓是橢圓,411 zz ,411表示該橢圓內(nèi)部表示該橢圓內(nèi)部 zz有界的單連通域有界的單連通域.18111)5( zz,sincos irrz 令令 111 zz邊邊界界1sin)1cos(sin)1cos(222222 rrrr1)1cos2)(1cos2(22 rrrr1)cos(4)1(222 rr ,2cos2 02 rr或或 , )( 2cos22也稱雙紐線也稱雙紐線是雙葉玫瑰線是雙葉玫瑰線 r ,111是其內(nèi)部是其內(nèi)部 zz有界的單連通域有界的單連通域.19例例2 2解解 滿足下列條件的點集是什么滿足下列條件的點集是什么, 如果是區(qū)域如果是區(qū)域, 指出是單連

13、通域還是多連通域指出是單連通域還是多連通域?, 3Im)1( z是一條平行于實軸的直線是一條平行于實軸的直線, -3-2-1123x123456y不是區(qū)域不是區(qū)域., 2Re)2( z), 2Re ( 2Re zz不包括直線不包括直線為左界的半平面為左界的半平面以以單連通域單連通域.20, 210)3( iz, 2 , )1( 的去心圓盤的去心圓盤為半徑為半徑為圓心為圓心以以i 是多連通域是多連通域.,4)arg()4( iz), ( 1 , ii不不包包括括端端點點的的半半射射線線斜斜率率為為為為端端點點以以不是區(qū)域不是區(qū)域.21,4arg0)5( iziz , 時時當(dāng)當(dāng)iyxz iziz ,)1(2)1(1222222 yxxiyxyx 4arg0 知知由由 iziz0,)1(12222 yxyx0,)1(222 yxx22, 0)1( 22 yx因因為為 , 12, 01, 02 2222yxxyxx于于是是 . 2)1(, 1, 0 222