自動控制原理線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合習(xí)題及解答

1、第八章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合習(xí)題及解答8-1 已知電樞控制的直流伺服電機(jī)的微分方程組及傳遞函數(shù) + 設(shè)狀態(tài)變量，及輸出量，試建立其動態(tài)方程;設(shè)狀態(tài)變量及 ,試建立其動態(tài)方程。解：（1）由題意可知： ，由已知 可推導(dǎo)出 由上式，可列動態(tài)方程如下+ y =（2）由題意可知：可推導(dǎo)出 可列動態(tài)方程如下由 和 得 由上式可得變換矩陣為 8-2 設(shè)系統(tǒng)微分方程為 。式中，u和y分別為系統(tǒng)輸入和輸出量。試列寫可控標(biāo)準(zhǔn)型（即矩陣A為友矩陣）及可觀測標(biāo)準(zhǔn)型(即矩陣A為友矩陣轉(zhuǎn)置)狀態(tài)空間表達(dá)式，并畫出狀態(tài)變量圖。解： 由題意可得： 可控標(biāo)準(zhǔn)型 狀態(tài)變量圖如下： 由方程得可觀測標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)變量圖如下：8-

2、3 已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖8-29所示，其狀態(tài)變量為。試求動態(tài)方程，并畫出狀態(tài)變量圖。 由結(jié)構(gòu)圖可得 由上述三式，可列動態(tài)方程如下： 狀態(tài)變量圖如下：8-4 已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為，試求可控標(biāo)準(zhǔn)型，可觀測標(biāo)準(zhǔn)型，對角型動態(tài)方程，并畫出狀態(tài)變量圖。解： (1) 可控標(biāo)準(zhǔn)型（2）可觀測標(biāo)準(zhǔn)型（3）由上式可得對角型 8-5 已知系統(tǒng)傳遞函數(shù) ，試求約當(dāng)型動態(tài)方程，并畫出狀態(tài)變量圖。解：由上式，可得約當(dāng)型動態(tài)方程8-6 已知雙輸入雙輸出系統(tǒng)狀態(tài)方程和輸出方程分別為 寫出矩陣形式的動態(tài)方程，并畫出狀態(tài)變量圖解： 由題中給定方程可列寫出動態(tài)方程狀態(tài)變量圖如下8-7 已知系統(tǒng)動態(tài)方程為 ，試求傳遞函數(shù)G(s)解：

3、=8-8 已知系統(tǒng)矩陣A=，至少用兩種方法求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。解：（1）級數(shù)法：+ = =(2) 拉氏變換法 8-9 已知系統(tǒng)，和 判斷是否是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。若是，則確定系統(tǒng)的狀態(tài)陣A；如果不是，請說明理由。 解：轉(zhuǎn)移矩陣應(yīng)滿足： 假設(shè)，為轉(zhuǎn)移矩陣則 A1= A2= 則 A1= A2=A2所以不是轉(zhuǎn)移矩陣，是轉(zhuǎn)移矩陣，其狀態(tài)陣為。8-10 試求下列狀態(tài)方程的解 的解解：由題意可得： 8-11 已知系統(tǒng)狀態(tài)方程為，初始條件為。試求系統(tǒng)在單位階躍輸入作用下的響應(yīng)。解： 此題為求非奇次狀態(tài)方程的解，對于非奇次狀態(tài)方程。8-12 已知差分方程，并且y(0)=0,y(1)=1,試列寫可控標(biāo)準(zhǔn)型離散動態(tài)方程，并

4、求出時的系統(tǒng)響應(yīng)。解： 由差分方程可得離散動態(tài)方程如下：8-13 已知連續(xù)系統(tǒng)的動態(tài)方程為設(shè)采樣周期，試求離散化動態(tài)方程。解： =8-14 試用李雅普諾夫第二法判斷平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解：平衡點(diǎn)：構(gòu)造 則 = =判定性質(zhì)： 負(fù)定，因此平衡狀態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的8-15 已知系統(tǒng)狀態(tài)方程為 ，當(dāng)Q = I時，矩陣P的值；若選Q為正半定矩陣，求對應(yīng)的P矩陣的值，并判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：令：= 解得： 古氏行列式： 因此不定。選 則 ， 為負(fù)半定。由等式 解得： 正半定。判定系統(tǒng)穩(wěn)定性： 三個特征值分別為：。因此系統(tǒng)不穩(wěn)定。 8-16 設(shè)線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程為，試求使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的k 值范圍。解

5、： 令 即 解得： 若要滿足題意，需令 。因此，漸近穩(wěn)定的條件為：。8-17 試判斷下列系統(tǒng)的狀態(tài)可控性。(1) (2) (3) (4) (5) (6) 解：（1） 該系統(tǒng)不可控（2） 該系統(tǒng)不可控。（3） 該系統(tǒng)可控。（4） 該系統(tǒng)不可控。（5） 解： 矩陣不滿秩，該系統(tǒng)不可控。（6） 解：矩陣不滿秩，該系統(tǒng)不可控。8-18 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為，并設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)可控，試求。解：令時，即可滿足可控性條件。8-19 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為 ，并設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)可控、可觀測，試求值。解： 采用可控標(biāo)準(zhǔn)型，不論為何值，系統(tǒng)總可控。 在任意三階實(shí)現(xiàn)情況下可控，則。8-20 試判斷下列系統(tǒng)的可觀測性：(1) (2) (3

6、) (4) 解：（1） 該系統(tǒng)可觀。（2） 該系統(tǒng)可觀。（3） 該形式為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型，直接判定，該系統(tǒng)可觀。（4） 該形式為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型， 直接判定，該系統(tǒng)不可觀。8-21 試確定使系統(tǒng)可觀測的。解： 時，于是系統(tǒng)可觀。8-22 已知系統(tǒng)動態(tài)方程各矩陣為 ， 試用傳遞矩陣判斷系統(tǒng)的可控性和可觀測性。解： 判斷可控性：令 所以 中三行向量線性無關(guān)，因此該系統(tǒng)可控。判斷可觀性： =令 解得 。所以，中三行向量線性無關(guān)，因此該系統(tǒng)可觀測。8-23 已知矩陣 ，試求A 的特征方程,特征值和特征向量,并求出變換矩陣，將A 約當(dāng)化。解：（1） （2） （3） 對角化變換矩陣 所以 可使對角化8-24 將狀態(tài)方

7、程 化為可控標(biāo)準(zhǔn)型。 解： 所以，可控，可化為可控標(biāo)準(zhǔn)型。 取 則 驗(yàn)證： 驗(yàn)證完畢。故可控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)對應(yīng)的陣為： 8-25 已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為，試寫出系統(tǒng)可控、不可觀測，可觀測，不可控，不可控、不可觀測的動態(tài)方程。解： 傳遞函數(shù)有零極點(diǎn)對消，因此不可控或不可觀。 可控、不可觀方程： 可觀測、不可控方程： 不可控、不可觀測方程： 8-26 已知系統(tǒng)動態(tài)方程各矩陣為： 試求可控子系統(tǒng)與不可控子系統(tǒng)的動態(tài)方程。解：所以，可控子系統(tǒng)為： 不可控子系統(tǒng)為： 8-27 系統(tǒng)各矩陣同題8-26，試求可觀測子系統(tǒng)與不可觀測子系統(tǒng)的動態(tài)方程。解：利用9-27的對偶關(guān)系實(shí)現(xiàn)： 可觀子系統(tǒng)：不可觀子系統(tǒng)：8-28

8、 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為 。說明可否用狀態(tài)反饋任意配置閉環(huán)極點(diǎn)，若可以，求狀態(tài)反饋矩陣，使閉環(huán)極點(diǎn)位于，并畫出狀態(tài)變量圖。解：8-29 設(shè)系統(tǒng)動態(tài)方程為 ，試設(shè)計(jì)全維狀態(tài)觀測器，使其極點(diǎn)位于，并畫出狀態(tài)變量圖。解： 可觀，可設(shè)計(jì)全維狀態(tài)觀測器。觀測器系統(tǒng)陣： 令 解得：8-30 設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 ，判斷能否利用狀態(tài)反饋矩陣將傳遞函數(shù)變成，若有可能，求出一個滿足的狀態(tài)反饋陣，并畫出狀態(tài)變量圖。提示：狀態(tài)反饋不改變傳遞函數(shù)的零點(diǎn)。解： 能。 上式無零極點(diǎn)對消，因此可控，可任意配置極點(diǎn)。用可控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)： 其中： 為使傳遞函數(shù)變?yōu)?，需配置極點(diǎn)，使得 令： 解得： 配置極點(diǎn)后出現(xiàn)零極點(diǎn)對消，系統(tǒng)不可觀。但傳遞函數(shù)只描述外部特性，故可達(dá)到目的。8-31 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為： 試判別系統(tǒng)可控性和可觀測性；求輸出至輸入的反饋矩陣，使閉環(huán)極點(diǎn)位于-0.57，并畫出狀態(tài)變量圖。解： = ， 系統(tǒng)可控 ， 系統(tǒng)可觀測。 令：即：解得： 8-32 已知系統(tǒng)動態(tài)方程各矩陣為 試判別系