因式分解難題解析

1、因式分解難題解析詹碼論壇站長(zhǎng)在因式分解時(shí)，有時(shí)會(huì)用到以下兩個(gè)公式：n nn-1 n-2n-2n-1 、a -b =(a-b)(a +a b+ +ab +b )am +bm=(a+b)(am-1-am-2b+ -bm-2a+bm-1)(m 為奇數(shù))下面精選了十個(gè)實(shí)例進(jìn)行講解。32222201 x -xy +xz-xz -2xyz+y z+yz分析：一眼就可看出，這是3次的齊次多項(xiàng)式。一般選中一個(gè)未知數(shù)作為主元，統(tǒng)帥其他未知數(shù)，主元應(yīng)按降序排列并分組。322222x -xy +x z-xz -2xyz+y z+yz322222=x -xy -xz +yz +x z-2xyz+y z2 2 2 2

2、2=x(x -y )-z (x-y)+z(x -2xy+y )=x(x-y)(x+y)-z2(x-y)+z(x-y)2=(x-y)(x 2+xy-z 2+zx-zy)此題若不進(jìn)行科學(xué)分組會(huì)很困難。02 x2 2xy-8y2 2x 14y-3分析：此題一看就應(yīng)該知道用雙十字相乘法分解。解：x y常數(shù)項(xiàng)14 -11-232 2x 2xy-8y 2x 14y-3=(x+4y-1)(x-2y+3)注意：先看前三項(xiàng)，是否與x、y兩列相配，再看常數(shù)項(xiàng)是否與數(shù)字相配，然后 再看x、常數(shù)項(xiàng)是否與x的系數(shù)相配，最后看y、常數(shù)項(xiàng)是否與y的系數(shù)相配。作業(yè)： a3bab3 a2 b2 1提示：先分組再變形最后用十字相

3、乘法。原式 =ab(a -b ) (a b )1 = ab(a b)(a -b) (a b )1222229二(a -ab)(ab b ) (a b ) 1 = (aab 1)(ab b 1)難度較大。 xy y2 x _ y _ 2提示：x2的系數(shù)看成0,然后再用雙十字相乘法。xy11 2011原式=(x + y 2) (y + 1)也可用分組法，以x為主元。03 bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)分析：這個(gè)題目一看，映入眼簾的就是 3個(gè)括號(hào)。瞧瞧括號(hào)里的b+c 、c-a 、a+b，看看這3項(xiàng)是否有某種聯(lián)系 前兩項(xiàng)相加得不出 第3項(xiàng)，但我們發(fā)現(xiàn)，后2項(xiàng)相加正好等于第1項(xiàng)。所以，這

4、個(gè)題目中的第1項(xiàng)如果分成兩部分，一部分配給第2項(xiàng)，一部分配給第3項(xiàng)會(huì)是不壞的注意。解: bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b )+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)作業(yè)： x335x642 x 51x 1432 x 2 x x 3提示：需要拆分分組。04 2X47x - 2x213x6分析：拿到這道題，一看便知，這是高次，且包含多項(xiàng)的多項(xiàng)式。另外，還看到7、-13、6有著某種關(guān)系，所以不妨把它們按此發(fā)現(xiàn)分組。這樣就有（2x

5、4-2x2） +（ 7x3-13x+6）不難把13x分成7x和6x，配給7x3和6。這樣，接著 2x2（x2-1）+7x（x2-1）-6（x-1）至此對(duì)后的分解就不在話下了。對(duì)于這道題，細(xì)心的人也會(huì)發(fā)現(xiàn)，各項(xiàng)系數(shù)和為 0，這意味著x=1是它的根，根 據(jù)因式定理，就知道x-1是多項(xiàng)式的一個(gè)因子，然后，怎么分組都行，只要按照 x-1的思路。作業(yè)：x3 +2x 2 -5x-6提示：當(dāng)偶次項(xiàng)的系數(shù)和（2+（-6） =-4）等于奇次項(xiàng)系數(shù)和（1+（-5） =-4）時(shí), 就有-1這個(gè)根。也就是說(shuō)，x+1是多項(xiàng)式的一個(gè)因式。05 2 x4X36x2X 2分析：拿到這個(gè)題目，一看就覺(jué)得有某種對(duì)稱(chēng)關(guān)系：2x4與

6、2，-x3與-x，系數(shù)分別相等。顯然，應(yīng)該把它們分別結(jié)合，然后再考察。解：2xJ x 6x2 x 2=(2x4 2) ( x' x) 6x2=2(x4 1)- x(x2 1) - 6x2到了這里，似乎走進(jìn)了死胡同。不用急，你再仔細(xì)看看，就會(huì)發(fā)現(xiàn) x4+1與x2+1 長(zhǎng)得挺像，一定有某種因緣。令y = x2 1,所以有 x4+1=y2-2x24這里采用換元法，x2+1看成y。原式=2y2 -xy-10x2 =( 2y 5x)(y 2x)(2x2 5x 2)(x2 2x 1)(2x 1)(x2 )(x1)2對(duì)于這種對(duì)稱(chēng)式多項(xiàng)式，為了看起來(lái)更明顯，也可以用倒數(shù)換元法，即直接提取 一個(gè)最高項(xiàng)的

7、次方的一半：2 x4x36 x2x 212x2 (2x2 x 62)x x21x2 (2x2 + T) (x )6xx然后令x1 y，那么 x22= y22xx原式=x2 (2y2y10)=x2 (2y5)(y2)2i=x2 (2x5)(x2)xx=(2x25x2)(x2 2x 1)=(2x1)(x 2 )(x 1)2作業(yè)： (a2 a 1)(a26a1)12a2提示：看這個(gè)多項(xiàng)式有什么特點(diǎn)，然后利用這個(gè)特點(diǎn)就可找到路徑。2 2 (x5x4)(xx 2) 72提示：以上要先進(jìn)行適當(dāng)變形后，才能進(jìn)行換元。 (x+y)(x+y+2xy)+(xy+1)(xy-1)提示：一看便知，這是一個(gè)很有特色的式

8、子。除了常數(shù)項(xiàng)，就只剩下x+y和xy。很容易想到，對(duì)它們工作應(yīng)該有效。06 (ab+bc+ca)(a+b+c)-abc分析：這是一個(gè)輪換對(duì)稱(chēng)式，將a換成b，b換成c，c換成a，結(jié)果一樣。這樣的題目，一般有(a+b)、(b+c)、(c+a)因式，但并不確定。可以用a+b=0代入多項(xiàng)式中，如果等于0,則有這個(gè)因式。令 a+b=O, (ab+bc+ca)(a+b+c)-abc=(ab+c(b+a)(a+b+c)-abc=(ab)c-abc=0因此 a+b=O是其一個(gè)因式。.同理，b+c、c+a也都是因式，三者的次數(shù)也正好是3次，不會(huì)有其他因式了。解：a+b=O，(ab+bc+ca)(a+b+c)-a

9、bc=(ab+c(b+a)(a+b+c)-abc=(ab)c-abc=O.由此可見(jiàn)，a+b是多項(xiàng)式的一個(gè)因式。同理可知，b+c、c+a都是它的一個(gè)因式。令(ab+bc+ca)(a+b+c)-abc=k(a+b)(b+c)(c+a)令 a=0，b=1，c=2，則得 k=1這道題也可以用主元法，一堆字母組成的多項(xiàng)式，一般都可以用。以某一個(gè)字母為主，其他為輔，按主字母的降序重新排列多項(xiàng)式。(ab+bc+ca)(a+b+c)-abc(假設(shè)以 a 為主元)=a(b+c)+bc a+(b+c)-abc22=(b+c)a +(b+c) a+bc(b+c) (以 a 的降序排列)2=(b+c)(a +(b+c

10、)a+bc)=(b+c)(a+b)(a+c)作業(yè)： X4+(x+y)4+y4提示：這種輪換對(duì)稱(chēng)，一般與 x+y、xy有關(guān)。因此可以分組成x4+(x+y)4+y4,4 4、/、4廠4 4=/2 2、 22 2222 2=(x +y )+(x+y)，又 x +y( x +y) -2 x y =( x+y) -2xy -2 x y。2224 16y+2x (y+1) +(y-1) x (1+y)2-2x2(1+y2)+x4 (1-y)2 6y3+15z3-37y2z+32yz2提示：按主元降序排列成 6y3-37y2z+32yz2+15z3,就遇到了如何處理 37y2z的問(wèn) 題，如何把它拆開(kāi)，使它一

11、部分同 6y3，另一部分同15z3+32yz2在一起這是要研 究的。假設(shè)是Ky2z、Ly2z?，F(xiàn)在考察Ly2z+32yz2+15z3，不妨假設(shè)L分解成m、n，并提 取負(fù)號(hào)，根據(jù)十字相乘法的原理，則有Ly2z+32yz2+15z3=z(my-5z)(ny+3z)，-5n+3m=-32,n=(32+3m)/5=6+(2+3m)/5，顯然，m=1 或 6 或 11，n 才有整數(shù)解， 假設(shè)m=1，則n=7, L=-mn=-7，也就是將-37y2z拆成-7y2z和-30y2z兩部分，分成兩組，前后 都可以分解，然后提取公因式。這里用了待定系數(shù)法。拆項(xiàng)時(shí)的以上運(yùn)算可以在稿紙中進(jìn)行，無(wú)需寫(xiě)入試卷。答案是(2

12、y-3z)(y-5z)(3y+z)。此題為競(jìng)賽級(jí)別的題目。 2a26b212c25d2nab-2ac-3ad+17bc-13bd+19cd-3a+22b-31c+25d-20主元法是數(shù)學(xué)競(jìng)賽中常用的方法。該題為競(jìng)賽題目。答案是：(2a-3b+4c-5d+5)(a+2b-3c+d-4>07 a2(b c)b2(c a)c2(ab)分析：不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a= b時(shí)，原式二0，故可斷定a b是原式的一個(gè)因式，同理，b c、c a也是原式的因式?？稍O(shè)原式=k(a-b)(b-c)(c-a)再令 a = 0， b = 1， c =一 1 代入上式，得-2=2k， k= 1故原式=-(a-b)(b-c)(

13、c-a)。此題用拆項(xiàng)法或主元法也都很方便。作業(yè)：a3 (b-c)+b3 (c-a)+c3(a-b)提示：還有一個(gè)因式是(a+b+c)，如果不知道，用拆項(xiàng)法也方便。3 208 x 9x23x15分析：一看就知道有-1根，因?yàn)閄3與23x,9x2與15,它們的系數(shù)和等于24，必含有(x+1)的因式，因此很容易把X9 x223x 15分組為3 2 2(X3X2)+ (8x223x15)。當(dāng)然，本題也可以用待定系數(shù)法確定 9x2如何拆。09 x4x35x26x 4分析：嘗試一下1、2都不是該多項(xiàng)式的根，這時(shí)我們會(huì)想到，它可能沒(méi)有一次因式。 這時(shí)可用待定系數(shù)法，按兩次因式*兩次因式的方式來(lái)求系數(shù)，即使每

14、個(gè)兩次因 式還能繼續(xù)分解為一次因式，也沒(méi)有關(guān)系。我們一眼看上去就知道，-5x2聯(lián)系著前后兩個(gè)組，能夠把它分解好了，往后就迎 刃而解了。分組法 也是 可行的。解一：43243 . 2,243 .2“2,令 x -x -5x -6x-4= x -x -Kx -L x -6x-4= x -x -Kx -(L x +6x+4)= x4-x3-Kx2-(mx+4)( nx+1)根據(jù)十字相乘法的原理：4n+m=6，n=(6-m)/4=1+(2-m)/4 ，m可取2、6、10等。 假如m=2，則n=1，L=mn=2，K=-3。我們可以試試是否成功。x4-x3-5x2-6x-4= x 4-x3-3x2-2x2

15、-6x-44322=x4-(x3-3x2)-(2x2+6x+4)42=x -(x+3)x -(2x+4)(x+1)=x2-(2x+4)x 2+(x+1)(十字相乘法)2 2=(x -2x-4)(x +x+1)這種方法，有點(diǎn)運(yùn)氣在里面，如果把常數(shù)項(xiàng)4分解為2*2則達(dá)不到目的。再回頭 用1*4表示時(shí)會(huì)浪費(fèi)了不少時(shí)間。解二：2 2設(shè)原式=(xax b)(x ex d)432整理后得=x(a e)x (ae b d)x (ad be)x bd所以 有 a+c=-1,ac+b+d=-5,ad+bc=-6,bd=-4 ，解得 a=1,b=1,c=-2,d=-4。43222則 x - x - 5 x - 6

16、 x - 4 = (x x 1)(x- 2 x - 4)這道題難度較大。10 x12+x9+x6+x3+1分析：對(duì)于類(lèi)似這樣的多項(xiàng)式的分解，可利用乘法公式，將之乘以一個(gè)因式，同時(shí)除以 一個(gè)因式，然后，借助乘法公式來(lái)解決問(wèn)題。 巧用除法法，這是一種特殊方法， 引用了高中的等比數(shù)列求和，在初中的考試中一般不會(huì)出現(xiàn)，但在競(jìng)賽中則有可 能。X151(x51)(x 竹X51)原式=32x1 (x1)(xx 1)43287543=(x x x x 1)(x- x x - x x - x 1)把x3看成y就變成了 y°+y3+y2+y+1，這就預(yù)示著可能含有X°+x3+x2+X+1因式。

17、 需要指出的是，并不是一定含有這個(gè)式子，如 x6+x3+1并沒(méi)有x2+x+1的因式， 事實(shí)上，它不能分解。這道題理論上也可以用拆項(xiàng)添項(xiàng)法，但實(shí)際上很費(fèi)事，不易想到該怎么拆。綜合作業(yè):-541、 a a 12、_a4 _153、a a 14、a5 a -1以上4題，看起來(lái)簡(jiǎn)單，其實(shí)有點(diǎn)難度，項(xiàng)數(shù)越少，次方越高，越容易讓人 覺(jué)得無(wú)從著手，是學(xué)生們疑問(wèn)較多的習(xí)題。4325、6x 7x -36x -7x 6提示：(6x4 6) (7x3 -7x) -36x2 = 6(x4 1) 7(x2 -1)x-36x2 二2 2 2 2 2 2= 6(x -1)7(x -1)x-24x 二2(x -1) -3x

18、3(x -1) 8x= (3x-1)(2x 1)(x 3)(x-2)難度較大。6、(x2 xy y2)24xy(x2 y2)一 2 + 2 提示：令 a x y 那么原式=(a b)2 -4ba =(a -b)2 = (x2 y2 - xy)2b =xy222427、(1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y)提示：用十字相乘法，先調(diào)整一下順序，x4(1-y) 2-2x2(1+y2)+ (1+y)22 28、 2x xy15y5x29y12用兩種方法分解。4 329、4x 4x 9x x 2 2此題容易看出各項(xiàng)系數(shù)和為0,可按此思路分組，將-9X2進(jìn)行拆分。33310、a3 + b3 + c3 3abc11、2x3+6y3+15z3-9x2y+7xy2-x2z-16xz2-37y2z+32y,+13xyz提示：該題為競(jìng)賽題目，難度很大。根據(jù)前面的提示，難度很大時(shí)，通常都采用 主元法。3322引用前面練習(xí)中的結(jié)果：6y +15z -37y z+32yz =(2y-3z)(y-5z)(3y+z)。然后再運(yùn)用待定系數(shù)法：設(shè)原式=(mx+2y-3z)(nx+y-5z)(px+3y+z)顯然m、n、p是土 1、土