空間直角坐標(biāo)系與空間向量及其運(yùn)算

1、第六節(jié) 空間直角坐標(biāo)系與空間向量及其運(yùn)算知識研習(xí)一、空間直角坐標(biāo)系1. 空間直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)凡、尸2間的距離 公式：片丹-兀2尸+01 y2+（zi 2. 已知空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)為（兀，j, z）;與M點(diǎn)關(guān)于兀軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（X, -卩,與M點(diǎn)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-兀，y,2.已知空間一點(diǎn)m的坐標(biāo)為a, j, z）；與M點(diǎn)關(guān)于兀軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（兀，-V，-z）； 與M點(diǎn)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-兀，y, -z）： 與M點(diǎn)關(guān)于z軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-兀，-卩，z）； （4）與M點(diǎn)關(guān)于面兀Oy對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（兀，y, -z）； 與M點(diǎn)關(guān)于面兀Oz對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為任，-“ z）：

2、與M點(diǎn)關(guān)于面yOz對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-兀，V, Z）： （7）與M點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)。對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-兀，- V， 一 z）.二、空間向量及其運(yùn)算1.空間向量及其加減與數(shù)乘運(yùn)算在空間中，具有大小和方向的量叫做向量.方向相 同且擢相等的有向線段表示同一向量或相等向昌 長度相等而方向相反的向量稱為a的相反向量.(2)空間向量的有關(guān)知識實(shí)質(zhì)上是平面向量對應(yīng)的知識的推廣，如有關(guān)的概念.運(yùn)算法則.運(yùn)算律等等.2. 空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a、b、不共面,那么對空間任一向量存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組兀、 丿、Z,使 =兀。+3+爲(wèi)續(xù)中1, b, c叫做空間的 一個(gè)基底a、b、c都叫做基向量三、空間向量

3、的坐標(biāo)運(yùn)算1.向量a與於的夾角記作也，其范圍是0,兀1 .如果夾角7Ta, b） =2，稱向量a與垂直.2.已知空間兩個(gè)向量a、b,貝"a方=lalllcosa，方（向量表示）=兀1兀:+丿莎+乙心（坐標(biāo)表示）3. 空間向量數(shù)量積公式的變形及應(yīng)用.已知a=(xv yv zx), b=(xv yv z2),(1)判斷垂直： a 丄方 oa方=x1x2+j1y2+z1z2=_0.(2)求向量的模:la2 1Z +J 2 1求向量夾角:7SO小試牛刀1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)尸（1，2,3）關(guān)于兀軸對稱 的點(diǎn)的坐標(biāo)為（A. （一 1,2,3）B. （1, -2, -3）C. （1, 2,

4、3）D. （ 1,2, 3）解析：點(diǎn)尸（兀，y, z）關(guān)于兀軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（兀, y，z） 答案：B2.與向量a = (l, 3,2)平行的一個(gè)向量的坐標(biāo)是 ( (1 V JA.亍 1，1B. (1, 3,2)廠 3AC. q, 1D. (a/2, _3, _2邊)解析：若a II b，則a =一 3,2).答案：C1=3.若向量 4=(1,入 2), b=(2, -1,2),且。與的夾角余弦值為齊則2等于A. 2B. -2亠2Ce _2或丞解析：cos偽b)D2或奪ab 6 一 20101 3羽 + 5 9,則2 = - 2或舊. 答案：c4在長方體ABCD-A.BD 1中，化簡式子：D

5、X-DB+BCBiB +AjBi AiB解析:DA 一 DB + BC 一 BB + ABi 一 AB = BA + BC + BBxBD + BBi = BD + DD = BDi.答案：BDi方袪指津1.建立空間直角坐標(biāo)系，必須牢牢抓住“相交于同一點(diǎn)的兩兩垂直的三條直線”,要在題目中找出或構(gòu)造出這樣的三條直線，因此，要充分利用題目中所給的 垂直關(guān)系（即線線垂直、線面垂直、面面垂直），同時(shí)要 注意，所建立的坐標(biāo)系必須是右手空間直角坐標(biāo)系.在右手空間直角坐標(biāo)系下，點(diǎn)的坐標(biāo)既可根據(jù)圖 中有關(guān)線段的長度，也可根據(jù)向量的坐標(biāo)寫出.2空間向量的知識和內(nèi)容是在平面向量知識的基礎(chǔ)上產(chǎn)生和推廣的，因此，可以

6、利用類比平面向量的方法解決本節(jié)的很多內(nèi)容.(1) 零向量是一個(gè)特殊向量，在解決問題時(shí)要特別注 意零向量，避免對零向量的遺漏.(2) 加是一個(gè)向量，若2=0,貝J加=0；若2定0, a=0, 貝恤=0.(3) 討論向量的共線、共面問題時(shí)，注意零向量與任 意向量平行，共線與共面向量均不具有傳遞性.數(shù)量積運(yùn)算不滿足消去律，即ab=bcn a=c.數(shù)量積的運(yùn)算不適合乘法結(jié)合律，即切c不一定 等于a(c).這是由于(ab)c表示一個(gè)與c共線的向量，而 a(bc)表示一個(gè)與a共線的向量，而c與a不一定共線.空間向量沒有除法運(yùn)算.(5)借助空間向量可將立體幾何中的平行、垂直、夾角、1=距離等問題轉(zhuǎn)化為向量的

7、坐標(biāo)運(yùn)算，如：判斷線線平行 或諸點(diǎn)共線，轉(zhuǎn)化為“a方(舜0)oa=肋”；證明線線垂直, 轉(zhuǎn)化為"a丄方oab=0”，若4=(幻，a2, a3), b=(bv b2, %)，則轉(zhuǎn)化為計(jì)算幻久+勺方2 +。33 = 0；在計(jì)算異面直線 所成的角(或線面角、二面角)時(shí)，轉(zhuǎn)化為求向量的 夾角，利用公式cos 0=爲(wèi) 在求立體幾何中線段的長 度時(shí)，轉(zhuǎn)化為求m=0|2,或利用空間兩點(diǎn)間的距離公式.3.利用cos <«, b> =-同求兩向量的夾角與求兩 直線夾角“的區(qū)別與聯(lián)系，即7T當(dāng)a, b) e 0,時(shí)，0=a,方;af b e I，兀時(shí),=兀a, b).兩條異面直線所

8、成的角與兩異面直線對應(yīng)的向量a,方的夾角關(guān)系為cos0=lcosa, b) I.4-運(yùn)用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決立體幾何問題的一 般步臂為：建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；求出相關(guān)點(diǎn) 的坐標(biāo)；寫出向量的坐標(biāo)；結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算. 轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論.昇'考點(diǎn)整合(即時(shí)鞏固詳解為教師用書獨(dú)有)考點(diǎn)一求點(diǎn)的坐標(biāo)【案例1】(2009安徽)在空間直角坐標(biāo)系中，已 知點(diǎn)A(l,0,2), B(l, 3,1),點(diǎn)M在y軸上，且M到A與 到B的距離相等，則M的坐標(biāo)是關(guān)鍵提示：設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)后利用空間兩點(diǎn)間的距 離公式求解.解析：本題主要考查空間兩點(diǎn)距離的計(jì)算.設(shè)M(0, j,0),因IMAI = IMBI,

9、由空間兩點(diǎn)間距離 公式得1 +嚴(yán)+4=1十(y十3尸+1,解得丿=一1【案例2】如圖，已知正方#ABCD-AfBfCfD啲棱長為a, M為BET的中點(diǎn)，點(diǎn)N在AC上，且IANI=3INC|, 試求MN的長.關(guān)鍵提示：建立空間直角坐標(biāo)系后再求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求出MN的長.y解：以D為原點(diǎn)，建立如圖所 示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)檎襟w 棱長為a,所以B(af a,0), A '(a,0, a),C'(0, a9 a), D(0,0, a).因?yàn)镮A' N = 3NCf I,可得MVI =根據(jù)空間兩點(diǎn)距離公式因?yàn)镸為BDf的中點(diǎn)，取Af C中點(diǎn)0，所以所以N為A，C的四等分點(diǎn)

10、, 從而N為O' C的中點(diǎn)，故礙，普，a【即時(shí)鞏固1】如圖，在四棱錐P-ABCD9底ABCD為正方形,且邊長為2a,棱加丄底®ABCD, PD=2b9取各側(cè)棱的中點(diǎn)弘F, G,寫出點(diǎn)E, F, G, H的坐標(biāo).H,P解：由圖形知，D4丄DC, DC丄DB DF丄ZM,故以D為原點(diǎn)，建立如圖空間坐標(biāo)系D-巧z因?yàn)镋、F, G,H分別為側(cè)棱中點(diǎn)，由立體幾何知識可知，平面EFGH與底面ABCD平行，從而這4個(gè)點(diǎn)的豎坐標(biāo)都為P的豎坐標(biāo)的 一半，也就是由H為DP中點(diǎn)，得H(0,0, b).E在底面上的投影為AD中點(diǎn)，所以E的橫坐標(biāo)和縱 坐標(biāo)分別為a和0,所以E（a,0,方），同理G（0

11、, a,方）；F在 坐標(biāo)平面xOz和yOz上的投影分別為點(diǎn)E和G,故F與E橫坐 標(biāo)相同都是a,與G的縱坐標(biāo)也同為a,又F的豎坐標(biāo)為方，考點(diǎn)二空間向量基本定理的應(yīng)用【案例3】 如圖，長方體OABCO' Af B' C' 中，G、H分別是側(cè)面C C和0, A' B' C的 中心，若刃L=a, 0C=bf OO' =c,用a、b、c表示如 下向量：OB'、AC1、GH.關(guān)鍵提示：利用空間向量基本定理將所求向量表示成 已知向量的形式.解：OBf =dA+AB+B =a + b + c,Of B - Of O + OA + AB = 一 c + a

12、 + b = a + b-c.ACf AB+BBf +BfCf=OC + OOf +AO = b + c- a,GH = GB+BA+AAf + H=B + CO + OOf + 孚P=A + C0 + 00'=扣疋 0 + oX)+ co+攤+ OOf + |(A0 + OC)ww.ziyuanku.corrt【即時(shí)鞏2如圖，在長方體ABCDACrD 1中,M為AC與BD的交點(diǎn)，若瓦芥=血AJ)r=b9 A1A=c,則下列向量中與勵(lì)相等的向量是解析:BM = BB+BM = c + (BX答案：B【即時(shí)鞏固3】如圖所示，在60° 的二面角aAB“中，ACca, BDu卩,且

13、AC丄AB, BD丄AB,垂足分 另U為A、B,已AB=AC=BD=af 求 線段CD的長.解：因?yàn)锳C丄4B，BD丄AB, 所以CA AB = 0, BDAB = 0.又因?yàn)槎娼莂AB_p為60°,所以場，BD) =120。,于是必F = CD2 =(C4+AB + BD)2= cX2+AB2 + BD2 + Ick-BD + 2BDAB + ICAB= 3a2 + 加cos 120° = 3a2 - a2 = 2a2,所以 CD = yj2a.:考點(diǎn)三證明垂直問題 【案例4】在棱長為1的正方體ABCD-A.B.C.Di中,1E、F分別為/MX BD的中點(diǎn)，G在棱CD上

14、，且CGpCD,H為GG的中點(diǎn)，應(yīng)用空間向量方法求解下列問題.求證：EF丄G(2)求EF與C&所成的角的余弦值；求FH的長.關(guān)鍵提示：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量來解證明:如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz, D:為坐標(biāo)原點(diǎn)，則有E(0,0, £)、F(|,0）、C（0,l,0）、3CW，1）、爲(wèi)（1丄學(xué) G（0,亍 0）.:麗=百，0) - (0,0, |)血=(0,1,0) - (1,1,1)= (-1,0, - 1).所以麗說=jx(- l) + |xo+ (-|)X(- 1)=0.所以EF丄BiG 即EF丄BiC解:因?yàn)閬?(0,0) -(0,1,1)=(0,-事-1),所以idifcl =EFC、GJLEF.QG = |xO + |x(-|) + (-|)X(-l) = |EF =,所以 cos厲，CG> =IEFIIC/71©年卑喊韋直線EF與GG所成角的余弦值為害.丄'(3)解：因?yàn)镕(|, |所以 F&=(-|,所以屈I0）、H（0, I，|）,。（護(hù)+（再【即時(shí)鞏固4】已知正方體4CDA/iCQi的棱長為用向量法解決下列問題:求A/和的夾角;證明A/丄A C；(3)求4G