第4講度量空間的列緊性與緊性

1、兩安電子科技大學(xué)理學(xué)院楊何龍線性與非錢(qián)性泛函分析第四節(jié)度量空間的列緊性與緊性4.1度量空間的緊性Compactness在微積分中，閉區(qū)何匕的連續(xù)換數(shù)貝有最人值、最小值、一致連續(xù)等，這些性質(zhì)的成&皋 一個(gè)咆耍的爭(zhēng)實(shí)：/?的緊性，即令界數(shù)列必何收斂子列但這一 M實(shí)在度杲空間中卻未必 成立.例 1.4. 1 設(shè) * = £?一龍,龍=門(mén)(厶)：|/(.丫)|沁<8,対定義£(/, 8)=(/<A)- g(Q 3)：，令£(x) = sinnx,那么/(.¥)是有界的發(fā)散點(diǎn)、列證明由于1 1d(幾 0) = (| _/； (a ) - 0 |

2、：f/.v)y = (J： (sin nxfdx)1=口呼網(wǎng)劌匸分+口讐討皿所以£(")為有界點(diǎn)列.對(duì)于任意的n,meN ,有2從(匚I sm nx - sin nix |沁):xsm2 21 + cos(” + ni ).v 1 - cos(” - in )x=(J (1 + cos(/» + m)x) (1- cos(/i -= -jljr因此£(刀不是基本列，當(dāng)然不是收斂列.口定義 1.1 列賢集、緊集與緊空間 Sequentially compact set. Compact set, Compact space 設(shè)X是度鼠空間，AuX(1) 如

3、果4中任何點(diǎn)列都有收斂于X的子列,則稱(chēng)A為列無(wú)集(或致密集、或相對(duì)緊集);(2) 如果A是列緊集，也是閉集，則稱(chēng)A為賢集：(3) 如果X本身是列緊集(必是閉集),則稱(chēng)X為賢空間.注1:若A是X的列緊集，X”uA且忑那么兀eA?若A是X的緊集， x0 e X ?.定理1.1設(shè)(XM)是度最空間，卜列各命題成V:(1) X的任何冇限集必是緊集：(2) 列緊集的子集是列緊集；(3) 列緊集必是有界集，反Z不真.證明、易證下面僅證(3).假設(shè)4UX是列緊集，但A無(wú)界.取固定，則存在x:eA,使得J(xpa:)>1.對(duì)J； 坷,心，必存在x3eA,使得dg,.q)21、J(x:,x5)>l.

4、由J： A是無(wú)界集，可依此類(lèi)推得到X的 點(diǎn)列X”滿足：只要i=j,就d(xiyX)>l 顯然點(diǎn)列X“無(wú)收斂子列，從而人不是列緊集 導(dǎo)致矛盾，故A是有界集.反過(guò)來(lái)，A是冇界集，A未必列緊.反例：空間X二門(mén)-龍,刃上的閉球丄沃0,石)冇界, 而不是列緊集(見(jiàn)例1. 1). 注2: R中的開(kāi)區(qū)間(0.1)是列緊集，卻不是緊集.(由中的有界數(shù)列必冇收斂子列， 所以(0,1)屮的數(shù)列必仃收斂子列，但(0,1)不是閉集，故列緊不緊.)注3：自然數(shù)N二1,2,不是列緊集.(N無(wú)界)推論1.1 (1)緊空間是何界空間；(2)緊空間是完備空間.證明(1)若X為緊空間，那么X本身為列緊集，血列緊集有界，故X

5、為有界空間.(2)廿X為緊空間，即它的任何點(diǎn)列仃收斂子列，從而知X中的基本列仃收斂子列，根據(jù) 圧本列的性質(zhì)(若基本列含有收斂子列，則該基本列收斂，且收斂到子列的極限)，可得X屮的 基本列收斂，因此X為完備的空間.口關(guān)維毆氏空間/T中的列緊集、緊集的特性冇如卜定理.定理1.2 設(shè)Au/T, R"是“維毆氏空間，那么(1) A是列緊集當(dāng)且僅當(dāng)A是有界集：(2) A是緊集肖且僅當(dāng)A是有界閉集.證明(1)必要性顯然成立;利用閉球套定理可以證明：如果4是有界的無(wú)限集,則人具 有極限點(diǎn)，從而可證充分性.(2)由易得.注4：由FR中的非空緊集A就是有界閉集,定義A上的連續(xù)函數(shù)具有最大與最小值,這

6、一事實(shí)在度晝(距離)空間屮依然成立.首先說(shuō)明連續(xù)映射將緊集映射為緊集.引理1.1設(shè)/是從度屆空間(X,d)到a,p)上的連續(xù)映射(稱(chēng)為算子)，力是X中的緊集, 那么幾4)是丫中的緊集.證明 設(shè)E = AA),首先證明e是丫中的列緊集.Vyc£, 3£u4,使得y=/(xj, n = l,2,-.由于A是緊集，所以點(diǎn)列斗存在 收斂的子列%,且又知/是X上的連續(xù)映射，于是lim y_ = lim f(x ) = /(.r0) e E * &fac*即兒有收斂J* e的子列幾，因此e為y中的列緊集.再證疋是閉集.設(shè)兒UE,兒Ty°(“T0O),根據(jù)A的緊性和連續(xù)

7、映射/可得，対應(yīng)的 點(diǎn)列M ( > = /(Xj)存在收斂的子列g(shù), a T X。e人從而>0 =坯兒=帆兒=輒即E是閉集.口定理1.3量值定理設(shè)4是度最空間X中的緊集，/是定義在X上的實(shí)值連續(xù)隨數(shù)(泛序即f.XiR,那 么f在A上取得最人值與繪小值.證明 設(shè)E = f(A).由上述引理知E是R中的緊集.所以E是/?中的有界集,J：是上、 下確界存在，設(shè)M = sup/(X)|x A m = inf/(x)xe A.卜證M是/在4上取得的最人值，同理可證加是/在力上取得的最小值.由確界性的定義知,第143頁(yè)兩安電子科技大學(xué)理學(xué)院楊仃龍線性與非銭性泛函分析V/M Hx; A ,使得/

8、(x )> M-丄.即可得M-丄vf(©)SM <M+-丄.nn八n再由A為緊集知存在xjug,使得r tF"(*T8), J是叫叫令kT8,有f(F) = M, |大|此M是/在A上取得的繪大值.二、度量空間中的全有界性刻畫(huà)列緊性的啦耍概念之一是全冇界性，通過(guò)以卜的討論可知：(1)度吊空間中的列緊集必是全仃界集；(2)在完備度吊空間屮，列緊集和全仃界集二者等價(jià).定義2.1 e網(wǎng)設(shè)X是度最空間，A.3UX,給定£>0.如果對(duì)J'A'P任何點(diǎn)x,必存在8中點(diǎn)使得d(x,x? < e ,則稱(chēng)是人的一個(gè)£網(wǎng).即A u (

9、J0(")ie“第174頁(yè)兩安電子科技大學(xué)理學(xué)院楊仃龍線性與非銭性泛函分析第174頁(yè)兩安電子科技大學(xué)理學(xué)院楊仃龍線性與非銭性泛函分析圖4.1 是人的-個(gè)®網(wǎng)示意圖例如：全體整數(shù)集是個(gè)體有理數(shù)的0.6網(wǎng)；平面上坐標(biāo)為密數(shù)的點(diǎn)集是用的0.8網(wǎng).-2-1012 R圖4.2整數(shù)集Z是全體仃理數(shù)0的0. 6網(wǎng)示意圖定義2. 2 全有界集設(shè)X是度彊空間，AuX,如果對(duì)J任給的£>0, A總心在有限的$網(wǎng)，則稱(chēng)A是X中的 全有界集.注5:根據(jù)定義可知A是X中的全有界集等價(jià)J'->0 ,珀丹,x“u X,使得 Au|jo(x"),Jl?|9aM)表示

10、以兀中心，以£為半徑的開(kāi)鄰域.fl引理2.1力是度駅空間X的全有界集當(dāng)且僅當(dāng)W>0, 3兀£,，兀U4，使得4uUo(E2)1-1證明 當(dāng)4足全仃界集時(shí)，0cO, 3(叫宀，心u X,使得dujoa冷.不妨設(shè)VI < f < n （V n A #,選取 yt e（x,y）Pl A，顯然”小,;uF 以及Aujo（話）u|Jo（x，£）ilL i-1注6：在疋中，不難證明全有界集與有界集等價(jià)，那么在一般的度起空間中這樣的結(jié)論 成立嗎？還是只在完備的度最空間中成芷？卜面給出有界集和全有界集的關(guān)系.定理21 全有界集的特性設(shè)X是度量空間,AuX,若A是

11、全有界集，則（1） A是有界集;（2） A是可分集.證明 設(shè)A是全有界集，取*1,由定義知，MeN及g兀，,quX,使得nAu|Jo（xJ） r-l現(xiàn)令M =l + maxJ（xnx.）,則易知AuOgM）,可見(jiàn)A是有界集.（2）設(shè)A是全佇界集，卜證A冇町列的稠密子集.由引理知對(duì)耳=丄（“ =1,2,），存在8”=華,亡,娜（=/1,使得Au）O（咱,丄），x n°n下而證明0乞是人的稠密子集.Vxe4, VJ>0,存在-eN,使得 <6.由是A的丄網(wǎng)，故北。丘久u）B”， “0辦0111«X使dx）<-<3,從而,xw#eO（x,J）,即CX在蟲(chóng)中

12、稠密，顯然CjB “是可列集，故A可 "oac1分.注7：由上述定理知全有界集定是有界集，然而仃界集卻不定是全仃界集.例如全體實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)的離散度吊空間（尺。）中的子集何=1,23,足仃界集，卻不是全仃 界集.定理2.2 全有界的充要條件仗X是度就空間，AUX,則4是全仃界集當(dāng)II僅當(dāng)A中的任何點(diǎn)列必仃某本子列.證明（1）充分性U：反證法.若4不是全有界集，則存在q>0, A沒(méi)冇冇限的q網(wǎng)， 取，再取“eA,使d（xi9x2）>£0,（這樣的兀存在，否則町為A的勺網(wǎng)）.再取x3 e A , 使©，dx2,x3）>£0 （這樣的X存在，否則*

13、】,乓為A的£。網(wǎng)）以此類(lèi)推，可得 UCA,而兀沒(méi)有基本子列，產(chǎn)生矛盾，故A是全有界集.（2）必要性=>：設(shè)兀是A的任一點(diǎn)列,取£嚴(yán)丄，"1,2,，因?yàn)锳是全有界集,故A存 k在有限5網(wǎng)，記為罠.以冇限集色的齊點(diǎn)為中心，以勺為半徑作開(kāi)球，那么這冇限個(gè)開(kāi)球覆蓋了 4,從而覆蓋 了 兀, J：是至少有一個(gè)開(kāi)球（記為SJ中含有X”的一個(gè)子列g(shù)”uS同樣以有限集冬的各點(diǎn)為中心，以牛為半徑作開(kāi)球，那么這有限個(gè)開(kāi)球覆孟了 出，J; 是至少佇一個(gè)開(kāi)球（記為SJ中含勺“；的一個(gè)子列xfuS, 依次可得一系列點(diǎn)列：甲:甲，剔，.才，甲，.第174頁(yè)兩安電子科技大學(xué)理學(xué)院楊何龍

14、錢(qián)性與非錢(qián)性泛函分析護(hù)：申,，護(hù)，.<0:刃,W：役，刃，.J1每-個(gè)點(diǎn)列是前一個(gè)點(diǎn)列的了列，取對(duì)角線元索作為兀的子列，即甲=屮，今，弓，,甲, 是斗的子列下證£是某本列.W>0,取K,使得6=丄 <彳，那么當(dāng)k、p>K時(shí)，不妨設(shè)P>k,則有xf es記開(kāi) K 2球電的中心為那么有,屮)Sd(xf,x；)+d(x；,屮)+® =2勺 <£,故琲分是%的基本子列 推論21豪斯道夫(Hausdorff)定理 設(shè)X是度杲空間，AuX(1) 若力是列緊集，則A是全有界集；(2) 若X是完備的度最空間，則力是列緊集當(dāng)且僅當(dāng)4是全佝界集.證

15、明(1)因?yàn)榱芯o集中的任何點(diǎn)列都仃收斂子列，故它必是慕本子列，由上述泄理2.2 知A是全有界集；(2)必要性=>：宙(1)知，度彊空間中的列緊集一定是全仃界集.充分性U： Vxc4,因?yàn)锳是全有界集，所以£含有基本子列*,又知X完備, 是入在X中收斂，可見(jiàn)A的任何點(diǎn)列都有收斂X的子列，即人是列緊集.口注9：對(duì)于一般的度量空間：列緊集是全有界集；全有界集是有界集，有界集卻不一定是 全有界集，全有界集卻不一定是列緊集.例如：訃x Q】o,i上的何理數(shù)全體，在歐氏距肉定義卜，山血(1+丄)"=；，所以X3 /I 3不足完備的度駅空間.X不是列緊集因?yàn)閂>0 ,存在正密

16、數(shù)，使得丄那么 n-,4是X的£網(wǎng),因此x是全有界的.n n n綜上所述，緊集、列緊集、全仃界集及仃界集、可分集仃如卜的關(guān)系：緊集=列緊集n全有界集n |有界集I可分集緊集u列緊集u全有界集w*定理2.3 口°上中點(diǎn)集列猱的的充要條件設(shè)AUCM,則A是列緊集的充要條件為以卜兩條成立.(1) A 致有界：3M >0, VxeA,有卜|«M,對(duì)任何tea,b成立；(2) A 等度連續(xù)：V>0 , m/>03 與/及x 無(wú)關(guān))，當(dāng) /pr,e «,/>及 |/廠叮<時(shí)，Vxe>4 有卜(fj-心)|<g 注意區(qū)別等度連

17、續(xù)與映射的-致連續(xù)兩個(gè)概念.推論2.2 阿爾采拉(Aizela)引理 設(shè)F = /|/；e Ca,hJ是C«J?的-，致冇界且等度 第145頁(yè)西安電子科技大學(xué)理學(xué)院楊仃龍線性與非銭性泛函分析連續(xù)的因數(shù)族，則從F中必可選出在Ca.b上一致連續(xù)的子序列人.定理2JJSAU廠(pni),則A是列緊集的充要條件為以卜兩條成立.» £(1) A致有界:3M >0, Vx = (心乞,心，)wA ,有(£k|P)PvM；x2.(2) 力等度連續(xù)：V4T>0, 3N, 02也宀，,)“，有(£kr)P<“三、例題例21設(shè)(XV)為離散的度駅

18、空間，AUX,證明：力是緊集的充要條件為力是有限點(diǎn) 集.(2-18)證明(1)充分性U：設(shè)人是有限點(diǎn)集，則A必為閉集，又無(wú)點(diǎn)列，故為緊集.(2)必耍性=>：反證法.假設(shè)力為無(wú)限點(diǎn)集，則必有可列子集A'uA, HA'種尤素各不相 同，不妨設(shè)為才=兀,心兀， = 兀,當(dāng)加工“時(shí)，根據(jù)離散度最空仙中距離的定義知 d(©，x,)= l，從而忑無(wú)收斂子列，這與人的緊性矛盾，故A必為有限集 口例22設(shè)X為緊的度起空間，M是X的閉子集，證明M是緊集.(2-21)證明1由J：M是閉子集，所以只需證明M是列緊集.設(shè)©是M的一個(gè)點(diǎn)列，顯然 UJUX,又知X是緊的度帚空間，

19、是片存在收斂J：X的子列%,即M是列緊集.口證明2曲/X是列緊集，且列緊集的子集是列緊集，所以M是列緊集.又知M是閉子 集，因此M是緊集.口注10:在離散的度定空間中，A是緊集0 4是冇限點(diǎn)集.在“維歐氏空間用中，A是緊集O A是有界閉集. 在完備度帚空間中，力是緊集O A是全有界閉集.緊的度看空間的閉子集是緊集.完備的度斎空間的閉子集是完備的.例23設(shè)X為緊的度最空間，A”為X的一列非空閉子集，RA 二 £ 二舛二二 Al 二 Ar-l 二證明 A A. * - (2-19)Jt1證明 設(shè)，那么點(diǎn)列U.uA，由上述例2.2知緊空間的閉子集一定緊，是人 是X的一列緊子集.所以

20、3;有收斂的子列,不妨設(shè)對(duì)任意的"對(duì) 應(yīng)的閉子集A”而言，存在 "N ,當(dāng)2K”時(shí)冇£,EA”，即除冇限項(xiàng)外子列.%的其它無(wú)限 點(diǎn)列屬于£,因此說(shuō)明了故x.epAn口例2.4如果林迅都是度起空間X中的緊集，則必存在xoeFyoeF2 ,使得 (“0，兒)=(行蟲(chóng))，英中(件迅)=infd(x,刃卜 FyeF,稱(chēng)為林與&的距離.(2-22)證明 由d(斤迅)的定義知，存在xJcf；,b'BcF,使得d(斤,FJhlimdU,兒)w-*x因?yàn)榛蔷o集，所以.,>分別存在收斂斥和巴的子列g(shù)及、;,即存在 x0 eF2 > 使得= .

21、v0, limy = y0 .由r/(A,y) = J(A,y)是X上二元連續(xù)映射，J 是何陀心必)*(呼，楓兒)= dgy°) 因?yàn)閷?shí)數(shù)域上的數(shù)列若收斂，且冇收斂的子列，則原數(shù)列必收斂且與JC子列收斂到同一個(gè)數(shù), 所以(林遠(yuǎn))=!巴d(x“,y”)巳聖( ,血)= 口例25設(shè)片,坊是度量空間X中的兩個(gè)子集，其中耳是緊集，是閉集,若/(打迅)=0則 必存在X。e n F,.證明 由d(斤迅)=0知，存在兀<=斤,兒匸耳，使得d(片迅)=limdg,兒)=0n ->x因?yàn)榍蔷o集，所以X”療在收斂丁巧的子列%，即存在X。叭，使fgiimxni =A-0対兒 的子列兒，而言，

22、有心,，和 S dg) + d(% ,q)所以帆兒嚴(yán)o，于是由佗是閉集可知故兒林門(mén)耳口例26設(shè)X均為度量空間,f:XTY為連續(xù)映射,若A是X的稠密子集,則心)是 CX)的稠密子集.證明 任取yef(X).則存在*X,使得> = /(x).由于4是X的稠密子集，即A=X , 所以存在aJcA,使得Umxw=.v, /長(zhǎng)根據(jù)/的連續(xù)性可得ITfXlnn/(xj= f(hmxn) = f(x) = y刃 TOCfTiSO因此7(Aj=/W，即/'(A)在/'(X)中稠密.例2.7仃界數(shù)列空間廣是完備的度屆空間.(距離的定義：匚(x, V) = sup|xf x I)i證明 取/

23、是嚴(yán)的中的基本列，其中A"=(.<,A：,任給占>0,存在N,當(dāng) m、n > N時(shí),有d(y",F) = sup I r - y： |< £ (2.7.1)iJ是對(duì)J每一個(gè)固定的i(i = 1,2,3,八 當(dāng)m、n > N時(shí)，有-(2.7.2)因此數(shù)列£,£,£,是尺中的基本列,由R的完備性知此基本列收斂,可設(shè)其收斂到齊, BPlrni<=xf.利用這些極限值可定義"(召心,心)，卜而證明xelx以及FT.gToo).在(2.7.2)式中，令加T 8 ,可得對(duì)F切n> N ,有(273) 因?yàn)関、(x：,.&,?！?疋廣，所以存在正實(shí)數(shù)K”，使得對(duì)所有K2123,)，有x：<Kn, 于是即證明了 xeT .再由(2.4.3)式知，對(duì)于一切n> N 9有(門(mén)“)二sup | x：-兀伍£ ,所以 ix5T8),因此有界數(shù)列空間廣是完備的度杲空間.例28設(shè)(X,d),(人刃為兩個(gè)度最空間，f.XY為