一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)提高知識(shí)講解

1、一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)（提高）責(zé)編：趙煒【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解一次函數(shù)的概念，理解一次函數(shù)的圖象及正比例函數(shù)的圖象之間的關(guān)系；2. 能正確畫出一次函數(shù)的圖象掌握一次函數(shù)的性質(zhì)利用函數(shù)的圖象解決及一次函數(shù)有關(guān)的問題，還能運(yùn)用所學(xué)的函數(shù)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題3. 對(duì)分段函數(shù)有初步認(rèn)識(shí)，能運(yùn)用所學(xué)的函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、一次函數(shù)的定義一般地，形如（，是常數(shù)，0）的函數(shù)，叫做一次函數(shù). （為常數(shù)，且0）的函數(shù)，叫做正比例函數(shù).其中叫做比例系數(shù).要點(diǎn)詮釋：當(dāng)0時(shí)，即，所以說正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).一次函數(shù)的定義是根據(jù)它的解析式的形式特征給出的，要注意其中對(duì)常數(shù)，的要求，一次函數(shù)也

2、被稱為線性函數(shù).要點(diǎn)二、一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)1.函數(shù)（、為常數(shù)，且0）的圖象是一條直線：當(dāng)0時(shí)，直線是由直線向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的；當(dāng)0時(shí)，直線是由直線向下平移|個(gè)單位長(zhǎng)度得到的.2.一次函數(shù)（、為常數(shù)，且0）的圖象及性質(zhì)： 正比例函數(shù)的圖象是經(jīng)過原點(diǎn)（0，0）和點(diǎn)（1，）的一條直線； 一次函數(shù)圖象和性質(zhì)如下：3. 、對(duì)一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的影響：決定直線從左向右的趨勢(shì)，決定它及軸交點(diǎn)的位置，、一起決定直線經(jīng)過的象限4. 兩條直線：和：的位置關(guān)系可由其系數(shù)確定：（1）及相交； （2），且及平行；要點(diǎn)三、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式 一次函數(shù)（，是常數(shù)，0）中有兩個(gè)待定系數(shù)，需要兩個(gè)獨(dú)立條件確定

3、兩個(gè)關(guān)于，的方程，這兩個(gè)條件通常為兩個(gè)點(diǎn)或兩對(duì)，的值.要點(diǎn)詮釋：先設(shè)出函數(shù)解析式，再根據(jù)條件確定解析式中未知數(shù)的系數(shù)，從而具體寫出這個(gè)式子的方法，叫做待定系數(shù)法.由于一次函數(shù)中有和兩個(gè)待定系數(shù)，所以用待定系數(shù)法時(shí)需要根據(jù)兩個(gè)條件列二元一次方程組（以和為未知數(shù)），解方程組后就能具體寫出一次函數(shù)的解析式.要點(diǎn)四、分段函數(shù)對(duì)于某些量不能用一個(gè)解析式表示，而需要分情況（自變量的不同取值范圍）用不同的解析式表示，因此得到的函數(shù)是形式比較復(fù)雜的分段函數(shù).解題中要注意解析式對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍，分段考慮問題.要點(diǎn)詮釋：對(duì)于分段函數(shù)的問題，特別要注意相應(yīng)的自變量變化范圍.在解析式和圖象上都要反映出自變量的相

4、應(yīng)取值范圍.【典型例題】類型一、待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式1、（1）已知直線，及直線平行，且及軸的交點(diǎn)是（0，），則直線解析式為_（2）若直線及平行，且同一橫坐標(biāo)在兩條直線上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)相差1個(gè)單位長(zhǎng)度，則直線解析式為_【思路點(diǎn)撥】（1）一次函數(shù)的圖象及正比例函數(shù)的圖象平行，則比例系數(shù)相同，再找一個(gè)條件求即可，而題中給了圖象過（0，）點(diǎn)，可用待定系數(shù)法求.（2）題同樣比例系數(shù)相同，注意同一橫坐標(biāo)在兩條直線上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)相差一個(gè)單位長(zhǎng)度有兩種情況，都要考慮到.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）因?yàn)樗笾本€及平行，所以，將（0，2）代入，解得2，所以. （2）由題意得3，假設(shè)點(diǎn)（1，4

5、）在上面，那么點(diǎn)（1，5）或（1，3）在直線上，解得2或0.所求直線為或.【總結(jié)升華】互相平行的直線值相同.舉一反三：【高清課堂：391659 一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，例2】【變式1】一次函數(shù)交軸于點(diǎn)A（0，3），及兩軸圍成的三角形面積等于6，求一次函數(shù)解析式.【答案】解：設(shè)一次函數(shù)的解析式為.當(dāng)過時(shí)，；當(dāng)過時(shí)，；所以，一次函數(shù)的解析式為或.【高清課堂：391659 一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，例3】【變式2】在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)，在軸上求作一點(diǎn)P，使APBP最短，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】解：作點(diǎn)A關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，連接，及軸交于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求.設(shè)直線的解析式為，直線過，的解析式為：，它

6、及軸交于P（0，1）.類型二、一次函數(shù)圖象的應(yīng)用2、（2019長(zhǎng)春）甲、乙兩臺(tái)機(jī)器共同加工一批零件，在加工過程中兩臺(tái)機(jī)器均改變了一次工作效率從工作開始到加工完這批零件兩臺(tái)機(jī)器恰好同時(shí)工作6小時(shí)甲、乙兩臺(tái)機(jī)器各自加工的零件個(gè)數(shù)y（個(gè)）及加工時(shí)間x（時(shí)）之間的函數(shù)圖象分別為折線OAAB及折線OCCD如圖所示（1）求甲機(jī)器改變工作效率前每小時(shí)加工零件的個(gè)數(shù)（2）求乙機(jī)器改變工作效率后y及x之間的函數(shù)關(guān)系式（3）求這批零件的總個(gè)數(shù)【思路點(diǎn)撥】（1）甲改變工作效率前的工作效率為改變前加工的總件數(shù)，除以加工的總時(shí)間即可；（2）利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可；（3）利用函數(shù)解析式求出甲、乙兩機(jī)器6小時(shí)加

7、工的總件數(shù)，求其和即可【答案及解析】解：（1）80÷4=20（件）；（2）圖象過C（2，80），D（5，110），設(shè)解析式為y=kx+b（k0），解得：，y乙=10x+60（2x6）；（3）AB過（4，80），（5，110），設(shè)AB的解析式為y甲=mx+n（m0），解得：，y甲=30x40（4x6），當(dāng)x=6時(shí)，y甲=30×640=140，y乙=10×6+60=120，這批零件的總個(gè)數(shù)是140+120=260【總結(jié)升華】主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意得出函數(shù)關(guān)系式以及數(shù)形結(jié)合是解決問題的關(guān)鍵類型三、一次函數(shù)的性質(zhì)【高清課堂：391659 一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，

8、例4】3、已知自變量為的一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，則（ ） A0，0 B0，0 C0，0 D0，0【答案】C；【解析】原函數(shù)為，因?yàn)閳D象經(jīng)過二、三、四象限，則0，0，解得0，0.【總結(jié)升華】一次函數(shù)的圖象有四種情況：當(dāng)0，0，函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，的值隨的值增大而增大；當(dāng)0，0，函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，的值隨的值增大而增大；當(dāng)0，0時(shí)，函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，的值隨的值增大而減小；當(dāng)0，0時(shí)，函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，的值隨的值增大而減小舉一反三：【高清課堂：391659 一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，例5】【變式1】直線：及直線：在同一坐標(biāo)系中的大致位置是（

9、 ）A B C D【答案】C；提示：對(duì)于A，從看0，0，從看0，0，所以，的取值自相矛盾，排除掉A.對(duì)于B，從看0，0，從看0，0，所以，的取值自相矛盾，排除掉B. D答案同樣是矛盾的，只有C答案才符合要求.【變式2】直線和直線在同一直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)為直線、的交點(diǎn)其中，則（ ）A B C D【答案】A；提示：由于題設(shè)沒有具體給出兩個(gè)一次函數(shù)的解析式，因此解答本題只能借助于圖象觀察直線知，隨的增大而減小，因?yàn)?，則有；觀察直線知，隨的增大而增大，因?yàn)椋瑒t有故【變式3】（2019春·廣元）已知正比例函數(shù)的圖象上一點(diǎn)（，），且0，0，那么的取值范圍是（）A

10、.BC或D不確定【答案】A；提示：因?yàn)?，0，所以該點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)異號(hào)，即圖象經(jīng)過二、四象限，則210，類型四、一次函數(shù)綜合【高清課堂：391659 一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，例7】4、已知一次函數(shù)的圖象過點(diǎn)，及軸交于點(diǎn)，及軸交于點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)【答案及解析】解：由題意得，則一次函數(shù)的圖象過點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，.綜上所述，點(diǎn)A的坐標(biāo)為或.【總結(jié)升華】我們可以把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)用、表示出來，根據(jù)OA3OB可以建立一個(gè)關(guān)于、的方程，再根據(jù)它的圖象過P，可以再找到一個(gè)關(guān)于、的方程，兩個(gè)方程聯(lián)立，即可求出、的值，就可以求出點(diǎn)A的坐標(biāo).1、（1）已知直線，及直線平行，且及軸的交點(diǎn)是（0，），則直線解析式為_

11、（2）若直線及平行，且同一橫坐標(biāo)在兩條直線上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)相差1個(gè)單位長(zhǎng)度，則直線解析式為_舉一反三：【變式1】一次函數(shù)交軸于點(diǎn)A（0，3），及兩軸圍成的三角形面積等于6，求一次函數(shù)解析式.【變式2】在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)，在軸上求作一點(diǎn)P，使APBP最短，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo).類型二、一次函數(shù)圖象的應(yīng)用2、（2019長(zhǎng)春）甲、乙兩臺(tái)機(jī)器共同加工一批零件，在加工過程中兩臺(tái)機(jī)器均改變了一次工作效率從工作開始到加工完這批零件兩臺(tái)機(jī)器恰好同時(shí)工作6小時(shí)甲、乙兩臺(tái)機(jī)器各自加工的零件個(gè)數(shù)y（個(gè)）及加工時(shí)間x（時(shí)）之間的函數(shù)圖象分別為折線OAAB及折線OCCD如圖所示（1）求甲機(jī)器改變工作效率前每小時(shí)加工零件的個(gè)數(shù)（2）求乙機(jī)器改變工作效率后y及x之間的函數(shù)關(guān)系式（3）求這批零件的總個(gè)數(shù)【變式1】直線：及直線：在同一坐標(biāo)系中