線性變換和相似等價類的對應(yīng)關(guān)系

1、線性變換和相似等價類的對應(yīng)關(guān)系設(shè)有兩個非空集合V,U，若對于V中任一元素，按照一定規(guī)則總有U中一個確定的元素和它對應(yīng)，則這個對應(yīng)規(guī)則被稱為從集合V到集合U的變換（或映射），記作=T()或=T,( V)。設(shè)V，T()= ,則說變換T把元素變?yōu)?，稱為在變換T下的象，稱為在變換T下的源，V稱為變換T的源集，象的全體所構(gòu)成的集合稱為象集，記作T(V)。即 T(V)= =T()|V,顯然T(V) U注：變換的概念實際上是函數(shù)概念的推廣。定義2 設(shè)Vn,Um分別是實數(shù)域R上的n維和m維線性空間，T是一個從Vn到Um得變換，如果變換滿足（1） 任給1 ，2Vn，有T(1+2)=T(1)+T(2);（2） 任

2、給Vn，kR，都有 T(k)=kT()。那么，就稱T為從Vn到Um的線性變換。說明： 線性變換就是保持線性組合的對應(yīng)的變換。 一般用黑體大寫字母T,A,B,代表現(xiàn)象變換，T()或T代表元在變換下的象。若Um=Vn，則T是一個從線性空間Vn到其自身的線性變換，稱為線性空Vn中的線性變換。下面主要討論線性空間Vn中的線性變換。二、線性變換的性質(zhì)設(shè)T是Vn中的線性變換，則(1) T(0)=0,T(-)=-T(); (2) 若=k11+k22+kmm,則T=k1T1+k2T2+kmTm;(3) 若1，m線性相關(guān)，則T1Tm亦線性相關(guān)；注：討論對線性無關(guān)的情形不一定成立。(4) 線性變換T的象集T(Vn

3、)是一個線性空間Vn的子空間。記ST=|Vn,T =0稱為線性變換T的核，ST是Vn的子空間。設(shè)V和W是數(shù)域F上的向量空間，而：VW是一個線性映射。那么(i) 是滿射Im()=W;(ii)是單射Ker()=0定理1 設(shè)V和W是數(shù)域F上的向量空間，而：VW是一個線性映射。那么V的任意子空間在之下的像是W的一個子空間。而W的任意子空間在之下的原像是V的一個子空間。三、線性變換的運算設(shè)L(V)是向量空間V的全體線性變換的集合，定義L(V)中的加法，數(shù)乘與乘法如下：加法： 數(shù)乘： ； 乘法： ，其中， . 易驗證，當(dāng)A, B是V的線性變換時，A+B，AB以及kA都是V的線性變換.四、線性變換的矩陣設(shè)是

4、數(shù)域F上的一個維向量空間,是的一個基,.由于因而它們可由基線性表出.令 (1) .(1) 也可以表示為： , (2)其中 A= 稱為關(guān)于基的矩陣.的第列元為在基下的坐標(biāo),因而當(dāng)取定基之后,在這一基下的矩陣是唯一的.設(shè)V是數(shù)域F上一個n維向量空間.令是V的一個線性變換.取定一個基,¼,.考慮V中任意一個向量 s(x)仍是V的一個向量.設(shè)s(x)=自然要問,如何s(x)計算的坐標(biāo).令 (2) 這里,i,j=1,n,就是關(guān)于基的坐標(biāo).令 A= n階矩陣 A叫做線性變換關(guān)于基的矩陣.矩陣A的第j列元素就是這樣,取定F上n維向量空間V的一個基之后,對于V的每一個線性變換,有唯一確定的 F上n階

5、矩陣與它對應(yīng).為了計算關(guān)于基的坐標(biāo),我們把等式(2)寫成矩陣形式的等式(3) =.設(shè) = 因為是線性變換,所以(4) =將(3)代入(4)得 A最后等式表明,關(guān)于的坐標(biāo)所組成的列是 A比較等式(1),我們得到定理1 令V是數(shù)域F上一個n維向量空間,是V的一個線性變換,而關(guān)于V的一個基的矩陣是 A= 如果V中向量關(guān)于這個基的坐標(biāo)是,而的坐標(biāo)是,那么 (5) 在空間內(nèi)取從原點引出的兩個彼此正交的單位向量作為的基.令是將的每一向量旋轉(zhuǎn)角的一個旋轉(zhuǎn).是的一個線性變換.我們有 所以關(guān)于基的矩陣 是設(shè),它關(guān)于基的坐標(biāo)是,而的坐標(biāo)是.那么：設(shè)A向量空間V的線性變換，如果 ，則矩陣A稱為線性變換A在基 下的矩

6、陣. （1）相似矩陣：對于兩個n階方陣A,B，如果存在一可逆矩陣C，使得 ，則稱方陣A與B相似，記為AB.（2）線性變換的特征值和特征向量：設(shè)A是向量空間的一個線性變換，如果存在實數(shù) 和V中非零向量，使得A=，則稱為A的一個特征值，為A的屬于特征值的一個特征向量.（3）矩陣的特征值和特征向量：設(shè)A為一個m階實矩陣，如果存在m維非零向量 ，使得 ，則稱為矩陣A的特征值， 為A的屬于特征值的特征向量. 下面定義線性變換的運算. 1、正交變換的性質(zhì)：設(shè)A是歐氏空間的一個線性變換，則下面幾個命題等價： (1) A是正交變換； (2) A保持向量的長度不變，即對于任意的 ； (3) 如果 是V的標(biāo)準(zhǔn)正交

7、基，則 也是V的標(biāo)準(zhǔn)正交基. (4) A在任一組標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是正交矩陣. 2、線性變換矩陣的性質(zhì)： 設(shè)V的線性變換A在基 下的矩陣為A，向量 在基 下的坐標(biāo)為 在此基下的坐標(biāo)為 ，則 設(shè) 與 是向量空間V的兩組基，從基 到基 的過渡矩陣為C，又設(shè)線性變換A的這組兩基下的矩陣分別為A, B，則 即AB. 3、線性變換的矩陣可以是對角陣的充要條件：設(shè)V為m維向量空間，A為V的一個線性變換.那么存在V的一組基，使得A在這組基下的矩陣為對角矩陣的充要條件是A有m個線性無關(guān)的特征向量.4、方陣相似于對角矩陣的充要條件：n階方陣A相似于對角矩陣的充要條件是A有n個線性無關(guān)的特征向量.五、線性變換在不

8、同基下的矩陣的關(guān)系定理1 設(shè)V是域F上n維線性空間，V上的一個線性變換A在V的兩個基1n與1，n下的矩陣分別為A與B，從基i到基i的過渡矩陣S，則 B=S-1AS (1)證明： 有由已知條件我們有 A(1,n)=( 1,n)A (2) A(1,n)=( 1,)B (3) (1,)= ( 1,n)S (4)于是 A(1,) =A(1,n)S) =(A(1,n)S =(1,n)A)S=(1,n)(AS) =(1,)S-1)(AS)= (1,)(S-1AS) (5)比較（3）和（5）式得 B=S-1AS 定理1表明，同一個線性變換A在V的不同基下的矩陣是相似的。定理2 域F上n維線性空間V的同一個線

9、性變換A在V的所有各個基下的矩陣組成的集合恰好是Mn(F)的一個相似等價類。證明： 設(shè)A在V的一個基1,n下的矩陣為A，用A表示Mn(F)中由A確定的相似等價類。任取V的一個基1,n，設(shè)A在此基下的矩陣是B。據(jù)定理1，BA,從而BA。反之，任取CA，則有可逆矩陣U，使得C=U-1AU。令 （1,n）=(1,n)U (6)（1,n）是V的一個基，由定理1，A在即基1,n下的矩陣為U-1AU,即C是A在基i下的矩陣。有定理2知道，同一線性變換A在V的所有各個基下的矩陣組成的集合是Mn(F)的一個相似等價類。于是Mn(F)在相似關(guān)系下的不變量就反映了線性變換的內(nèi)在性質(zhì)，它們與基的選取無關(guān)。譬如n級矩

10、陣的行列式、秩、跡、特征多項式、特征值等都是Mn(F)的相似不變量，因此我們可以把線性變換A在某一個基下的矩陣A的行列式、秩、跡、特征多項式、特征值。分別稱為線性變換A的行列式、秩、跡、特征多項式、特征值。 *一個線性變換關(guān)于兩個基的矩陣的關(guān)系：設(shè)V是數(shù)域F上一個n維向量空間。是的V一個線性變換。假設(shè)關(guān)于V的兩個基和的矩陣分別是A 和B。即=，=令T是由基到基的過渡矩陣：=于是=因此（8）等式（8）說明了一個線性變換關(guān)于兩個基的矩陣的關(guān)系。設(shè)A，B是數(shù)域F上兩個n階矩陣。如果存在F上一個n階可逆矩陣T使等式（8）成立，那么就說B和A相似，并且記作AB(一) 特征值特征向量的求法 1、給定的數(shù)值

11、矩陣的特征值特征向量的求法. 解方程 求出A的全部特征值，對每個（不同的）特征值 ，解齊次線性方程組 其基礎(chǔ)解系便是A對應(yīng)于特征值 的線性無關(guān)的特征向量，其任意非零解使是A的對應(yīng)特征值 的特征向量. 2、求抽象矩陣的特征值，特征向量的方法一般是據(jù)定義，假定特征值，特征向量X,由AX=X代入相關(guān)的已知條件，求出, X. 3、相似的判定的基本方法，一般是據(jù)相似的傳遞性，判別兩矩陣相似的對角形（假定都相似）是否可以相同。矩陣A的屬于特征值的特征向量是不唯一，因為若 是A的屬于特征值 的特征向量，即有 ，則對任意常數(shù) 有 ，說明 也是A有屬于特征值 的特征向量，同樣可推出，若 都是A的屬于同一個特征值

12、 的特征向量，則對任意 ，只要 也是A的屬于特征值 的特征向量.向量 不可以即是A的屬于特征值 的特征向量，也是A的屬于特征值 的特征向量嗎， ，因為，若 兩式相減有 ，推出 ，從而 不是特征向量.A的屬于不同的特征的特征向量的線性組合（假定系數(shù)都不為0）不是A的特征向量 ，設(shè) 是A的分別屬于特征值 的特征向量，其中 為不等于0的常數(shù)，若 是A的特征向量，設(shè)對應(yīng)的特征值為，即 故有： 由于 所以 不全為0 線性相關(guān)，這與不同的特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)相矛盾，因此A的屬于不同特征值的特征向量的線性組合在系數(shù)全不為0（從推導(dǎo)過程中知，只要有兩個系數(shù)不為0時也成立）時，不會是A的特征向量. 相似矩陣A、B的特征值有何關(guān)系，相似矩陣有相同的特征值，因為AB，即存在可逆方陣C，使從而 。也就是說相似矩陣有相同的特征多項式，因而有相同的特征值，同時也有相同的行列式，相同的跡，相同的秩等.（但反之不一定成立），不過，相似矩陣的特征向量不一定相同，如 則AB 即 是A的特征向量，但 ，故 不是B的特征向量.六、對角矩陣定義1 域F上n維線性空間V上的一個線性變換A稱為可對角化的，如果V中存在一個基，使得A在這個基下的矩陣為對角矩陣。定理1 域F上n維線性空間V上的一個線性變換A可對角化得充分必要條件是，A有n各線性無關(guān)的特征向量，也就是，V中存在