工學復變函數(shù)與積分變換PPT課件

1、復數(shù)列的極限復數(shù)列的極限稱 為復數(shù)列, 簡稱 (1,2,3,)nnnain為數(shù)列, 記為 .na定義4.1設 是數(shù)列， 是常數(shù). naai 如果e 0, 存在正整數(shù)N, 使得當nN 時, 不等式 naae e 成立, 則稱當n時, 收斂于 na, a或稱 是 的極限, 記作a nalim,nnaa 或 .naan 第1頁/共67頁復數(shù)列收斂與實數(shù)列收斂的關(guān)系lim,lim.nnnnaabbaabb=定理4.1 limnnaa 的充分必要條件是 該結(jié)論說明: 判別復數(shù)列的斂散性可轉(zhuǎn)化為判別兩個實數(shù)列的斂散性.第2頁/共67頁復數(shù)項級數(shù)復數(shù)項級數(shù)121nnnaaaa = =+=+ LLLL為復數(shù)項

2、級數(shù).稱121nnknkSaaaa= =+=+ L L為該級數(shù)的前 n 項部分和.設 是復數(shù)列, 則稱 nnnai第3頁/共67頁級數(shù)收斂與發(fā)散的概念定義4.2如果級數(shù) 121nnnaaaa = = =+ + + + + L LL L的部分和數(shù)列 收斂于復數(shù) S, 則稱級數(shù)收斂, nS這時稱S為級數(shù)的和, 并記做 1.nnaS 如果 不收斂，則稱級數(shù)發(fā)散. nS第4頁/共67頁復數(shù)項級數(shù)與實數(shù)項級數(shù)收斂的關(guān)系定理4.2 級數(shù) 收斂的充要11()nnnnnai條件是 都收斂, 并且 11, nnnn111.nnnnnnai 說明 復數(shù)項級數(shù)的收斂問題兩個實數(shù)項級數(shù)的收斂問題第5頁/共67頁級數(shù)收

3、斂的必要條件lim0.nna 定理4.3如果級數(shù) 收斂, 則 1nna 證明由定理4.2及實數(shù)項級數(shù)收斂的必要條件 知 lim0, lim0nnnnlim0.nna 重要結(jié)論: 發(fā)散.1lim0nnnnaa 于是在判別級數(shù)的斂散性時, 可先考察lim0.nna ?第6頁/共67頁定義4.3設 是復數(shù)項級數(shù), 如果正項1nna 級數(shù) 收斂, 則稱級數(shù) 絕對收斂. 若1nna 1nna 絕對收斂級數(shù)的性質(zhì)定理4.4若級數(shù) 絕對收斂, 則它收斂, 1nna 并且成立11.nnnnaa 1nna 絕對收斂 和 都絕對收斂. 1nn 1nn 發(fā)散，而 收斂，則稱級數(shù)條件收斂.1nna 1nna 推論第7

4、頁/共67頁解.)1(111)1(1121發(fā)發(fā)散散收收斂斂，發(fā)發(fā)散散， nnnninnn絕絕對對收收斂斂。收收斂斂， 000!)8(!8!8)2(nnnnnnninni.)2)1(21)1()3(111收收斂斂收收斂斂，收收斂斂， nnnnnnninn例4.1否否絕絕對對收收斂斂？下下列列級級數(shù)數(shù)是是否否收收斂斂？是是 011)2)1()3(!)8()2()1(1)1(nnnnnninninin.)1(1原原級級數(shù)數(shù)非非絕絕對對收收斂斂收收斂斂，條條件件又又 nnn第8頁/共67頁1 冪級數(shù)的概念2 冪級數(shù)的斂散性3 冪級數(shù)的性質(zhì)4.2 4.2 冪冪 級級 數(shù)數(shù)第9頁/共67頁為復變函數(shù)項級數(shù)

5、. 121( )( )( )( )nnnfzf zfzfz )()()()(21zfzfzfzSnn 為該級數(shù)前n項的部分和.設 是定義在區(qū)域D上的復變函數(shù)列, ( )nfz稱冪級數(shù)的概念冪級數(shù)的概念第10頁/共67頁 )()()()(21zfzfzfzSn稱為該級數(shù)在區(qū)域D上的和函數(shù).如果對 級數(shù) 收斂, 即 0,zD 01()nnfz 00lim()(),nnSzS z 則稱級數(shù) 在 點收斂, 且 是級數(shù)和. 1( )nnfz 0z0()S z如果級數(shù) 在D內(nèi)處處收斂, 則稱其在 1( )nnfz 區(qū)域D內(nèi)收斂. 此時級數(shù)的和是函數(shù)第11頁/共67頁20010200()()()nnna z

6、zaa zza zz 20120,nnnnna zaa za za z 這類函數(shù)項級數(shù)稱為冪級數(shù).當 或 時,110( )()nnnfzazz 11( )nnnfzaz 或 的特殊情形00z 函數(shù)項級數(shù)的形式為0(),nnazz第12頁/共67頁定理4.5 (Abel定理)若級數(shù) 在 0nnna z 10z 處收斂，則當 時, 級數(shù) 絕對收斂; 0nnna z 1zz 若級數(shù) 在 處發(fā)散，則當 時, 級數(shù) 0nnna z 2z2zz 0nnna z 發(fā)散. 冪級數(shù)的斂散性冪級數(shù)的斂散性第13頁/共67頁收斂圓與收斂半徑(1) 對所有的正實數(shù)都收斂.級數(shù)在復平面內(nèi)絕對收斂.(2) 對所有的正實數(shù)

7、都發(fā)散.級數(shù)在復平面內(nèi)除原點外處處發(fā)散.(3) 既存在使級數(shù)發(fā)散的正實數(shù), 也存在使級數(shù)收斂的正實數(shù).設 時, 級數(shù)收斂; 時, 級數(shù)發(fā)散. 如圖:z z 由 , 冪級數(shù) 收斂情況有三種:0nnna z 第14頁/共67頁xyo . .R收斂圓收斂半徑冪級數(shù)0nnna z = = 的收斂范圍是以原點為中心的圓域.1 1 .第15頁/共67頁 冪級數(shù)00()nnnazz 的收斂范圍是因此，事實上, 冪級數(shù)在收斂圓周上斂散性的討問題：冪級數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何?以 為中心的圓域.0zz 收斂半徑根據(jù)前面所述的三種情形, 分別, 0, . R規(guī)定為論比較復雜, 沒有一般的結(jié)論, 要對具體級數(shù)進行

8、具體分析.第16頁/共67頁解2111(1).1nnnzSzzzzz 1 z1lim1nnSz 級數(shù) 0nnz收斂,1 z0lim nnz級數(shù) 0nnz發(fā)散.絕對收斂, 且有在 內(nèi), 級數(shù)1z 0nnz例4.2 求級數(shù) 的和函數(shù)與收斂半徑.0nnz 所以收斂半徑1,R 01.1nnzz 第17頁/共67頁收斂半徑的計算方法(一)(3) 當 時, 收斂半徑 1.Rr r= =0 1lim,nnnaa ;R (1) 當 時, 收斂半徑 0 0;R (2) 當 時, 收斂半徑 定理4.6 (比值法)設級數(shù) 如果0.nnna z 則第18頁/共67頁收斂半徑的計算方法(二)(3) 當 時, 收斂半徑

9、1.Rr r= =0 lim,nnna ;R (1) 當 時, 收斂半徑 0 0;R (2) 當 時, 收斂半徑 定理4.7 (根值法)設級數(shù) 如果0.nnna z 則第19頁/共67頁由于冪級數(shù)在收斂圓的內(nèi)部絕對收斂，因此可得出下面幾個性質(zhì). 性質(zhì)4.1(1) 設級數(shù) 和 的收斂0nnna z 0nnnb z 半徑分別為 和 1R2,R則在 內(nèi), 12min(,)zRR R000(),nnnnnnnnnnab za zb z 0110000.nnnnnnnnnnna zb za ba ba bz 冪級數(shù)的性質(zhì)冪級數(shù)的性質(zhì)第20頁/共67頁(2) 設級數(shù) 的收斂半徑為 r.0( )nnnf z

10、a z 如果在 內(nèi), 函數(shù) 解析, 并且Rz )(zg,)(rzg 則當 時,Rz 0 ( ) ( ) .nnnf g zag z 說明: 上述運算常應用于將函數(shù)展開成冪級數(shù).前面關(guān)于級數(shù) 的性質(zhì), 如果將 換成0nnna z z0zz 之后, 對于級數(shù) 當然也成立. 00()nnnazz 第21頁/共67頁bz 1例4.3 把函數(shù) 表示成形如0()nnnaza = =- - 的冪級數(shù), 其中a與b是不相等的復常數(shù) . bz1)()(1abaz 11.1zababa 代數(shù)變形 , 使其分母中出現(xiàn))(az 湊出)(11zg 把函數(shù) 寫成如下的形式:bz 1第22頁/共67頁211.1nzazaz

11、azababababa 2231111()()()()zazazbbababa 11().()nnzaba 當 即 時,1,zaba zaRba所以第23頁/共67頁定理4.8設冪級數(shù) 收斂半徑00()nnnazz 為R, 并且在 內(nèi), 0zzR 00( )() ,nnnf zazz 則 是 內(nèi)的解析函數(shù), 且在收斂圓 ( )f z0zzR 0zzR 內(nèi), 可以逐項求導和逐項積分, 即 (1) 當 時, 0zzR 101( );nnnfznazz 第24頁/共67頁(2) 設C是 內(nèi)的一條分段光滑曲線,0zzR 則 00( )dd .nnCCnf zzazzz 特別地, 如果C是圓內(nèi)部的以z0

12、為起點、z為 終點的分段光滑曲線, 則 0100( )d.1znnznaf zzzzn 第25頁/共67頁1 Taylor級數(shù)展開定理2 將函數(shù)展開成Taylor級數(shù)4.3 4.3 Taylor級數(shù)級數(shù)第26頁/共67頁實函數(shù)在一點的鄰域內(nèi)展開成Taylor級數(shù)是非常重要的問題，它是表示函數(shù)、研究函數(shù)性質(zhì)以及進行數(shù)值計算的一種工具. 對于復變函數(shù), 我們已經(jīng)知道冪級數(shù)在收斂圓域內(nèi)收斂于解析函數(shù). 在本節(jié)我們將證明解析函數(shù)在解析點的某鄰域內(nèi)一定能夠展開成冪級數(shù)Taylor級數(shù). 這是解析函數(shù)的重要特征. Taylor級數(shù)展開定理級數(shù)展開定理第27頁/共67頁R為 到D邊界的距離0z定理4.9 (

13、Taylor展開定理) 設 在區(qū)域D)(zf內(nèi)解析,0z為D內(nèi)的一點,)()(00 nnnzzczf 0, 1, 2,.n D0z.R(D是全平面時, R=+), 則 在 內(nèi)可0zzR( )f z展開為冪級數(shù) 其中( )01()!nncfzn 系數(shù)cn按上述表示的冪級數(shù)稱為( )f z在 點的Taylor級數(shù). 0z第28頁/共67頁Taylor展開式的惟一性定理定理4.10設 ( )f z是 D上的解析函數(shù), 0z是 D內(nèi)的點，且在 0zzR 內(nèi)可展成冪級數(shù)00( )() ,nnnf zczz 則這個冪級數(shù)是 ( )f z在0z點的Taylor級數(shù)，即( )0() (0,1, 2,).!nn

14、fzcnn 注 這個定理為把函數(shù)展開成Taylor級數(shù)的間接方法奠定了基礎(chǔ).第29頁/共67頁將函數(shù)展開成將函數(shù)展開成Taylor級數(shù)級數(shù)將函數(shù)展開為Taylor級數(shù)的方法:1. 直接方法; 2. 間接方法.1. 直接方法 ( )01()0,1,2,!nncfznn由Taylor展開定理計算級數(shù)的系數(shù)然后將函數(shù) f (z)在z0 展開成冪級數(shù).第30頁/共67頁例4.4 求( )zf ze 在0z 的Taylor展開式.( )( )00(0)()1,nznzzzfee 所以它在 0z 處的Taylor級數(shù)為( )00(0)!nnznnnfzeznn 21,2!nzzzn并且收斂半徑.R 因為(

15、 )zf ze 在復平面上解析，且 第31頁/共67頁2. 間接方法 借助于一些已知函數(shù)的展開式 , 結(jié)合解析函數(shù)的性質(zhì), 冪級數(shù)運算性質(zhì) (逐項求導, 逐項積分等)和其它的數(shù)學技巧 (代換等) , 求函數(shù)的Taylor展開式.間接法的優(yōu)點: 不需要求各階導數(shù)與收斂半徑 , 因而比直接展開更為簡潔 , 使用范圍也更為廣泛 .第32頁/共67頁例4.5利用00111cos( )(),22!iziznnnneeziziznn 22420( 1)cos1( 1),(2 )!2!4!(2 )!nnnnnzzzzznn 并且收斂半徑.R 同理210( 1)sin(21)!nnnzzn 3521( 1)

16、.3!5!(21)!nnzzzzzn 本例利用直接方法也很簡單以及可解得 和第33頁/共67頁 211( 1) 1 ,1nnzzzzz 例4.6求 21( )(1)f zz 在0z 點鄰域內(nèi) 的Taylor級數(shù). 解11z 是( )f z的惟一奇點, 且 101,z 故收斂半徑1.R 在 中，用z替換 -z, 則 逐項求導，得 221123( 1) (1) 1 .(1)nnzznzzz 第34頁/共67頁例 4.7將 221( )1f zz 展開為z的冪級數(shù). 201( 1) (1) 1 ,(1)nnnn 令 則 2,z 22201( 1) (1)(1)nnnnzz 242123( 1) (1

17、) 1 .nnzznzz 根據(jù)例4.6， 第35頁/共67頁例4.8 求對數(shù)函數(shù)的主值 ln(1) z 在z=0點的Taylor級數(shù). 負實軸向左的射線的區(qū)域內(nèi)解析. 1 Ro1 1xy因為 1ln(1),1zz 并且由 有 211( 1) 1 ,1nnzzzzz 函數(shù) ln(1) z 在復平面中割去從點-1沿 第36頁/共67頁所以 ln(1) z 根據(jù) ，把上式逐項積分，得10( 1)ln(1)1nnnzzn 231( 1) 1 .23nnzzzzzn 21( 1) 1 .nnzzzz 1 Ro1 1xy第37頁/共67頁例4.9求冪函數(shù) (1) z (為復數(shù))的主值 ln(1)( ),

18、(0)1zf zef 在z=0點的Taylor展開式. 實軸向左的射線的區(qū)域內(nèi)解析. 1 Ro1 1xy因此在 內(nèi), 1z 可展開為z的冪級數(shù). ( )f z根據(jù)復合函數(shù)求導法則, 按照直接方法展開如下: 顯然, ( )f z在復平面中割去從點-1沿負第38頁/共67頁ln(1)(1)ln(1)1( ),1zzfzeez (2)ln(1)( )(1),zfze ( )()ln(1)( )(1)(1),nnzfzne 令z=0, 有 (0)1,(0),(0)(1),fff ( )(0)(1)(1), nfn 第39頁/共67頁于是(1) z (1)(1)!nnzn 23(1)(1)(2)12!3

19、!zzz 1 .z 第40頁/共67頁1111( )111,111(1)2212zf zzzzz 例4.10將函數(shù) ( )1zf zz 在01z 處展開 成Taylor級數(shù)，并指出該級數(shù)的收斂范圍. 10011(1)( )1( 1)1( 1).222nnnnnnnzzf z 當 即 時,11,2z 12z 第41頁/共67頁附: 常見函數(shù)的Taylor展開式20(1)1,2!nnznzzzeznn 201(2)1,1nnnzzzzz 201(3)1( 1)( 1),1nnnnnzzzzz 3521(4)sin( 1),3!5!(21)!nnzzzzzn )1( z)1( z)( z)( z第4

20、2頁/共67頁242(5)cos1( 1),2!4!(2 )!nnzzzzn )( z231(6) ln(1)( 1),231nnzzzzzn 011)1(nnnnz)1( z23(1)(1)(2)(7)(1)12!3!zzzz ,!)1()1( nznn )1( z第43頁/共67頁1 Laurent級數(shù)的概念2 函數(shù)的Laurent級數(shù)展開3 典型例題4.4 4.4 Laurent級數(shù)級數(shù)第44頁/共67頁Laurent 級數(shù)的概念級數(shù)的概念如果函數(shù)f (z)在z0點解析, 則在z0的某鄰域內(nèi), 可展開為Taylor級數(shù), 其各項由z-z0的非負冪組成. 如果f (z)在圓環(huán)域 102Rz

21、zR 內(nèi)解析, 則 f (z)在這個圓環(huán)域內(nèi)不一定都能展開為z-z0的冪級數(shù). 本節(jié)將引進一種在圓環(huán)域收斂的雙邊冪級數(shù),即Laurent級數(shù). 它將在后面討論孤立奇點與留數(shù)及Z變換理論中起重要作用.第45頁/共67頁0() .nnnczz 負冪項部分正冪項部分主要部分解析部分nnnnzzc)(0 nnnzzc )(01這種雙邊冪級數(shù)的形式為同時收斂 Laurent級數(shù) nnnzzc)(00 收斂第46頁/共67頁nnnzzc)(00 nnnzzc )(0110)( zz 令令nnnc 1收斂半徑R收斂收斂時時,R 101RRzz 收斂域收斂半徑R220Rzz 收斂域:)1( 21RR 若若兩收

22、斂域無公共部分;:)2(21RR 兩收斂域有公共部分.201RzzR 第47頁/共67頁結(jié)論:的的收收斂斂區(qū)區(qū)域域為為雙雙邊邊冪冪級級數(shù)數(shù)nnnzzc)(0 .201RzzR 圓環(huán)域圓環(huán)域1R2R.0z常見的特殊圓環(huán)域:2R.0z200Rzz 1R.0z 01zzR 00zz.0z第48頁/共67頁(1) 冪級數(shù)的收斂域是圓域,且和函數(shù)在收斂域 內(nèi)解析.(2) 在圓域內(nèi)的解析函數(shù)一定能展開成冪級數(shù).對于Laurent級數(shù)，已經(jīng)知道： Laurent級數(shù)的收斂域是圓環(huán)域，且和函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)解析. 問題: 在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否可以展開成Laurent級數(shù)?對于通常的冪級數(shù)，討論了下面兩個問題:

23、第49頁/共67頁函數(shù)的函數(shù)的Laurent 級數(shù)展開級數(shù)展開定理4.12(Laurent展開定理) 設 120,RR 函數(shù)f (z)在圓環(huán)域 102RzzR 內(nèi)解析, 則函數(shù)f (z) 在此環(huán)域內(nèi)可展開為Laurent級數(shù) 0102( )() ,nnnf zczzRzzR 其中101( )d (0, 1, 2,),2()nnCf zcz nizz C是圓周 的正向. 012 ()zzR RRR 第50頁/共67頁注 函數(shù)f (z)展開成Laurent級數(shù)的系數(shù) 101( )d2()nnCf zczizz 與展開成Taylor級數(shù)的系數(shù)在形式上完全相同, 但 這里的函數(shù)f (z)在圓環(huán)域 10

24、2RzzR 內(nèi)解析, 在01zzR 內(nèi)不一定解析, 所以不能化為z0處的導數(shù) ( )01().!nfzn特別地, 如果函數(shù) f (z)在02zzR 內(nèi)解析, 那么根據(jù)柯西-古薩定理, 01, 2,ncn 所以Laurent級數(shù)包含了Taylor級數(shù).第51頁/共67頁Laurent展開式的惟一性定理定理4.13 設函數(shù)f (z)在圓環(huán)域102RzzR 內(nèi)解析, 并且可以展開成雙邊冪級數(shù)0() ,nnnczz 則 其中C101( )d (0, 1, 2,),2()nnCf zcz nizz 的正向. 012 ()zzR RRR 是圓周注 函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)Laurent展開式是惟一的. 因此為函數(shù)展

25、開成Laurent級數(shù)的間接方法奠定了基礎(chǔ).第52頁/共67頁將函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)展開成Laurent級數(shù), 理論(1) 直接方法 直接計算展開式系數(shù)然后寫出Laurent展開式.)()(0nnnzzczf 這種方法只有理論意義, 而沒有實用價值. 就是 上應該有兩種方法: 直接方法與間接方法.101( )d (0, 1, 2,),2()nnCf zcz nizz 說, 只有在進行理論推導時, 才使用這種表示方法.第53頁/共67頁 根據(jù)解析函數(shù) Laurent 級數(shù)展開式的惟一性,可運用代數(shù)運算、代換、求導和積分等方法去將函數(shù)展開成Laurent 級數(shù).(2) 間接方法這是將函數(shù)展開成Laure

26、nt 級數(shù)的常用方法. 給定函數(shù))(zf與復平面內(nèi)的一點0z以后, 函數(shù)在各個不同的圓環(huán)域中有不同的Laurent展開式(包括Taylor展開式作為特例). 這與Laurent展開式的惟一性并不矛盾, 在同一圓環(huán)域內(nèi)的展開式惟一.第54頁/共67頁(1) 01;z(2) 12;z(3) 2;z 內(nèi)展開成Laurent級數(shù).例4.11 將函數(shù)1 ( )(1)(2)f zzz 在圓環(huán)域(4) 011z 處都解析, 并且可分解為 11( ).12f zzz 典型例題典型例題函數(shù)f (z)在z=1和z=2處不解析, 在其它點第55頁/共67頁oxy1(1) 在 內(nèi), 有 則 1z 1,2z 211,1

27、nzzzz 22311111.2222212nnzzzzzz 22231( )(1)222zzf zzz2137.248zz于是在 內(nèi)， 01z第56頁/共67頁12oxyzzz111111 21111,zzz 1 z11,z 2 z1.2z 2112121zz2211.2222nnzzz(2) 在 內(nèi), 有 12z 第57頁/共67頁2221111 ( )11222zzf zzzz 2oxy2 z11,z 于是在 內(nèi), 12z 1211111.22nnnnzzzzzz(3) 在 內(nèi), 有 2z 2 z21.z 第58頁/共67頁23111111,111zzzzzz 21111241.221zzzzzz 于是在 內(nèi), 2z 2323124111( )f zzzzzzz 234137.