八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)_全等三角形(常見(jiàn)輔助線(xiàn))

1、專(zhuān)題學(xué)習(xí)專(zhuān)題學(xué)習(xí) -幾何證明中常見(jiàn)的幾何證明中常見(jiàn)的 “ “添輔助線(xiàn)添輔助線(xiàn)”方法方法 -“ -“周長(zhǎng)問(wèn)題周長(zhǎng)問(wèn)題”的轉(zhuǎn)化的轉(zhuǎn)化.連結(jié)連結(jié)典例典例1: 1:如圖如圖,AB=AD,BC=DC,AB=AD,BC=DC,求證求證:B=D.:B=D.ACBD1. 1.連結(jié)連結(jié)ACAC構(gòu)造全等三角形構(gòu)造全等三角形2. 2.連結(jié)連結(jié)BDBD構(gòu)造兩個(gè)等腰三角形構(gòu)造兩個(gè)等腰三角形目的目的: :構(gòu)造構(gòu)造全等三角形全等三角形或或等腰三角形等腰三角形.連結(jié)連結(jié)典例典例2: 2:如圖如圖,AB=AE,BC=ED, B=E,AMCD,AB=AE,BC=ED, B=E,AMCD, 求證求證: :點(diǎn)點(diǎn)M M是是CDCD的中

2、點(diǎn)的中點(diǎn). .ACBD連結(jié)連結(jié)ACAC、ADAD構(gòu)造全等三角形構(gòu)造全等三角形EM.連結(jié)連結(jié)典例典例3: 3:如圖如圖,AB=AC,BD=CD, M,AB=AC,BD=CD, M、N N分別是分別是BDBD、CDCD的中點(diǎn)，求證：的中點(diǎn)，求證：AMBAMB ANCANCACBD連結(jié)連結(jié)ADAD構(gòu)造全等三角形構(gòu)造全等三角形NM.連結(jié)連結(jié)典例典例4: 4:如圖如圖,AB,AB與與CDCD交于交于O, O, 且且AB=CDAB=CD，AD=BCAD=BC，OB=5cmOB=5cm，求，求ODOD的長(zhǎng)的長(zhǎng). .ACBD連結(jié)連結(jié)BDBD構(gòu)造全等三角形構(gòu)造全等三角形O.角平分線(xiàn)上點(diǎn)向兩邊作垂線(xiàn)段角平分線(xiàn)上點(diǎn)

3、向兩邊作垂線(xiàn)段典例典例1: 1:如圖如圖, ,ABCABC中中, C =90, C =90o o,BC=10,BD=6,BC=10,BD=6, AD AD平分平分BAC,BAC,求點(diǎn)求點(diǎn)D D到到ABAB的距離的距離. .ACD過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)D D作作DEABDEAB構(gòu)造了構(gòu)造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形且且距離相等距離相等BE目的目的: :構(gòu)造構(gòu)造直角三角形直角三角形, ,得到得到距離相等距離相等.角平分線(xiàn)上點(diǎn)向兩邊作垂線(xiàn)段角平分線(xiàn)上點(diǎn)向兩邊作垂線(xiàn)段典例典例2: 2:如圖如圖, ,ABCABC中中, C =90, C =90o o,AC=BC,AC=BC, AD AD平分平分BAC,B

4、AC,求證求證:AB=AC+DC.:AB=AC+DC.ACD過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)D D作作DEABDEAB構(gòu)造了構(gòu)造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形且且距離相等距離相等BE 思考思考: : 若若AB=15cm,AB=15cm,則則BEDBED的周長(zhǎng)是多少的周長(zhǎng)是多少? ?.角平分線(xiàn)上點(diǎn)向兩邊作垂線(xiàn)段角平分線(xiàn)上點(diǎn)向兩邊作垂線(xiàn)段典例典例3: 3:如圖如圖, ,梯形中梯形中, A= D =90, A= D =90o o, , BE BE、CECE均是角平分線(xiàn)均是角平分線(xiàn), , 求證求證:BC=AB+CD.:BC=AB+CD.ACD過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)E E作作EFBCEFBC構(gòu)造了構(gòu)造了: :全等的全等的直角三角形

5、直角三角形且且距離相等距離相等BF 思考思考: : 你從本題中還能得到哪些結(jié)論你從本題中還能得到哪些結(jié)論? ?E.角平分線(xiàn)上點(diǎn)向兩邊作垂線(xiàn)段角平分線(xiàn)上點(diǎn)向兩邊作垂線(xiàn)段2. 2.如圖如圖, ,梯形中梯形中, A= D =90, A= D =90o o, , BE BE、CECE均是角平分線(xiàn)均是角平分線(xiàn), , 求證求證:BC=AB+CD.:BC=AB+CD.延長(zhǎng)延長(zhǎng)BEBE和和CDCD交于點(diǎn)交于點(diǎn)F F構(gòu)造了構(gòu)造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形F 思考思考: : 你從本題中還能得到哪些結(jié)論你從本題中還能得到哪些結(jié)論? ?ACDBE.角平分線(xiàn)上點(diǎn)向兩邊作垂線(xiàn)段角平分線(xiàn)上點(diǎn)向兩邊作垂線(xiàn)段典例典

6、例4: 4:如圖如圖,OC ,OC 平分平分AOB, DOE +DPE =180AOB, DOE +DPE =180o o, , 求證求證: PD=PE.: PD=PE.ACD過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P P作作PFOA,PG OBPFOA,PG OB構(gòu)造了構(gòu)造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形且且距離相等距離相等BF 思考思考: : 你從本題中還能得到哪些結(jié)論你從本題中還能得到哪些結(jié)論? ?EPGO目的目的: :構(gòu)造構(gòu)造直角三角形直角三角形, ,得到得到斜邊相等斜邊相等.垂直平分線(xiàn)上點(diǎn)向兩端連線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上點(diǎn)向兩端連線(xiàn)段 ABC中中,ABAC ，A的平分線(xiàn)與的平分線(xiàn)與BC的垂直平分線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)DM相

7、交于相交于D，過(guò)，過(guò)D作作DE AB于于E，作，作DFAC于于F。 求證：求證：BE=CFABCDEFM連接連接DB,DC垂直平分線(xiàn)上點(diǎn)向兩端連線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上點(diǎn)向兩端連線(xiàn)段1.AD1.AD是是ABCABC的中線(xiàn)，的中線(xiàn)，.中線(xiàn)延長(zhǎng)一倍中線(xiàn)延長(zhǎng)一倍ABCDE)(21ACABAD求證：延長(zhǎng)延長(zhǎng)ADAD到點(diǎn)到點(diǎn)E E，使，使DE=ADE=AD D，連結(jié)連結(jié)CE.CE.目的目的: :構(gòu)造構(gòu)造直角三角形直角三角形, ,得到得到斜邊相等斜邊相等m = 42.35m = 42.23已知在已知在ABC中，中，C=2B, 1=2求證求證:AB=AC+CDADBCE12在在AB上取點(diǎn)上取點(diǎn)E使得使得AE=AC，

8、連接，連接DE截長(zhǎng)截長(zhǎng)F在在AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上取點(diǎn)的延長(zhǎng)線(xiàn)上取點(diǎn)F使得使得CF=CD，連接，連接DF補(bǔ)短補(bǔ)短A1BCD234如圖所示，已知如圖所示，已知ADBC，1=2，3=4，直線(xiàn)，直線(xiàn)DC經(jīng)過(guò)點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)E交交AD于點(diǎn)于點(diǎn)D，交交BC于點(diǎn)于點(diǎn)C。求證：。求證：AD+BC=ABEF在在AB上取點(diǎn)上取點(diǎn)F使得使得AF=AD,連接連接EF截長(zhǎng)補(bǔ)短1. 1.如圖如圖, ,ABCABC中中,C=90,C=90o o,AC=BC,AD,AC=BC,AD平分平分ACB,ACB, DEAB. DEAB.若若AB=6cm,AB=6cm,則則DBEDBE的周長(zhǎng)是多少的周長(zhǎng)是多少? ?.“.“周長(zhǎng)問(wèn)題周長(zhǎng)問(wèn)題”的轉(zhuǎn)化的

9、轉(zhuǎn)化 借助借助“角平分線(xiàn)性質(zhì)角平分線(xiàn)性質(zhì)”BACDEBE+BD+DEBE+BD+CDBE+BCBE+ACBE+AEAB2. 2.如圖如圖, ,ABCABC中中, D, D在在ABAB的垂直平分線(xiàn)上的垂直平分線(xiàn)上, ,E E在在ACAC的垂直平分線(xiàn)上的垂直平分線(xiàn)上. .若若BC=6cm,BC=6cm,求求ADEADE的周長(zhǎng)的周長(zhǎng). .“.“周長(zhǎng)問(wèn)題周長(zhǎng)問(wèn)題”的轉(zhuǎn)化的轉(zhuǎn)化 借助借助“垂直平分線(xiàn)性質(zhì)垂直平分線(xiàn)性質(zhì)”BACDEAD+AE+DEBD+CE+DEBC3. 3.如圖如圖,A,A、A A1關(guān)于關(guān)于OMOM對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng), A, A、A A2關(guān)于關(guān)于ONON對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng). .若若A A1 A A2 =6c

10、m, =6cm,求求ABCABC的周長(zhǎng)的周長(zhǎng). .“.“周長(zhǎng)問(wèn)題周長(zhǎng)問(wèn)題”的轉(zhuǎn)化的轉(zhuǎn)化 借助借助“垂直平分線(xiàn)性質(zhì)垂直平分線(xiàn)性質(zhì)”BACOMAB+AC+BCA A1 B+ A A2 C+BCA A1 A A2A1A2N4. 4.如圖如圖, , ABCABC中，中，MNMN是是ACAC的垂直平分線(xiàn)的垂直平分線(xiàn). .若若AN=3cm, AN=3cm, ABMABM周長(zhǎng)為周長(zhǎng)為13cm13cm，求，求ABCABC的周長(zhǎng)的周長(zhǎng). .“.“周長(zhǎng)問(wèn)題周長(zhǎng)問(wèn)題”的轉(zhuǎn)化的轉(zhuǎn)化 借助借助“垂直平分線(xiàn)性質(zhì)垂直平分線(xiàn)性質(zhì)”BACMAB+BC+ACAB+ BM+MC+6NAB+ BM+AM+613+65. 5.如圖如圖, , ABCABC中，中，BPBP、CPCP是是ABCABC的角平分線(xiàn)，的角平分線(xiàn)，MN/BC.MN/BC.若若BC=6cm, BC=6cm, AMNAMN周長(zhǎng)為周長(zhǎng)為13cm13cm，求，求ABCABC的周長(zhǎng)的周長(zhǎng). .“.“周長(zhǎng)問(wèn)題周長(zhǎng)問(wèn)題”的轉(zhuǎn)化的轉(zhuǎn)化 借助借助“等腰三角形性質(zhì)等腰三角形性質(zhì)”BACPAB+AC+BCAM+ BM+AN+NC+6NAM+ MP+AN+NP+613+6MAM+AN+MN+6線(xiàn)段與角求相等，先找全等試試看。線(xiàn)段與角求相等，