高等數(shù)學(xué)：4-1 不定積分的概念與性質(zhì)

1、4-1 不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì)一、原函數(shù)與不定積分的概念一、原函數(shù)與不定積分的概念二、基本積分表二、基本積分表三、不定積分的性質(zhì)三、不定積分的性質(zhì)例例 xxcossin xsin是是xcos的的原原函函數(shù)數(shù). )0(1ln xxxxln是是x1在區(qū)間在區(qū)間), 0( 內(nèi)的原函數(shù)內(nèi)的原函數(shù).如果在區(qū)間如果在區(qū)間I內(nèi)，內(nèi)，定義：定義：可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù))(xF的的即即Ix ，都都有有)()(xfxF 或或dxxfxdF)()( ，那那么么函函數(shù)數(shù))(xF就就稱稱為為)(xf導(dǎo)函數(shù)為導(dǎo)函數(shù)為)(xf，或或dxxf)(在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)原原函函數(shù)數(shù). .一、原函數(shù)與不定積分的概念一、原

2、函數(shù)與不定積分的概念原函數(shù)存在定理：原函數(shù)存在定理：如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)連續(xù)，內(nèi)連續(xù)，簡言之：簡言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).問題：問題：(1) 原函數(shù)是否唯一？原函數(shù)是否唯一？例例 xxcossin xCxcossin （ 為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）C那那么么在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)存存在在可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù))(xF，使使Ix ，都有，都有)()(xfxF . .(2) 若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？關(guān)于原函數(shù)的說明：關(guān)于原函數(shù)的說明：（1）若）若 ，則對于任意常數(shù)，則對于任意常數(shù) ，)()(xfxF CCxF )(都都是是)(xf的的原

3、原函函數(shù)數(shù).（2）若）若 和和 都是都是 的原函數(shù)，的原函數(shù)，)(xF)(xG)(xf則則CxGxF )()(（ 為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）C證證 )()()()(xGxFxGxF 0)()( xfxfCxGxF )()(（ 為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）C任意常數(shù)任意常數(shù)積分號積分號被積函數(shù)被積函數(shù)不定積分的定義：不定積分的定義：在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)，CxFdxxf )()(被積表達式被積表達式積分變量積分變量函函數(shù)數(shù))(xf的的帶帶有有任任意意常數(shù)項的原函數(shù)常數(shù)項的原函數(shù)稱稱為為)(xf在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)的的不定積分不定積分，記為，記為 dxxf)(. .例例1 1 求求.5dxx 解解,656xx

4、 .665Cxdxx 解解例例2 2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 Cxdxx例例3 3 設(shè)曲線通過點（設(shè)曲線通過點（1，2），且其上任一點處的），且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程切線斜率等于這點橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程.解解設(shè)曲線方程為設(shè)曲線方程為),(xfy 根據(jù)題意知根據(jù)題意知,2xdxdy 即即)(xf是是x2的一個原函數(shù)的一個原函數(shù).,22 Cxxdx,)(2Cxxf 由曲線通過點（由曲線通過點（1，2）, 1 C所求曲線方程為所求曲線方程為. 12 xy函函數(shù)數(shù))(xf的的原原函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形稱稱為為)(xf的

5、的積積分分曲曲線線.顯然，求不定積分得到一積分曲線族顯然，求不定積分得到一積分曲線族.由不定積分的定義，可知由不定積分的定義，可知 ),()(xfdxxfdxd ,)()(dxxfdxxfd ,)()( CxFdxxF.)()( CxFxdF結(jié)論：結(jié)論： 微分運算與求不定積分的運算是微分運算與求不定積分的運算是的的.實例實例 xx 11.11Cxdxx 啟示啟示能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？結(jié)論結(jié)論既然積分運算和微分運算是互逆的，既然積分運算和微分運算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式.)1( 二、二、 基本積分表基本積分表

6、基基本本積積分分表表 kCkxkdx()1(是常數(shù)是常數(shù)););1(1)2(1 Cxdxx;ln)3( Cxxdx說明：說明： , 0 x,ln Cxxdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( Cxxdx,|ln Cxxdx簡寫為簡寫為.ln Cxxdx dxx211)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx xdx2cos)8( xdx2sec;tanCx xdx2sin)9( xdx2csc;cotCx xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxe

7、x)12(;Cex dxax)13(;lnCaax 例例4 4 求積分求積分.2dxxx 解解dxxx 2dxx 25Cx 125125.7227Cx 根據(jù)積分公式（根據(jù)積分公式（2）Cxdxx 11 dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf證證 dxxgdxxf)()( dxxgdxxf)()().()(xgxf 等式成立等式成立.（此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況）（此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況）三、三、 不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì) dxxkf)()2(.)( dxxfk（k是是常常數(shù)數(shù)，)0 k例例5 5 求積分求積分解解.)1213(22dxxx dxxx)

8、1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 C 例例6 6 求積分求積分解解.)1(122dxxxxx dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112.lnarctanCxx 例例7 7 求積分求積分解解.)1(21222dxxxx dxxxx )1(21222dxxxxx )1(12222dxxdxx 22111.arctan1Cxx 例例8 8 求積分求積分解解.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121.tan21Cx 說明：說明： 以上幾例中的被積函數(shù)都需

9、要進行以上幾例中的被積函數(shù)都需要進行恒等變形，才能使用基本積分表恒等變形，才能使用基本積分表.例例 9 9 已知一曲線已知一曲線)(xfy 在點在點)(,(xfx處的處的切線斜率為切線斜率為xxsinsec2 ，且此曲線與，且此曲線與y軸的交軸的交點為點為)5 , 0(，求此曲線的方程，求此曲線的方程.解解,sinsec2xxdxdy dxxxy sinsec2,costanCxx , 5)0( y, 6 C所求曲線方程為所求曲線方程為. 6costan xxy基本積分表基本積分表(1)不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì) 原函數(shù)的概念：原函數(shù)的概念：)()(xfxF 不定積分的概念：不定積分的概念：

10、 CxFdxxf)()(求微分與求積分的互逆關(guān)系求微分與求積分的互逆關(guān)系四、四、 小結(jié)小結(jié)思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 證明證明 xxxx1arctan2)21arccos(),12arcsin(和.12的原函數(shù)都是xx2. 若若則的原函數(shù)是,)(exfx d)(ln2xxfx(P193題題7)提示提示:xe)(e)(xxfxlne)(ln xfx1Cx 2213. 若若)(xf是是xe的原函數(shù)的原函數(shù) , 則則xxxfd)(ln提示提示: 已知已知xxfe)(0e)(Cxfx01)(lnCxxfxCxxxf021)(lnCxCxln104. 若若)(xf;sin1)(xA;sin1)(xB的導(dǎo)函

11、數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)為,sin x則則)(xf的一個原函數(shù)的一個原函數(shù)是是 ( ) .;cos1)(xC.cos1)(xD提示提示: 已知已知xxfsin)(求求即即B)()(xfxsin)( ?或由題意或由題意,cos)(1Cxxf其原函數(shù)為其原函數(shù)為xxfd)(21sinCxCx5. 求下列積分求下列積分:.cossind)2(;)1 (d) 1 (2222xxxxxx提示提示:)1 (1)1 (1) 1 (2222xxxxxxxx2222cossincossin1)2(xx22cscsecxx22cossin22111xx)(2x2x6. 求不定積分求不定積分解：解：xxxd1e1e3xxxd1

12、e) 1(e) 1e(e2xxxxxd) 1ee(2Cxxxee2127. 已知已知22221d1d1xxBxxAxxx求求 A , B .解解: 等式兩邊對等式兩邊對 x 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得221xx22211xxAxA21xB2212)(xxABA120ABA2121BA作業(yè)P192 2 (5) , (12) , (14) , (20) , (23) , (25) , (26) ; 5 ; 6一、一、 填空題：填空題：1 1、 一個已知的函數(shù)，有一個已知的函數(shù)，有_個原函數(shù)，其中任意個原函數(shù)，其中任意兩個的差是一個兩個的差是一個_；2 2、 )(xf的的_稱為稱為)(xf的不定積分；的不定積

13、分；3 3、 把把)(xf的一個原函數(shù)的一個原函數(shù))(xF的圖形叫做函數(shù)的圖形叫做函數(shù))(xf的的_，它的方程是，它的方程是)(xFy ，這樣不定積，這樣不定積 dxxf)(在幾何上就表示在幾何上就表示_，它的方程是，它的方程是 CxFy )(；4 4、 由由)()(xfxF 可 知 ， 在 積 分 曲 線 族可 知 ， 在 積 分 曲 線 族CxFy )( )(是任意常數(shù)是任意常數(shù)C上橫坐標(biāo)相同的點上橫坐標(biāo)相同的點處作切線，這些切線彼此是處作切線，這些切線彼此是_的；的；5 5、 若若)(xf在某區(qū)間上在某區(qū)間上_，則在該區(qū)間上，則在該區(qū)間上)(xf的的 原函數(shù)一定存在；原函數(shù)一定存在；練習(xí)

14、題練習(xí)題6 6、 dxxx_ _；7 7、 xxdx2_；8 8、 dxxx)23(2_；9 9、 dxxx)1)(1(3_；1010、 dxxx2)1(=_=_ ._ .二、二、 求下列不定積分：求下列不定積分：1 1、 dxxx221 2 2、 dxxxx325323 3、 dxx2cos2 4 4、 dxxxx22sincos2cos5 5、 dxxxx)11(26 6、 xdxxxx2222sec1sin 三、一曲線通過點三、一曲線通過點)3,(2e，且在任一點處的切線的斜，且在任一點處的切線的斜 率等于該點橫坐標(biāo)的倒數(shù)，求該曲線的方程率等于該點橫坐標(biāo)的倒數(shù)，求該曲線的方程 . .四、證明函數(shù)四、證明函數(shù)xxexexeexxxxsinhcoshcoshsinh,212 都是都是和和的原函數(shù)的原函數(shù) . .一、一、1 1、無窮多、無窮多, ,常數(shù)；常數(shù)； 2 2、全體原函數(shù)；、全體原函數(shù)； 3 3、積分曲線、積分曲線, ,積分曲線族；積分曲線族； 4 4、平行；、平行； 5 5、連