三重積分及其計(jì)算（課堂PPT）

1、三重積分及其計(jì)算三重積分及其計(jì)算一、三重積分的概念一、三重積分的概念 將二重積分定義中的積分區(qū)域?qū)⒍胤e分定義中的積分區(qū)域推廣到空間區(qū)域，被積函數(shù)推廣到推廣到空間區(qū)域，被積函數(shù)推廣到三元函數(shù)，就得到三重積分的定義三元函數(shù)，就得到三重積分的定義1設(shè)設(shè)),(zyxf是空間有界閉區(qū)域是空間有界閉區(qū)域上的有界上的有界函數(shù)，將閉區(qū)域函數(shù)，將閉區(qū)域任意分成任意分成n個小閉區(qū)域個小閉區(qū)域1v ，2v , ,nv ，其中，其中iv 表示第表示第i個小閉區(qū)域，也個小閉區(qū)域，也表示它的體積表示它的體積, , 在每個在每個iv上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)),(iii 作乘積作乘積iiiivf ),( ，), 2 , 1(n

2、i ，并作和，并作和, ,如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值趨近于零趨近于零時，這和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)時，這和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)),(zyxf在閉區(qū)域在閉區(qū)域上的上的三重積分三重積分，記為，記為 dvzyxf),(, ,2其中其中 dv 稱為體積元，其它術(shù)語與二重積分相同稱為體積元，其它術(shù)語與二重積分相同若極限存在，則稱函數(shù)可積若極限存在，則稱函數(shù)可積若函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)，若函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)， 則一定可積則一定可積由定義可知由定義可知三重積分與二重積分有著完全相同的性質(zhì)三重積分與二重積分有著完全相同的性質(zhì)三重積分的物理背景三重積分的物理背

3、景以以 f ( x, y, z ) 為體密度的空間物體的質(zhì)量為體密度的空間物體的質(zhì)量下面我們就借助于三重積分的物理背景來討論下面我們就借助于三重積分的物理背景來討論其計(jì)算方法。其計(jì)算方法。3二、在直角坐標(biāo)系中的計(jì)算法二、在直角坐標(biāo)系中的計(jì)算法 如果我們用三族平面如果我們用三族平面 x =常數(shù)，常數(shù)，y =常數(shù)常數(shù), z =常數(shù)常數(shù)對空間區(qū)域進(jìn)行分割那末每個規(guī)則小區(qū)域都是長方對空間區(qū)域進(jìn)行分割那末每個規(guī)則小區(qū)域都是長方體體其體積為其體積為zyxV 故在直角坐標(biāo)系下的面積元為故在直角坐標(biāo)系下的面積元為dxdydzdV 三重積分可寫成三重積分可寫成 dxdydzzyxfdVzyxf),(),(和二重

4、積分類似，三重積分可化成三次積分進(jìn)行計(jì)算和二重積分類似，三重積分可化成三次積分進(jìn)行計(jì)算具體可分為先單后重和先重后單具體可分為先單后重和先重后單4xyzo Dab)(2xyy )(1xyy ),(1yxzz ),(2yxzz ),(yx先單后重先單后重,Dxoy面面上上的的投投影影為為閉閉區(qū)區(qū)域域在在閉閉區(qū)區(qū)域域 ),(:),(:2211yxzzSyxzzS ,),(作直線作直線過點(diǎn)過點(diǎn)Dyx 穿出穿出穿入，從穿入，從從從21zz函數(shù)，則函數(shù)，則的的只看作只看作看作定值，將看作定值，將先將先將zzyxfyx),(, ),(),(21),(),(yxzyxzdzzyxfyxF5上的二重積分上的二重

5、積分在閉區(qū)間在閉區(qū)間計(jì)算計(jì)算DyxF),(.),(),(),(),(21 DyxzyxzDddzzyxfdyxF ,),()(:21bxaxyyxyD dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx也稱為先一后二，切條法（也稱為先一后二，切條法（ 先先z次次y后后x ）注意注意于兩點(diǎn)情形于兩點(diǎn)情形相交不多相交不多的邊界曲面的邊界曲面直線與閉區(qū)域直線與閉區(qū)域內(nèi)部的內(nèi)部的軸且穿過閉區(qū)域軸且穿過閉區(qū)域這是平行于這是平行于Sz 用完全類似的方法可把三重積分化成其它次序下用完全類似的方法可把三重積分化成其它次序下的三次積分。的三次積分。6化三次積分的

6、步驟化三次積分的步驟投影，得平面區(qū)域投影，得平面區(qū)域穿越法定限，穿入點(diǎn)穿越法定限，穿入點(diǎn)下限，穿出點(diǎn)下限，穿出點(diǎn)上限上限對于二重積分，我們已經(jīng)介紹過化為累次積分的方法對于二重積分，我們已經(jīng)介紹過化為累次積分的方法例例1 將將 dVzyxf),(化成三次積分化成三次積分其中其中 為長方體，各邊界面平行于坐標(biāo)面為長方體，各邊界面平行于坐標(biāo)面 解解將將 投影到投影到xoy面得面得D，它是一個矩形，它是一個矩形 在在D內(nèi)任意固定一點(diǎn)（內(nèi)任意固定一點(diǎn)（x ,y)作平行于作平行于 z 軸的直線軸的直線交邊界曲面于兩點(diǎn)，其豎坐標(biāo)為交邊界曲面于兩點(diǎn)，其豎坐標(biāo)為 l 和和 m （l m) 7oxyzmlabcd

7、D。(x,y) dVzyxf),( Dmlddzzyxf ),( badcmldzzyxfdydx),(例例2 計(jì)算計(jì)算xdxdydz其中其中 是三個坐標(biāo)面與平面是三個坐標(biāo)面與平面 x + y + z =1 所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域 8Dxyzo解解畫出區(qū)域畫出區(qū)域D1010 xxy xdxdydz 101010 xyxxdzdydx 1010)1 (xdyyxxdx 102241)1 (21dxxx9例例3 化三重積分化三重積分 dxdydzzyxfI),(為三為三 次積分，其中次積分，其中 積分區(qū)域積分區(qū)域 為由曲面為由曲面 22yxz ,2xy ,1 y, 0 z 所圍所圍成的空間閉區(qū)域

8、成的空間閉區(qū)域. . 11, 1,0:222 xyxyxz 1101222),(yxxdzzyxfdydxI.解解10例例 4 4 將將 1010022),(yxdzzyxfdydx按按xzy, 的次序積分的次序積分. 1D： 1002yxzxyz1D112D2D： 11222yxzxzx 10100),(2dyzyxfdzdxx原原式式 1101222),(xzxxdyzyxfdzdx. 12 除了上面介紹的先單后重法外，利用先重后除了上面介紹的先單后重法外，利用先重后單法或切片法也可將三重積分化成三次積分單法或切片法也可將三重積分化成三次積分先重后單，就是先求關(guān)于某兩個變量的二重積分先重后

9、單，就是先求關(guān)于某兩個變量的二重積分再求關(guān)于另一個變量的定積分再求關(guān)于另一個變量的定積分若若 f(x,y,z) 在在 上連續(xù)上連續(xù) 介于兩平行平面介于兩平行平面 z = c1 , z = c2 (c1 c2 ) 之間之間用任一平行且介于此兩平面的平面去截用任一平行且介于此兩平面的平面去截 得區(qū)域得區(qū)域 )(),(21czczD 則則先重后單先重后單13 21)(),(),(cczDdxdyzyxfdzdvzyxf 易見，若被積函數(shù)與易見，若被積函數(shù)與 x , y 無關(guān)，或二重積無關(guān)，或二重積分容易計(jì)算時，用截面法較為方便，分容易計(jì)算時，用截面法較為方便， )(zDdxdy 就是截面的面積，如截

10、面為圓、橢圓、三就是截面的面積，如截面為圓、橢圓、三角形、正方形等，面積較易計(jì)算角形、正方形等，面積較易計(jì)算 尤其當(dāng)尤其當(dāng) f ( x , y , z ) 與與 x , y 無關(guān)時無關(guān)時14截截面面法法的的一一般般步步驟驟：(1) 把把積積分分區(qū)區(qū)域域 向向某某軸軸（例例如如z 軸軸）投投影影，得得投投影影區(qū)區(qū)間間,21cc；(2) 對對,21ccz 用用過過z軸軸且且平平行行xoy平平面面的的平平面面去去截截 ，得得截截面面zD;(3) 計(jì)計(jì)算算二二重重積積分分 zDdxdyzyxf),( 其其結(jié)結(jié)果果為為z的的函函數(shù)數(shù))(zF；(4)最最后后計(jì)計(jì)算算單單積積分分 21)(ccdzzF即即得

11、得三三重重積積分分值值.z15例例5 計(jì)算計(jì)算1:,2222222 czbyaxdvz 解解之間之間介于介于易見易見czcz , 2222221: )(czbyaxzD 故故 ccZDdxdydzzdvz)(2230222154)1(2abcdzczzabc dzczzabcc)1 (222 16例例6 1,:,22zyxzdxdydz解一解一之間之間介于介于1, 0 zz zyxzD 22: )( 10)(zDdxdydzdxdydz 102 zdz解二解二 先單后重先單后重將將 投影到投影到 xoy 面得面得D 122 yx Dyxdxdydzdxdydz1122先重后單先重后單17 Dr

12、drrddxdyyx20102222)1 (4)1 ( （用極坐標(biāo)，用對稱性）（用極坐標(biāo)，用對稱性） 此例介紹的是一種計(jì)算三重積分的方法，這此例介紹的是一種計(jì)算三重積分的方法，這種方法也具有一定的普遍性，這就是我們將要介種方法也具有一定的普遍性，這就是我們將要介紹的柱坐標(biāo)系下的計(jì)算法紹的柱坐標(biāo)系下的計(jì)算法18三、小結(jié)三、小結(jié)三重積分的定義和計(jì)算三重積分的定義和計(jì)算（計(jì)算時將三重積分化為三次積分）（計(jì)算時將三重積分化為三次積分）在直角坐標(biāo)系下的體積元素在直角坐標(biāo)系下的體積元素dxdydzdv 19思考題思考題選擇題選擇題: 為為六六個個平平面面0 x，2 x，1 y，42 yx，xz ，2 z圍

13、圍成成的的區(qū)區(qū)域域，),(zyxf在在 上上連連續(xù)續(xù)，則則累累次次積積分分_ dvzyxf),(.;),()(201222 xxdzzyxfdydxA;),()(202212 xxdzzyxfdydxB;),()(201222 xxdzzyxfdydxC.),()(202212 xxdzzyxfdydxD20練練 習(xí)習(xí) 題題一、一、 填空題填空題: :1 1、 若若 由曲面由曲面22yxz 及平面及平面1 z所圍成所圍成, , 則三重積分則三重積分 dxdydzzyxf),(化為三次積分是化為三次積分是 _. .2 2、 若若 是由曲面是由曲面0( cxycz),),12222 byax, ,

14、0 z所所圍成的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域圍成的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域, ,則三重積分則三重積分 dxdydzzyxf),(可化為三次積分為可化為三次積分為_._.3 3、 若若10 , 10 , 10: zyx, ,則則 dxdydzzyx)(可化為三次積分可化為三次積分_,_,其值為其值為_._.21 4 4、若、若 : :是由是由),0(, 0, 0 hhzzx )0(2222 aayxayx及及所圍成所圍成, ,則三重積則三重積 分分 dvzyxf),(可化為：可化為：(1)(1) 次序?yàn)榇涡驗(yàn)閤yz的三次積分的三次積分_._.(2)(2)次序?yàn)榇涡驗(yàn)閦xy的三次積分的三次積分_._. (3)

15、 (3)次序?yàn)榇涡驗(yàn)閥zx的三次積分的三次積分_._.二、計(jì)算二、計(jì)算 dxdydzzxy32, ,其中其中 是由曲面是由曲面xyz , ,與平與平 面面01, zxxy和和所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域 . .22三、計(jì)算三、計(jì)算 xzdxdydz, ,其中其中 是曲面是曲面1, 0 yyzz, ,以及拋物柱面以及拋物柱面2xy 所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域. .四、計(jì)算四、計(jì)算 dvyx221, ,其中其中 是由六個頂點(diǎn)是由六個頂點(diǎn) ),0 , 0 , 2(),2 . 1 . 1(),0 , 1 , 1(),0 , 0 , 1(DCBA )4 , 2 , 2(),0 , 2 , 2(FE組成的三棱錐臺組成的三棱錐臺. .23練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、