微分方程模型之人口增長模型PPT

1、退 出前一頁后一頁傳染病模型學習小結傳染病模型學習小結一一 常用傳染病模型類型常用傳染病模型類型微分方程模型微分方程模型1 1指數(shù)增長模型指數(shù)增長模型2 SI2 SI模型模型(logistic(logistic模型模型) )3 SIS3 SIS模型模型4 SIR4 SIR模型模型二二 SASSAS傳播模型中的收獲傳播模型中的收獲 增加人群分類，構建增加人群分類，構建SEIRSEIR或或SEPIRSEPIR模型模型 關于經濟的正面或負面影響地分析關于經濟的正面或負面影響地分析 學會全面地看問題學會全面地看問題 寫作是建模學習的一個重要內容寫作是建模學習的一個重要內容. .退 出前一頁后一頁背景背

2、景 年年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口人口(億億) 5 10 20 30 40 50 60世界人口增長概況世界人口增長概況中國人口增長概況中國人口增長概況 年年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口人口(億億) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口變化規(guī)律研究人口變化規(guī)律控制人口過快增長控制人口過快增長退 出前一頁后一頁常用的計算公式常用的計算公式x(t) 時刻時刻t的人口的人口基本假設基本假設 : 人口人口(相對相對)增長率增長率 r 是常數(shù)是常數(shù)()( )(

3、)x ttx tr x tt 今年人口今年人口 x0, 年增長率年增長率 rk年后人口年后人口0,(0)dxrxxxdt 0( )()rtx tx e 0(1)txr 隨著時間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長隨著時間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長退 出前一頁后一頁指數(shù)增長模型的應用及局限性指數(shù)增長模型的應用及局限性 與與19世紀以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計數(shù)據吻合世紀以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計數(shù)據吻合 適用于適用于19世紀后遷往加拿大的歐洲移民后代世紀后遷往加拿大的歐洲移民后代 可用于短期人口增長預測可用于短期人口增長預測 不符合不符合19世紀后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律世紀后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律 不能預測較長

4、期的人口增長過程不能預測較長期的人口增長過程1919世紀后人口數(shù)據世紀后人口數(shù)據人口增長率人口增長率r r不是常數(shù)不是常數(shù)( (逐漸下降逐漸下降) )退 出前一頁后一頁人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設假設) 0,()(srsxrxrr固有增長率固有增長率(x很小時很小時)xm人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）)1 ()(mxxrxrr是是x的減函數(shù)的減函數(shù)mxrs 0)(

5、mxr退 出前一頁后一頁dxrxdt )1 ()(mxxrxxxrdtdxdx/dtx0 xmxm/2xmtx0 x(t)S形曲線形曲線, x增加先快后慢增加先快后慢x0 xm/2阻滯增長模型阻滯增長模型( (Logistic模型模型) )退 出前一頁后一頁參數(shù)估計參數(shù)估計用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口預報，必須先估計模型參數(shù)預報，必須先估計模型參數(shù) r 或或 r, xm 利用統(tǒng)計數(shù)據用最小二乘法作擬合利用統(tǒng)計數(shù)據用最小二乘法作擬合例：美國人口數(shù)據（單位例：美國人口數(shù)據（單位百萬）百萬） 1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990

6、 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4專家估計專家估計阻滯增長模型阻滯增長模型( (Logistic模型模型) )r=0.2557, xm=392.1退 出前一頁后一頁模型檢驗模型檢驗用模型計算用模型計算2000年美國人口，與實際數(shù)據比較年美國人口，與實際數(shù)據比較/ )1990(1)1990()1990()1990()2000(mxxrxxxxx實際為實際為281.4 (百萬百萬)5 .274)2000(x阻滯增長模型阻滯增長模型( (Logistic模型模型) )指數(shù)增長模型指數(shù)增長模型0,(0)dxrxxxdt ( )(1)mdxxr x xrxdt

7、x 退 出前一頁后一頁模型應用模型應用預報美國預報美國2010年的人口年的人口加入加入2000年人口數(shù)據后重新估計模型參數(shù)年人口數(shù)據后重新估計模型參數(shù)Logistic 模型在經濟領域中的應用模型在經濟領域中的應用( (如耐用消費品的售量如耐用消費品的售量) )r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.0退 出前一頁后一頁5.6 人口預測和控制人口預測和控制)(),(,0),0(tNtrFtFmrFtrp),( 年齡分布對于人口預測的重要性年齡分布對于人口預測的重要性 只考慮自然出生與死亡，不計遷移只考慮自然出生與死亡，不計遷移人口人口發(fā)展發(fā)展方程方程的人口）年齡人口分布函數(shù)

8、rtrF(),(人口密度函數(shù)),(trp人口總數(shù))(tN最高年齡)(mr退 出前一頁后一頁),(),(trptrtprp11,),(),(),(),(),(),(drdtdttrptrtrpdttrpdttrpdttdrrp人口發(fā)展方程人口發(fā)展方程死亡率),(trdrtrp),(人數(shù)年齡,drrrt死亡人數(shù)內),(dttt人數(shù)年齡,11drdrrdrrdtt1drdt 一階偏微分方程一階偏微分方程drdttrptr),(),(drdttdrrp),(1退 出前一頁后一頁0),(),0(0),()0 ,(),(),(0ttftprrprptrptrtprp人口發(fā)展方程人口發(fā)展方程已知函數(shù)（人口調

9、查）已知函數(shù)（人口調查）生育率（控制人口手段）生育率（控制人口手段）0tr)(0rprt )(tfrt rt )(),(rtrrtertfrtetrptrprrtrdssdss,)(0,)(),(0)()(0rdstsptrF0),(),(mrdstsptN0),()(退 出前一頁后一頁21),(),(),()(rrdrtrptrktrbtf),()(),(trhttrb211),(rrdrtrh21),()(rrdrtrbt生育率的分解生育率的分解性別比函數(shù)女性 )(),(trk生育數(shù)女性 )(),(trb育齡區(qū)間,21rr21),(),(),()()(rrdrtrptrktrhttf 總和

10、生育率總和生育率h生育模式生育模式)(),(rhtrh01r2rr退 出前一頁后一頁rtertfrtetrptrprrtrdssdss,)(0,)(),(0)()(021),(),(),()()(rrdrtrptrktrhttf人口發(fā)展方程和生育率人口發(fā)展方程和生育率)(t總和生育率總和生育率控制生育的多少控制生育的多少),(trh生育模式生育模式控制生育的早晚和疏密控制生育的早晚和疏密),(),(trptrtprp)(tf)(0rp),(trp)(t 正反饋系統(tǒng)正反饋系統(tǒng) 滯后作用很大滯后作用很大退 出前一頁后一頁mrdrtrrptNtR0),()(1)(tdrtrdetSt0),()()(

11、/ )()(tStRt mrdrtrptN0),()(人口指數(shù)人口指數(shù)1）人口總數(shù)）人口總數(shù)2）平均年齡）平均年齡3）平均壽命）平均壽命t時刻出生的人，死亡率按時刻出生的人，死亡率按 (r,t) 計算的平均存活時間計算的平均存活時間4）老齡化指數(shù)）老齡化指數(shù)控制生育率控制生育率控制控制 N(t)不過大不過大控制控制 (t)不過高不過高退 出前一頁后一頁本節(jié)學習要求本節(jié)學習要求1 熟練掌握指數(shù)增長和logistic模型的構建2 掌握指數(shù)增長和logistic模型參數(shù)的確定方法3 掌握指數(shù)增長和logistic模型參數(shù)的驗證方法日期日期開盤開盤收盤收盤交易量交易量20060125200601251

12、,163.881,163.881,258.051,258.05451,695,086451,695,08620060228200602281,263.001,263.001,299.031,299.03466,549,964466,549,96420060331200603311,299.151,299.151,298.301,298.30502,812,897502,812,89720060428200604281,298.681,298.681,440.221,440.22825,969,500825,969,50020060531200605311,446.991,446.991,641

13、.301,641.301,156,306,2181,156,306,21820060630200606301,639.671,639.671,672.211,672.21985,911,905985,911,90520060731200607311,677.311,677.311,612.731,612.73837,135,633837,135,63320060831200608311,619.631,619.631,658.641,658.64631,743,902631,743,90220060929200609291,658.661,658.661,752.421,752.42782,3

14、91,998782,391,99820061031200610311,768.141,768.141,837.991,837.99802,099,313802,099,31320061130200611301,838.681,838.682,099.292,099.291,193,314,4801,193,314,48020061229200612292,106.302,106.302,675.472,675.471,523,273,0391,523,273,03920070131200701312,728.192,728.192,786.342,786.34114,021,217114,021,21720070228200702282,744.812,744.812,881.072,881.07857,208,999857,208,9992