上傳 正弦、余弦定理及解三角形(師用)

1、 正弦、余弦定理及解三角形(師用)知識(shí)點(diǎn)： 1、正弦定理 2、余弦定理教學(xué)目標(biāo);:1掌握正弦定理和余弦定理的推導(dǎo)方法 2通過正、余定理變形技巧實(shí)現(xiàn)三角形中的邊角轉(zhuǎn)換，解題過程中做到正余弦定理的優(yōu)化選擇正弦定理和余弦定理高考考點(diǎn)：1考查正、余弦定理的推導(dǎo)過程2考查利用正、余弦定理判斷三角形的形狀3考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法 復(fù)習(xí) 1掌握正弦定理和余弦定理的推導(dǎo)方法2通過正、余定理變形技巧實(shí)現(xiàn)三角形中的邊角轉(zhuǎn)換，解題過程中做到正余弦定理的優(yōu)化選擇基礎(chǔ)梳理1正弦定理：2R，其中R是三角形外接圓的半徑由正弦定理可以變形為：(1)abcsin Asin Bsin C；(2)a2Rsin_A，

2、b2Rsin_B，c2Rsin_C；(3)sin A，sin B，sin C等形式，以解決不同的三角形問題2余弦定理：a2b2c22bccos_A，b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C余弦定理可以變形為：cos A，cos B，cos C.3SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)·r(R是三角形外接圓半徑，r是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計(jì)算R，r.4已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，解三角形時(shí)，注意解的情況如已知a，b，A，則A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式absin Aabsin Absin Aabababab解的個(gè)數(shù)無解一解兩解一解一解無解

3、一條規(guī)律在三角形中，大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即在ABC中，ABabsin Asin B.兩類問題在解三角形時(shí)， 正弦定理可解決兩類問題：(1)已知兩角及任一邊，求其它邊或角；(2)已知兩邊及一邊的對(duì)角，求其它邊或角情況(2)中結(jié)果可能有一解、兩解、無解，應(yīng)注意區(qū)分 余弦定理可解決兩類問題：(1)已知兩邊及夾角求第三邊和其他兩角；(2)已知三邊，求各角兩種途徑根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：(1)化邊為角；(2)化角為邊，并常用正弦(余弦)定理實(shí)施邊、角轉(zhuǎn)換練習(xí)題1 在ABC中，A60°，B75°，a10，則c等于()A

4、5 B10 C. D5解析 C=180-A-B=45,答案 C2在ABC中，若，則B的值為()A30° B45° C60° D90°解析由正弦定理知：，sin Bcos B，B45°.答案B3 在ABC中，a，b1，c2，則A等于()A30° B45° C60° D75°解析由余弦定理得：cos A，0A，A60°.答案C4在ABC中，a3，b2，cos C，則ABC的面積為()A3 B2 C4 D.解析cos C，0C，sin C，SABCabsin C×3×2×

5、4.答案C5已知ABC三邊滿足a2b2c2ab，則此三角形的最大內(nèi)角為_解析a2b2c2ab，cos C，故C150°為三角形的最大內(nèi)角答案150°考點(diǎn)一利用正弦定理解三角形【例1】在ABC中，a，b，B45°.求角A，C和邊c.審題視點(diǎn) 已知兩邊及一邊對(duì)角或已知兩角及一邊，可利用正弦定理解這個(gè)三角形，但要注意解的判斷解由正弦定理得，sin A.ab，A60°或A120°.當(dāng)A60°時(shí)，C180°45°60°75°，c；當(dāng)A120°時(shí)，C180°45°120

6、6;15°，c. (1)已知兩角一邊可求第三角，解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可(2)已知兩邊和一邊對(duì)角，解三角形時(shí)，利用正弦定理求另一邊的對(duì)角時(shí)要注意討論該角，這是解題的難點(diǎn)，應(yīng)引起注意【訓(xùn)練1】 1、在ABC中，若b5，B，tan A2，則sin A_；a_.解析因?yàn)锳BC中，tan A2，所以A是銳角，且2，sin2Acos2A1，聯(lián)立解得sin A，再由正弦定理得，代入數(shù)據(jù)解得a2.答案22、在 ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)，a=，b=，求邊BC上的高.【命題意圖】：本題考察兩角和的正弦公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，利用內(nèi)角和定理、正弦定理、

7、余弦定理以及三角形邊與角之間的大小對(duì)應(yīng)關(guān)系解三角形的能力，考察綜合運(yùn)算求解能力?！窘馕觥浚篈BC180°，所以BCA，又，即，又0°<A<180°，所以A60°.在ABC中，由正弦定理得，又，所以BA，B45°，C75°，BC邊上的高ADAC·sinC.3、在中，的對(duì)邊分別是，已知. （1）求的值；(2)若，求邊的值考點(diǎn)二利用余弦定理解三角形【例2】在ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，且.(1)求角B的大小；(2)若b，ac4，求ABC的面積審題視點(diǎn) 由，利用余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系求解解(1)由余弦定

8、理知：cos B，cos C.將上式代入得：·，整理得：a2c2b2ac.cos B.B為三角形的內(nèi)角，B.(2)將b，ac4，B代入b2a2c22accos B，得b2(ac)22ac2accos B，13162ac，ac3.SABCacsin B. (1)根據(jù)所給等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)利用余弦定理將角化邊進(jìn)行變形是迅速解答本題的關(guān)鍵(2)熟練運(yùn)用余弦定理及其推論，同時(shí)還要注意整體思想、方程思想在解題過程中的運(yùn)用【訓(xùn)練2】1、 已知A，B，C為ABC的三個(gè)內(nèi)角，其所對(duì)的邊分別為a，b，c，且2cos2 cos A0.(1)求角A的值；(2)若a2，bc4，求ABC的面積解(1)由2cos2

9、 cos A0，得1cos Acos A0，即cos A，0A，A.(2)由余弦定理得，a2b2c22bccos A，A，則a2(bc)2bc，又a2，bc4，有1242bc，則bc4，故SABCbcsin A. 2、設(shè)ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為，已知. () 求ABC的周長(zhǎng)； ()求cos(AC.)本小題主要考查三角函數(shù)的基本公式和解斜三角形的基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查基本運(yùn)算能力.解：（1）.ABC的周長(zhǎng)為a+b+c=1+2+2=5.（2） ，故A為銳角.考點(diǎn)三利用正、余弦定理判斷三角形形狀兩種途徑：(1)利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從

10、而判斷三角形的形狀； (2)利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過三角函數(shù)恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時(shí)要注意應(yīng)用ABC這個(gè)結(jié)論.【例3】在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin C，試判斷ABC的形狀審題視點(diǎn) 首先邊化角或角化邊，再整理化簡(jiǎn)即可判斷解由已知(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin C，得b2sin(AB)sin Ca2sin Csin(AB)，即b2sin Acos Ba2cos Asin B，即sin2Bsin Acos Bsin2Acos Bsin B，所以sin 2Bsin 2A，由于A，B是三角形的內(nèi)

11、角故02A2，02B2.故只可能2A2B或2A2B，即AB或AB.故ABC為等腰三角形或直角三角形 判斷三角形的形狀的基本思想是；利用正、余弦定理進(jìn)行邊角的統(tǒng)一即將條件化為只含角的三角函數(shù)關(guān)系式，然后利用三角恒等變換得出內(nèi)角之間的關(guān)系式；或?qū)l件化為只含有邊的關(guān)系式，然后利用常見的化簡(jiǎn)變形得出三邊的關(guān)系【訓(xùn)練3】 1、在ABC中，若；則ABC是(B)A直角三角形 B等邊三角形C鈍角三角形 D等腰直角三角形解析由正弦定理得a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C(R為ABC外接圓半徑).即tan Atan Btan C，ABC.答案B2、若的三個(gè)內(nèi)角滿足，則（ C ） A一定是銳角三

12、角形. B一定是直角三角形. C一定是鈍角三角形. D可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形3、ABC中，2=sinC，則此三角形的形狀是 （ A ） A等腰 B等腰或者直角 C等腰直角 D直角解析 sinC=sin(180-A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sinAcosB-cosAsinB=0 sin(A-B)=0考點(diǎn)四-正、余弦定理的綜合應(yīng)用【例3】在ABC中，內(nèi)角A，B，C對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是a，b，c，已知c2，C.(1)若ABC的面積等于，求a，b；(2)若sin Csin(BA)2sin 2A，求ABC的面積審題視點(diǎn) 第(1)問根據(jù)三角形的面積公式和余弦定

13、理列出關(guān)于a，b的方程，通過方程組求解；第(2)問根據(jù)sin Csin(BA)2sin 2A進(jìn)行三角恒等變換，將角的關(guān)系轉(zhuǎn)換為邊的關(guān)系，求出邊a，b的值即可解決問題解(1)由余弦定理及已知條件，得a2b2ab4.又因?yàn)锳BC的面積等于，所以absin C，得ab4，聯(lián)立方程組解得(2)由題意，得sin(BA)sin(BA)4sin Acos A，即sin Bcos A2sin Acos A.當(dāng)cos A0，即A時(shí)，B，a，b；當(dāng)cos A0時(shí)，得sin B2sin A，由正弦定理，得b2a.聯(lián)立方程組解得所以ABC的面積Sa bsin C. 正弦定理、余弦定理、三角形面積公式對(duì)任意三角形都成立

14、，通過這些等式就可以把有限的條件納入到方程中，通過解方程組獲得更多的元素，再通過這些新的條件解決問題【訓(xùn)練3】 1、 設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且cos B，b2.(1)當(dāng)A30°時(shí)，求a的值；(2)當(dāng)ABC的面積為3時(shí)，求ac的值解(1)因?yàn)閏os B，所以sin B.由正弦定理，可得，所以a.(2)因?yàn)锳BC的面積Sac·sin B，sin B，所以ac3，ac10.由余弦定理得b2a2c22accos B，得4a2c2aca2c216，即a2c220.所以(ac)22ac20，(ac)240.所以ac2.2、在b、c，向量，且。（I）求銳角B

15、的大小； （II）如果，求的面積的最大值解：(1)mn Þ 2sinB(2cos21)cos2BÞ2sinBcosBcos2B Þ tan2B02B,2B,銳角B(2)由tan2B Þ B或當(dāng)B時(shí)，已知b2，由余弦定理，得：4a2c2ac2acacac(當(dāng)且僅當(dāng)ac2時(shí)等號(hào)成立)ABC的面積SABC acsinBacABC的面積最大值為當(dāng)B時(shí)，已知b2，由余弦定理，得：4a2c2ac2acac(2)ac(當(dāng)且僅當(dāng)ac時(shí)等號(hào)成立)ac4(2)ABC的面積SABC acsinBac2ABC的面積最大值為2.3、在ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，

16、且.（I）求角B的大??； （II）若，求ABC的面積. 解：（I）<解法一>：由正弦定理得 將上式代入已知 即 即 B為三角形的內(nèi)角，. <解法二>：由余弦定理得 將上式代入 整理得 B為三角形內(nèi)角， （II）將代入余弦定理得 ， . 易錯(cuò)點(diǎn)忽視三角形中的邊角條件致錯(cuò)【問題診斷】 考查解三角形的題在高考中一般難度不大，但稍不注意，會(huì)出現(xiàn)“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”的情況，其主要原因就是忽視三角形中的邊角條件.,【防范措施】 解三角函數(shù)的求值問題時(shí)，估算是一個(gè)重要步驟，估算時(shí)應(yīng)考慮三角形中的邊角條件.【示例】 在ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)，a，b，12cos(BC)0，求邊BC上的高錯(cuò)因忽視三角形中“大邊對(duì)大角”的定理，產(chǎn)生了增根實(shí)錄由12cos(BC)0，知cos A，A，根據(jù)正弦定理得：sin B，B或.以下解答過程略正解在ABC中，cos(BC)cos A，12cos(BC)12cos A0，A.在ABC中，根據(jù)正弦定理，sin B.ab，B，C(AB).sin Csin(BA)sin Bcos Acos Bsin A&#