第二章--序列算子與灰色序列生成

1、第二章序列算子與灰色序列生成Gray南京航空航天大學(xué)灰色系統(tǒng)研究所3Crny /Grny :引言灰色序列算子:I灰色系統(tǒng)基于序列算子的作用，通過I :對原始數(shù)據(jù)處理，挖掘其變化規(guī)律，是I I 一種就數(shù)據(jù)尋找數(shù)據(jù)的現(xiàn)實規(guī)律的途I I徑。I第二章序列算手與灰色序列生裁jCrnv舉例:對手給走的著王丟似乎發(fā)有明靈的規(guī)律性!的原始數(shù)據(jù)數(shù)列：!L圣丫三Q2丄工jM乂!對原始數(shù)據(jù)0°)做一次累加生成，將所得新片 員記為 X,貝I X=(1,3,4.5,7.5) j 第二章序列算手與灰色序列生裁3將X（°）和X作圖如下:I起伏變化幅度較大。I1234 k捫已呈現(xiàn)明顯的增長規(guī)律性I1234

2、 k第二章序列算手與灰色序列生裁本章結(jié)構(gòu)Grny -5第二章1:序列算子與灰色序列生成#第二章1:序列算子與灰色序列生成2.1一沖擊擾動系統(tǒng)與序列算子2.2一均值生成算子2.3準(zhǔn)光滑序列與級比生成序列2.4累加生成算子與累減生成算子2.5累加生成序列的灰指數(shù)律#第二章1:序列算子與灰色序列生成BACK #lit |序則聲孚彗茨苞律魏顫BACK 7lit |序則聲孚彗茨苞律魏顫2J.曲圭擾動.系統(tǒng)與序列.篡壬上|本節(jié)主要內(nèi)容緩沖算子公理實用緩沖算子的構(gòu)造 訥擊擾動系統(tǒng)預(yù)測陷阱緩沖算子的性質(zhì)2：.1.曲圭拔i動.系統(tǒng)與序列.算于.mz IL址違述型矣統(tǒng)壩測憐阱本節(jié)的討論圍繞的總目標(biāo)：由XX

3、4;展開。；X°為系統(tǒng)真實行為序列dm）（i）¥）（2），用。）何）I X為沖擊擾動序列Ix = （兀（1）衛(wèi)（2）,山（）I；=（%（0）（1） + sx, %（0）（2） + 6*2, , X（0）（M）+ 8n ） = X（0）+£ s = （s,s2,->sn）:沖擊擾動項。BACK 9lit |序則聲孚彗茨苞律魏顫/3Grny八、；W.itS2-1 ?屮擊瓏動.系統(tǒng).與莊.列.算于 I.辻色鯉系統(tǒng)預(yù)測陷阱BACK #BACK # 第二章序列算手與灰色序列生裁BACK #2.1沖擊擾動系統(tǒng)與序列算子II緩沖宴壬遅諭殛存莎II1序列名稱數(shù)據(jù)1數(shù)據(jù)2數(shù)據(jù)

4、3數(shù)據(jù)4數(shù)據(jù)5單調(diào)增長序列3581214單調(diào)衰減序列151312108振蕩序列12141199.5j Cray z*.曲適擾動.系統(tǒng)與序列篡壬IB.M I漫妙壬峯.X為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)系列，。為作用于x的算子,一階算子作用序列：XD =(兀么x(2)d,，()二階算子作用序列：XDQ二(兀(1)如2丿(2)如2,丿()如2)三階算子作用序列:以此類推。 第二章序列算手與灰色序列生裁BACK 13j Crayz*.曲適擾動.系統(tǒng)與序列篡壬IB.M|漫妙mu.LJ不動點公理信息充分利用公理解析化、規(guī)范化公理z*.曲適擾動.系統(tǒng)與序列篡壬IB.M |漫妙mu.II滿足緩沖算子三公理的序列算子。弱化緩沖算

5、子：緩沖序列Q比原始序列X的增 長速度（或衰減速度）減緩或振幅減小。強化緩沖算子：緩沖序列Q比原始序列X的增 長速度（或衰減速度）加快或振幅增大。BACK 15第二章序列算手與灰色序列生裁3Crny2,1.沖擊擾動系統(tǒng)與序列算壬.上忠上.11鯉基亞屋定理221設(shè)X為單調(diào)增長序列，XD為其緩沖序列, 則有(1) D為弱化算子 <=>< x(k)d,k =(2) D為強化算子 U>x(k) n x(k)d,k = h2,n.定理222設(shè)X為單調(diào)增長序列，XD為其緩沖序列， 則有必.(1) D為弱化算子 <> x(k) > x(k)d. k = 1,2,-

6、(2) D為強化算子 0?；?三?；?朮=12必2.1沖擊擾動系統(tǒng)與序列算子八、 /Grny :定理223設(shè)X為振蕩序列，XD為其緩沖序列，則有(1) D為弱化算子maxx(fc)> maxx(上)l<k<nl<k<nminx(A;)< minx(A;)l<k<nl<k<n(2) D為強化算子maxx(A?)< m2Lxix(k)d<k<n<k<nminx(A:)> minx(Z:)<i<k<nv<k<nv19第二章序列算手與灰色序列生裁21沖擊擾動系統(tǒng)與序列算子 .

7、. ./ ;心11.密魁飪蜩道亙亞昜伸負手s if eng Liu71991)l定理2. 2.4設(shè)原始數(shù)據(jù)序列和緩沖序列分別為X =(兀(1),兀(2),，兀()+ 兀();k = 12 /XD = (x(l)d，x(2)d,兀()d)x(k)d =|x(k) + x(k + l) +n-k + l則當(dāng)X為單調(diào)增長序列、單調(diào)袞減序列或振蕩序列時，D皆 為弱化算子。并稱D為平均弱化緩沖算子(AWBO)o2J.曲圭擾動.系統(tǒng)與序列.篡壬上 L犧魁算壬蜩道祈二麗三融伸麗而孑貳!|X = (36.5, 54.3, 80.b 109.8, 143.2)(1)計算一階緩沖序列x(l)d 二 一x(k) +

8、 訛 +1) + + %()二 一-一 x(l) + x(2) + + x(5) k+U5-1+1二孑呂36.5 + 54.3+80.1+109.8+143.2 = 84.78BACK 23lit |序則聲孚彗茨苞律魏顫2.1沖擊擾動系統(tǒng)與序列算子11業(yè)燮慳于鯉道兀(2)d = - x(k) + x(k +1) +兀(/?)= -兀(2) + x(5)l n-k + VJ 5-2+1lj=£54.3 + 80+109.8 +143.2 = 96.85x(3)d = 111.03；兀(4)d = 1265； x(5)d = 143.2。(2)計算二階緩沖序列以(1)中計算結(jié)果k=l,2

9、,.,5為基礎(chǔ),由 式222可求得二階緩沖序列。BACK #第二章序列算手與灰色序列生裁j Crayz*.曲適擾動.系統(tǒng)與序列篡壬IB.M計算結(jié)果如表2. 2. 1所示表22. 1弱化緩沖序列數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)1數(shù)據(jù)2數(shù)據(jù)3數(shù)據(jù)4數(shù)據(jù)5原始數(shù)據(jù)序列36. 554. 380. 1109. 8143. 2一階緩沖序列84. 7896. 85111. 03126. 5143. 2二階緩沖序列112. 47119. 4126. 91134. 85143. 2BACK 19j Crayz*.曲適擾動.系統(tǒng)與序列篡壬IB.M L密塹匪刪道!I設(shè) X = (x(l),兀(2),兀()，令 XDi =(兀, x(2)d

10、i，,x(n)d)心/伙 j)+ 5 = 2,3,.s;心 1,22；q對單調(diào)增長序列的丨!a對單調(diào)衰減序列的丨 強化算子：| 強化算子：|II IKM二竺(氏空觀乜也2二匕空0竺也 第二章序列算手與灰色序列生裁BACK 21Crny -BACK #lit i序則聲孚彗茨苞律魏顫j Cray2.2均值生成算子BACK #第二章序列算手與灰色序列生裁j CrayBACK #第二章序列算手與灰色序列生裁j Cray；新信息與老信息:設(shè)序列 X = (x(l),x(2),-,x(k),x(k +1),-,x(«),若 勁)為新信 息，則對任意k<n-l , X(k)稱為老信息。揀占S

11、皆丨J設(shè)序列X在k處有空穴，記為0(燈，即X = (x(l),兀,，兀(R -1), 0(k), x(k+1)，x(n)則砒-1)和訛+1)為0(燈的界值；當(dāng)粼)由x(k-1)與訛+1住成時, 則生成值為訛- 1),訛+ 1)的內(nèi)點O22 均值生成篡壬.|界值生成：有偏算子與無偏算子 定義算子D訛)d=x (k)二 ax(k-1)+(1-a)x(k+1) * o,i有偏算子：伉工05 無偏算子：g = 05無偏算子亦稱均值生成算子。BACK #第二章序列算手與灰色序列生裁24lit |序則聲孚彗茨苞律魏顫22均值生成算子八 :例231設(shè)某序列中?；铮槿笔?shù)據(jù)，已知龍伙-1） = 134 訛+

12、 1）二 19.2,試求兀的生成值。* = 0.1,0.3,0.5,0.7,0.9<2.3.1兀（幻的生成值a值0. 10. 30. 50. 70. 9工仗）生成值18. 6217. 4616. 315. 1413. 9822均值生成算壬./|緊鄰值生成：有偏算子與無偏算子 定義算子Dx(k)d = x (k)二 ooc(k)+(1 - a)x(k -1) * °山有偏算子：a 0.5 無偏算子：g = 05無偏算子亦稱緊鄰均值生成算子，記為Z = (z(2),z(3),，次)緊鄰均值生成算子是均值GM(1,1)模型的基礎(chǔ)算子。BACK #第二章序列算手與灰色序列生裁2.3準(zhǔn)光

13、滑序列與級比生成序列| L龍週世與級世BACK 27第二章序列算手與灰色序列生裁BACK 29lit |序則聲孚彗茨苞律魏顫2.3準(zhǔn)光滑序列與級比生成序列 /Crny :BACK #lit |序則聲孚彗茨苞律魏顫BACK #lit |序則聲孚彗茨苞律魏顫p(k)=： ；k = 23，化>sy)序列X中的數(shù)據(jù)變化越平穩(wěn),IX = gl)n(2)，"G)其光滑比p(k)越小。I!L_ x(k) >09k = 1,2,山2.3進光滑庁列與級匸匕生成莊列.丿：1進煙序坐X 二(兀(1),兀(2),兀()，?；?、0北二 1,2,/，滿足三個條件：.?；? 1)<i；p =

14、2,3,./_L。伙).p(k) e 0,£上= 3,4,/. £ < 0.52.3準(zhǔn)光滑序列與級比生成序列 /Crny :b伙）=x(k). x(k -1)， X =(兀，兀(2)，x(n) x(k) >O,fc = 12 /9阪莊更衣 XI）和麗）:x=（iv（2）-x（H-iy（H）j|!級比生成序列：按級比生成填補空穴所得的序列。i!BACK 31lit |序則聲孚彗茨苞律魏顫SCrny進尤酬列與級生生成莊列.* j 11兒壬鯉命題2.4.1設(shè)X是端點為空穴的序列，若采取級比生成，則龍(1)二 x(2)/cr(3), x(ri) = x(n - l)cr

15、(n -1)命題242a(k +1)=+ D (1+q伙)火=2,3,m P(k)命 題 243 若 X 二(x(l), x(2),x(n) x(k) >0,k = 12 / 為單調(diào)遞增序列，且有(1) 處)<2款二2,3，/(2) 從 + D <Zk = 2,3,v XX'* ：'：'：:V >*.4 - -： i "j：F ：6 Jki :??；.：二、:： i.： 第二草1序列算子與灰色序列生成;BACK332.3進光滑庁列與級匸匕生成莊列.丿：1例題：設(shè)序列 X = (2.874,3.27& 3337,3.390,3.67

16、9),則對于"234,5,滿足 g)v2?！?衛(wèi)=1.14, cr(3) = 1.017, cr(4) = L015q(5) = 1.085 XI)P二兀XD= 1.14, p二兀兀+兀(2)=0.5425P(4) =兀J(l) + X(2) + 兀(3)= 0.3573 p(5) =兀(5)兀+兀(2) +兀+兀(4)=0.2856BACK35BACK#lit |序則聲孚彗茨苞律魏顫BACK#2.3進光滑庁列與級匸匕生成莊列.丿：L例趣對于k = 2,3,4,5,滿足“伙+ D < 1若p(2)不視為光滑比,P(k)則當(dāng)“3,4,5 時，p(k) g 0,0.5425 = 0

17、,刃,而(y(k+l)e 1J.085 u 1，1+引北二 2,3,4。lit |序則聲孚彗茨苞律魏顫BACK37jCriiy 2,41加生感篡壬巨累誠生成算譯H. | 1選如生或窓甦成二二二二二二二累加生成使灰色過程由灰變白I丨I1累減生成是灰量釋放的過程II累減生成算子與累加生成算子是一I 權(quán)寸互逆的序列算子。iBACK 39第二章序列算手與灰色序列生裁2,4 1加生成篡壬與累誠生成算于上忠上./*|11二次累加生成虹原始序列：x® =(%(0),兀(°)(2),兀(°)(對)刀為序列算子:X(o)z)= (x(o)(l)j,x(o)(2)d,H°)

18、(“)d)kx (k)d = f= 12 ，i=則稱Q為X的一次累加生成算子，記為1-AG0。r階算子D為0。)的丫次累加生成算子，記為r-AGO。丙慣E 雖°)D = X=(兀(1),兀(2),，兀)II | X(ID = X(r)= (x(r) (1),尹,x(r)(防)2.4累加生成算子與累減生成算子 11二次累減生成算壬原始序列：X® =(%(o)(l),x(o)(2),兀(°)(比)D為序列算子:X(0)D = (x(0)(l)J,x(0)(2)d,，理(說)兀(0)(k)d = x(0)(花)-x(0)(氐一1);花=1,2,，n則稱D為X(0)的一次

19、累減生成算子，r階算子以為X(°)的r次累減生成算子。閆慣匸 (0)P = a(1)X(0) = (a(1)x(0)(l),a(1)?0),嚴何) xwDr二/)X®二(/嚴“嚴廠皿嚴)IBACK 43第二章11序列算子與茨色序列生戰(zhàn)2.4累加生成算子與累減生成算子 | L畳加篡壬與晏遊篡于魚姜矣I累減生成算子是累加生成算子的逆算子，即I | /)X(!|鑒于累減過程與累加過程互逆，將累減生成算| 子記為IAGO o1BACK #第二章序列算手與灰色序列生裁jCriiy2,41加生感篡壬巨累誠生成算譯H. |累加與累減生成序列BACK 39原始數(shù)據(jù)序列245710次累加生成

20、序列26111828二次累加生成序列28193765原始序列26111828累減生成序列245710BACK #第二章序列算手與灰色序列生裁5Cr»iy 累力卩生感數(shù)列.敢東扌旨數(shù)律.,.* i L墨加吿或跑性已般的非負準(zhǔn)光滑序列經(jīng)過累加生成后，都會減少隨機性，呈現(xiàn)出近似的指數(shù)增長規(guī)律。原始序列越光滑，生成后指數(shù)規(guī)律也越明顯OBACK 41第二章序列算手與灰色序列生裁'.2Q.累加生成數(shù)列的慶指朝律|例題某市的汽車銷售量數(shù)據(jù)序列（圖a）嚴伙)： = (50810,46110,51177,93775,110574,110524)X® =其一次累加生成序列（圖b）X =x 伙)： = (50810,96920,148097,241872,352446,462970)x .1510單位：力輛246職為246 t ttttttttBACK43第土章序列算手與灰色序列生裁;jCriiy,2.5,1加生成礬列.敢慶擅數(shù)律.； |齊次指數(shù)函數(shù)與非齊次指數(shù)函數(shù)設(shè)連續(xù)函數(shù)：X(t) = ceat +b;c,aO,則 (1) "0時，稱X為齊次指數(shù)函數(shù)； (2)心0時，稱XC)為非齊次指數(shù)函數(shù)。jCriiy,2.5,1加生成礬列.敢慶擅數(shù)律.； L泌鯉舸也宜次鯉療迥設(shè)序列X =(兀(1),兀(2),.,兀(對),若 k