深度研讀教材策略四：探尋數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)用價(jià)值

1、    深度研讀教材策略四探尋數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)用價(jià)值    崔晶磊 李惠萍【導(dǎo)讀】“分段計(jì)費(fèi)”是人教版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)第16頁(yè)例9的教學(xué)內(nèi)容。“分段計(jì)費(fèi)”是生活中常見(jiàn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，看似簡(jiǎn)單，教學(xué)起來(lái)卻非常難：有時(shí)候分兩段，有時(shí)候分三段;有時(shí)候的基礎(chǔ)價(jià)是“包干”的，有時(shí)候不“包干”;超出價(jià)的計(jì)價(jià)數(shù)量，有時(shí)候取整，有時(shí)候不取整簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單的一個(gè)收費(fèi)問(wèn)題，為什么要搞那么復(fù)雜呢？這其中有什么奧妙？來(lái)自昆明市盤(pán)龍區(qū)金康園小學(xué)的崔晶磊老師，從函數(shù)滲透和社會(huì)公平的角度，為我們帶來(lái)了不一樣的教學(xué)思路。從崔晶磊老師執(zhí)教的過(guò)程中，我們可以看出數(shù)學(xué)對(duì)于維持人們生活秩序的重要性?！景咐空n

2、堂實(shí)錄：一、梳理?xiàng)l件，初步建模師：同學(xué)們，你們知道嗎，出租車(chē)在很多地方都被叫作計(jì)程車(chē)師：出示教學(xué)圖片，數(shù)學(xué)課本上的例9。（根據(jù)后面的課程設(shè)計(jì)，將例9中6.3千米改為5.3千米）師：請(qǐng)同學(xué)們觀(guān)察這幅圖，你們從圖中能找到哪些數(shù)學(xué)信息？生1：3 km以?xún)?nèi)7元。生2：超過(guò)3 km每千米收費(fèi)1.5元，不足1 km按照1 km計(jì)算。生3：路程5.3 km應(yīng)該看作6 km。（教師板書(shū)）師：那現(xiàn)在老師打了一張出租車(chē)，出租車(chē)行駛了1千米，我該付款多少錢(qián)？生：7元。師：那出租車(chē)行駛了2.1 千米呢？生：7元。師：出租車(chē)行駛了2.9 千米呢？為什么？生：還是7元。因?yàn)楦鶕?jù)條件“3 km以?xún)?nèi)7元”。師：現(xiàn)在出租車(chē)行駛

3、了4千米，我下車(chē)了，這時(shí)候我該付款多少錢(qián)？怎么計(jì)算？生：8.5元，根據(jù)條件“超過(guò)3 km每千米收費(fèi)1.5元”，超出了1千米，所以要增加付款1.5元，加上“起步價(jià)”就是8.5元。師：題目中李叔叔的行駛里程是5.3千米，該怎么付費(fèi)呢？能用線(xiàn)段圖表示嗎？師：請(qǐng)你給我們講述一下你的想法。生1：我先畫(huà)了3 cm表示前3千米收費(fèi)7元，再畫(huà)了2.3厘米表示后面超出的部分每千米收費(fèi)1.5元。師：你說(shuō)得非常好，大家都是這么畫(huà)的嗎？有沒(méi)有哪位同學(xué)的作品和他不一樣？生2：我畫(huà)的是6 cm的線(xiàn)段，因?yàn)橛幸粋€(gè)條件是“不足1千米按照1千米計(jì)算”。師：哪位同學(xué)最懂他？生3：李叔叔打車(chē)一共行駛了5.3千米，根據(jù)條件“不足1千

4、米按照1千米計(jì)算”應(yīng)該把這個(gè)小數(shù)看作一個(gè)整數(shù)來(lái)計(jì)算。師：為什么要取整數(shù)？生1：計(jì)算起來(lái)麻煩。師：如果在臨時(shí)停車(chē)點(diǎn)計(jì)算這么麻煩的費(fèi)用就會(huì)師：所以，取整數(shù)是為了更加方便地付費(fèi)，節(jié)約時(shí)間。師：那把一整段分成兩段又怎么理解？生4：3千米以?xún)?nèi)和超過(guò)3千米的收費(fèi)不一樣。師：能不能給兩個(gè)部分分別起一個(gè)名字？（板書(shū)：基礎(chǔ)價(jià) 超出價(jià)）師：現(xiàn)在能算一算總價(jià)了嗎？能否使用一個(gè)公式來(lái)解決？生：基礎(chǔ)價(jià)+超出價(jià)=總價(jià)師：能列算式計(jì)算了嗎？試一試。二、循序漸進(jìn)，深入感知（一）初識(shí)函數(shù)，埋下一顆數(shù)學(xué)的種子師：同學(xué)們，老師昨天也畫(huà)了一張圖，大家看看。橫著的這一條叫做橫軸，表示行駛的里程，豎著的這一條叫做豎軸，表示價(jià)格，同學(xué)們可

5、以相互交流，最后告訴我，你的想法。生：黃色的線(xiàn)表示3千米以?xún)?nèi)，白色的線(xiàn)表示超出的部分。師：你說(shuō)得非常好，（教師手指橫軸0-3任意位置）（多次），那走這么遠(yuǎn)呢？生：7元。師：那3千米以?xún)?nèi)7元的意思是？生：只要是車(chē)子啟動(dòng)不超過(guò)3千米，就要付7元。師：那正好3千米呢？（教師手指橫軸3）生：還是7元。師：所以3千米以?xún)?nèi)7元包含了？生：3千米。師：所以我用一個(gè)實(shí)心黃色圓點(diǎn)表示。那上面的空心圓點(diǎn)表示？生：剛好3千米還沒(méi)有超出。師：咱們?cè)賮?lái)看看白色的線(xiàn)，誰(shuí)懂它的意思？生1：白色的線(xiàn)表示超出的部分，每多行駛1千米，就要增加1.5元。師小結(jié)：同學(xué)們，通過(guò)這幅圖我們又從另外一個(gè)視角看到了今天要解決的問(wèn)題“分段計(jì)費(fèi)

6、”，在整個(gè)打車(chē)的過(guò)程中，有兩種計(jì)費(fèi)方式，我們要分開(kāi)計(jì)算。（二）縱向挖掘，透徹領(lǐng)悟師：同學(xué)們，張叔叔也打出租車(chē)了，他的行駛里程是11.2千米。不計(jì)算，你能從圖象上找到答案嗎？生：20.5元。師：怎么如此迅速，快起來(lái)說(shuō)說(shuō)。生：11.2在11和12的之間，根據(jù)條件不足1千米按照1千米計(jì)算，所以11.2千米應(yīng)該收費(fèi)是20.5元。師：那張叔叔打車(chē)走了11.5千米，應(yīng)該付多少車(chē)費(fèi)呢？11.9千米呢？11.95千米呢？生：都是20.5元，因?yàn)椴蛔?千米要按照1千米計(jì)算。師：對(duì)比張叔叔和李叔叔的路程與車(chē)費(fèi)，你有什么發(fā)現(xiàn)？生：我發(fā)現(xiàn)打車(chē)的路程越長(zhǎng)，車(chē)費(fèi)就越多。師：張叔叔的車(chē)程是李叔叔幾倍？生（齊）：2倍。師：那

7、張叔叔打車(chē)的費(fèi)用也是李叔叔的2倍吧。生：不是，李叔叔花了11.5元，張叔叔花了20.5元，不是2倍。師：怎么會(huì)這樣呢？計(jì)價(jià)里程明明就是2倍關(guān)系??？生：我想應(yīng)該是總價(jià)中包含了基礎(chǔ)價(jià)，所以它們不成倍數(shù)關(guān)系。師：說(shuō)得非常好！你們真的太厲害了?；A(chǔ)價(jià)和超出價(jià)哪個(gè)更貴？生（齊）：基礎(chǔ)價(jià)。師：在李叔叔和張叔叔的打車(chē)費(fèi)中，基礎(chǔ)價(jià)所占的分量如何？生1：李叔叔的車(chē)費(fèi)中，基礎(chǔ)價(jià)占到了一半，所以比較貴。師追問(wèn)：張叔叔的呢？生2：基礎(chǔ)價(jià)占不到一半。師：也就是便宜的部分生2：占的比較多，所以總體上更劃得來(lái)。師：這就是說(shuō)，打車(chē)路程越短生（迫不及待）：越不劃算。師：為什么要這么規(guī)定呢？師：對(duì)了！之所以把出租車(chē)收費(fèi)弄得那么復(fù)

8、雜，就是為了促進(jìn)社會(huì)的公平性。（三）拓展提升，將生活中的問(wèn)題“還給”生活師：同學(xué)們，生活中還有哪些地方在使用分段計(jì)費(fèi)？生：水費(fèi)、電費(fèi)、停車(chē)場(chǎng)收費(fèi)師：你們覺(jué)得分段計(jì)費(fèi)的方法公平嗎？為什么？生：公平。師：是的，分段計(jì)費(fèi)就是為了讓更多的人享受到公平的待遇。師：那么所有分段計(jì)費(fèi)中的“基礎(chǔ)價(jià)”都比“超出價(jià)”更貴嗎？生1：不是，水費(fèi)就是“超出價(jià)”更貴。師：為什么呢？（四）全課小結(jié)，設(shè)疑思考師：是的，分段計(jì)費(fèi)是對(duì)計(jì)費(fèi)方式進(jìn)行人為干預(yù)的一種消費(fèi)模式。希望同學(xué)們?nèi)グl(fā)現(xiàn)生活中更多分段計(jì)費(fèi)的例子，體會(huì)數(shù)學(xué)給生活帶來(lái)的更多價(jià)值。板書(shū)設(shè)計(jì)：【評(píng)析】本節(jié)課是昆明市李惠萍數(shù)學(xué)名師工作室和盤(pán)龍區(qū)周佳泉數(shù)學(xué)名師工作室合作、研討

9、的成果結(jié)晶，經(jīng)過(guò)多次磨課后初步形成的“雛形”，最終由崔晶磊老師完善并執(zhí)教。本節(jié)課在以下幾方面做出了一些新的嘗試和突破：1.不斷深化對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解。這是一節(jié)容易被簡(jiǎn)單化的課，在實(shí)際教學(xué)中，部分老師和學(xué)生僅止步于會(huì)應(yīng)用“基礎(chǔ)價(jià)+超出價(jià)”求出問(wèn)題答案，卻沒(méi)有對(duì)這一問(wèn)題模型中的細(xì)節(jié)進(jìn)行深度關(guān)注：在“基礎(chǔ)價(jià)”中，“3千米以?xún)?nèi)”究竟是指幾千米？在超出價(jià)中，學(xué)生是否真正理解“不足按照”這個(gè)條件？是否所有“超出價(jià)”的計(jì)價(jià)數(shù)量都是按照這個(gè)方法取整？總體來(lái)講，車(chē)程越長(zhǎng)付費(fèi)越多，但付費(fèi)是否與車(chē)程長(zhǎng)的增長(zhǎng)成倍數(shù)關(guān)系（六年級(jí)學(xué)的正比例關(guān)系）？這些關(guān)鍵細(xì)節(jié)的忽略，無(wú)疑會(huì)使本節(jié)課的價(jià)值大打折扣。從這節(jié)課的實(shí)際操作可以看出

10、，關(guān)注這些細(xì)節(jié)，對(duì)于學(xué)生深入理解“基礎(chǔ)價(jià)+超出價(jià)”這一數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)和實(shí)際應(yīng)用的范圍、邊界，無(wú)疑是大有裨益的。2.用動(dòng)態(tài)的眼光看待世界?！?千米以?xún)?nèi)收費(fèi)7元”這句話(huà)的含義，對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)無(wú)法用靜止的觀(guān)點(diǎn)去準(zhǔn)確描述。它必須用動(dòng)態(tài)的觀(guān)點(diǎn)舉例說(shuō)明從0千米至7千米（包括“0千米”和“7千米”這兩個(gè)點(diǎn)）在內(nèi)的任何一個(gè)車(chē)程點(diǎn)下車(chē)，都是收費(fèi)7元。對(duì)于學(xué)生以往的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)來(lái)說(shuō)，這是第一次出現(xiàn)的“奇葩”問(wèn)題，但是結(jié)合生活實(shí)際卻非常容易理解，哪怕你只坐上出租車(chē)就立即下車(chē)，你也“耽誤”了出租車(chē)司機(jī)的一單生意，應(yīng)該給予人家補(bǔ)償，所以仍然要付費(fèi)7元。而在“超出價(jià)”的車(chē)程計(jì)數(shù)中，如果不“取整”就會(huì)給計(jì)算帶來(lái)很大麻煩，一

11、些臨時(shí)停車(chē)點(diǎn)的停車(chē)時(shí)間就會(huì)超時(shí)，造成交通擁堵。因此，分段計(jì)費(fèi)問(wèn)題在圖象上，表現(xiàn)為分段函數(shù)的形式。3.體會(huì)分段計(jì)費(fèi)的公平價(jià)值。“3千米以?xún)?nèi)收費(fèi)7元”的規(guī)定看似不合理，卻對(duì)那些隨意打車(chē)的人做出了行為限制，讓他們?cè)凇安粍澦恪钡男睦韷毫ο拢x擇其他更適宜的出行方式，把出租車(chē)的服務(wù)提供給真正有需要的顧客。而同樣是分段計(jì)費(fèi)，“階梯水費(fèi)”“階梯電費(fèi)”的基礎(chǔ)價(jià)為什么不實(shí)行“包干”價(jià)呢？學(xué)生根據(jù)自己的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，很快有了正確答案如果“階梯水費(fèi)”“階梯電費(fèi)”的基礎(chǔ)價(jià)也實(shí)行“包干”價(jià)的話(huà)，那就會(huì)促使本來(lái)用不了那么多水和電的小額用戶(hù)大量用水和用電反正都要收那么多錢(qián)嘛！這就反而造成了浪費(fèi)。由此可見(jiàn)，出租車(chē)計(jì)價(jià)當(dāng)中的“基礎(chǔ)價(jià)”規(guī)定偏高，正是為了限制低消