高等代數(shù)例題全部

1、高等代數(shù)例題第一章 多項(xiàng)式1 2 （1）、適合什么條件時(shí)，有2 7 設(shè)，的最大公因式是一個(gè)二次多項(xiàng)式，求、 的值。3 14 證明：如果，那么4 18 求多項(xiàng)式有重根的條件。5 24 證明：如果，那么6 25 證明：如果，那么，7 26 求多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域內(nèi)和實(shí)數(shù)域內(nèi)的因式分解。8 28 （4）多項(xiàng)式 （為奇素?cái)?shù)）在有理數(shù)域上是否可約？9 1 設(shè)，且。求證：。10 5 多項(xiàng)式稱(chēng)為多項(xiàng)式，的一個(gè)最小公倍式，如果（1），；（2），的任意一個(gè)公倍式都是的倍式。我們以表示首項(xiàng)系數(shù)為1的那個(gè)最小公倍式。證明：如果，的首項(xiàng)系數(shù)都為1，那么。11設(shè) 、為整數(shù)，除所得余式為 。12 求證：如果|，|，且是與的一個(gè)

2、組合，那么是與的一個(gè)最大公因式。13 求。14 設(shè) (m ,n 是正整數(shù)), 。證：|。第二章 行列式1 5 如果排列的逆序數(shù)為，排列的逆序數(shù)是多少？2 8 （3）3 10 按行列式的定義計(jì)算 4 12 設(shè) ，其中是互不相同的數(shù)。（1）由行列式的定義，說(shuō)明是一個(gè)次多項(xiàng)式；（2）由行列式性質(zhì)，求的根。5 14 6 17 （5）7 18 （3）證明，其中8 18 （5），其中。9設(shè)、為三維列向量，三階矩陣的行列式5，則行列式 。10若四階行列式D的第二列的元素依次是 ，2 ，0 ，1 ，它們的余子式分別為5 ，3 ， ,4 ，則 。11 若，則0的根的個(gè)數(shù)為 【 】(A) (B) (C) (D)

3、12計(jì)算行列式D n = 13求 Dn+1 = 的值。14計(jì)算階行列式第三章 線(xiàn)性方程組1 7 （3）解線(xiàn)性方程組2 6 設(shè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)，證明，也線(xiàn)性無(wú)關(guān)。3 8 設(shè)的秩為，是中的個(gè)向量，使得中的每個(gè)向量都可以被它們線(xiàn)性表示，證明是的一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組。4 12 證明：如果向量組（）可由向量組（）線(xiàn)性表示，那么（）的秩不超過(guò)（）的秩。5 19 （1） 取什么值時(shí)下列線(xiàn)性方程組有解，并求解：6 22 取什么值時(shí)，線(xiàn)性方程組有解？在有解的情形，求一般解。7 1 設(shè)向量可以經(jīng)向量組線(xiàn)性表示，證明：表示法唯一的充分必要條件是 線(xiàn)性無(wú)關(guān)。8 4 已知兩向量組有相同的秩，且其中之一可被另一個(gè)線(xiàn)性表示，證明：這

4、兩個(gè)向量組等價(jià)。9 7 線(xiàn)性方程組 的系數(shù)矩陣為 設(shè)是矩陣中劃去第列剩下的矩陣的行列式。（1） 證明：是方程組的一個(gè)解；（2） 如果的秩為，那么方程組的解全是的倍數(shù)。10求, , , 的一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組，并將其它向量用極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組線(xiàn)性表示： ，, , 11設(shè)四，。討論、為何值時(shí)（1） 不能由, 線(xiàn)性表示；（2） 可由, 唯一地線(xiàn)性表示，并求出表示式；（3） 可由, 線(xiàn)性表示，但表示式不唯一，并求出表示式。12維向量是非齊次線(xiàn)性方程組AX=B的兩個(gè)解， 則導(dǎo)出組AX=0的一個(gè)非零解為 。13設(shè),，是齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系，向量不是的解，即。證明：，線(xiàn)性無(wú)關(guān)。14若是非齊次線(xiàn)性方程組（）的個(gè)

5、解，則是 的解的充要條件是15 設(shè)整系數(shù)方程組，對(duì)任何，均有整數(shù)解。求證：方程組的系數(shù)矩陣可逆，且第四章 矩陣1 設(shè)為階矩陣，將的第1列與第2列交換得，再把的第2列加到第3列得，則滿(mǎn)足的可逆矩陣為 【 】(A) (B) (C) (D) 2設(shè)（）階非奇異矩陣的伴隨矩陣是，則 【 】(A) (B) (C) (D) 3設(shè)階矩陣與等價(jià)（即經(jīng)初等變換可變?yōu)椋?，則必須 【 】(A) 當(dāng)時(shí)， (B) 當(dāng)時(shí)， (C) 當(dāng)時(shí)， (D) 當(dāng)時(shí)，4設(shè)為三階方陣,|；為二階方陣,| (都不等于零),則 等于 【 】(A) (B) (C) (D) 5設(shè)、分別為和矩陣，則 【 】(A) 當(dāng)時(shí)，必有 (B) 當(dāng)時(shí)，必有 (

6、C) 當(dāng)時(shí)，必有 (D) 當(dāng)時(shí)，必有6設(shè)為對(duì)稱(chēng)矩陣，B為反對(duì)稱(chēng)矩陣，則下列矩陣中為反對(duì)稱(chēng)矩陣的是 【 】(A) (B) (C) (D) 7設(shè)、為滿(mǎn)足的任意兩個(gè)非零矩陣，則必有 【 】(A) 的列向量線(xiàn)性相關(guān)，的行向量線(xiàn)性相關(guān) (B) 的列向量線(xiàn)性相關(guān)，的列向量線(xiàn)性相關(guān)(C) 的行向量線(xiàn)性相關(guān)，的行向量線(xiàn)性相關(guān) (D) 的行向量線(xiàn)性相關(guān)，的列向量線(xiàn)性相關(guān)8設(shè)為3維列向量，若，則 。 9， 為三階可逆矩陣， ，則 。 10設(shè) ，= ，求11設(shè)為4×3矩陣，若2，則 。12已知方陣滿(mǎn)足 ，則 。13設(shè)為階單位矩陣，求2階矩陣的逆矩陣。14設(shè)、分別是和矩陣，若，求證。15設(shè)（）階矩陣的伴隨矩

7、陣是，求證：。16設(shè)（）階矩陣的伴隨矩陣是，求證： 。17設(shè)、分別是和矩陣，求證。18設(shè)、分別是和矩陣，是非零數(shù)，求證：。第五章 二次型1求三元二次型的矩陣。2兩個(gè)矩陣的秩相等是它們合同的 條件。3用配方法求二次型的標(biāo)準(zhǔn)形。4. 用初等變換法求下列二次型的標(biāo)準(zhǔn)形，并求非退化的線(xiàn)性變換：（1）（2）5. 設(shè)為級(jí)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣， 正定的充分必要條件是 【 】(A) 存在實(shí)維列向量，使 (B) 對(duì)任意的所有分量都不為零的實(shí)維列向量，都有(C) 的主對(duì)角線(xiàn)上的元素 ， (D) 存在級(jí)正定矩陣，使6矩陣是正定的，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 【 】 (A) 的主對(duì)角元全為正數(shù) (B) 的元素全為正數(shù)(C) 的特征值全為

8、正數(shù) (D) 的順序主子式全為正數(shù)1. 在實(shí)數(shù)域上，下列矩陣中，與合同的是 【 】(A) (B) (C) (D) 7設(shè) ， 。、這兩個(gè)矩陣中，不正定的是 。8全體元復(fù)二次型按等價(jià)分類(lèi)，共分為多少類(lèi)，全體元實(shí)二次型按等價(jià)分類(lèi)，共分為多少類(lèi)？9設(shè)、是兩個(gè)級(jí)正定矩陣，求證也正定的充要條件是。10設(shè)、分別為級(jí)和級(jí)正定矩陣。證明：級(jí)分塊對(duì)角矩陣正定。11判斷實(shí)二次型是否正定。下述方法：“對(duì)實(shí)二次型 配方后變形為：由此得到的規(guī)范形： ，從而判定正定” 是否正確（說(shuō)明理由）？若不正確，給出正確解答。11設(shè)為偶數(shù)，為的伴隨矩陣。證明：若為階正定矩陣， 則是正定矩陣。 12設(shè) 為正定二次型，證明：為負(fù)定二次型。

9、第六章 線(xiàn)性空間1判斷下列命題正確與否：(1) 設(shè)是數(shù)域，集合按照向量的加法和數(shù)乘法構(gòu)成上的線(xiàn)性空間?！?】(2) 設(shè)是數(shù)域，集合按照向量的加法和數(shù)乘法構(gòu)成上的線(xiàn)性空間?！?】(3) 設(shè)分別是實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域 , ， 關(guān)于矩陣的加法、數(shù)乘法構(gòu)成 上的線(xiàn)性空間，維。 【 】(4) 、是有限維線(xiàn)性空間的子空間，若，則 2的子空間 的維數(shù)是 。3向量關(guān)于基=，=，=，= 的坐標(biāo)是 。4設(shè)基，到基，的過(guò)渡矩陣，若在基，下的坐標(biāo)為，求在基，下的坐標(biāo)。5設(shè)是維線(xiàn)性空間的一個(gè)基, ， 。向量組是否是的一個(gè)基？（說(shuō)明理由）若是，求 基 到 基 的過(guò)渡矩陣。6設(shè)是數(shù)域, 線(xiàn)性空間=的子空間，求維。7求中全體對(duì)稱(chēng)矩

10、陣作成的數(shù)域上的線(xiàn)性空間的維數(shù)。8是實(shí)數(shù)域上由矩陣的全體實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式組成的線(xiàn)性空間， ，求維。9設(shè)T是線(xiàn)性空間V中由基到基的過(guò)渡矩陣，則T的第j列是 【 】(A) 關(guān)于基的坐標(biāo) (B) 關(guān)于基的坐標(biāo) (C) 關(guān)于基的坐標(biāo) (D) 關(guān)于基的坐標(biāo) 10若、是維線(xiàn)性空間的兩個(gè)子空間，則下列結(jié)論正確的是 【 】(A) 不一定是的子空間 (B) 一定不是的子空(C) 當(dāng)時(shí)，(D) 當(dāng)時(shí)， 11設(shè)向量組，；，。，求（1）的維數(shù)及一組基；（2）的維數(shù)及一組基。12設(shè)是數(shù)域，求證：集合構(gòu)成的子空間。 13，證明：第七章 線(xiàn)性變換1在的如下對(duì)應(yīng)法則中，為線(xiàn)性變換的是 【 】(A) (B) (C) (D) 2.設(shè)

11、是線(xiàn)性空間的線(xiàn)性變換，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 【 】(A)將中線(xiàn)性相關(guān)的向量變?yōu)榫€(xiàn)性相關(guān)的向量 (B)將中線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量變?yōu)榫€(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量(C)為滿(mǎn)射的充要條件是 (D)為單射的充要條件是3設(shè)是數(shù)域上的四階反對(duì)稱(chēng)矩陣的全體構(gòu)成的線(xiàn)性空間，關(guān)于的一個(gè)基的矩陣的階數(shù)是 【 】(A) 4 (B) 6 (C) 10 (D) 164設(shè)是維線(xiàn)性空間的一個(gè)線(xiàn)性變換, 關(guān)于的兩個(gè)基的矩陣分別為和，則與 【 】(A) 相等 (B) 合同 (C) 相似 (D) 無(wú)關(guān)系5有限維線(xiàn)性空間的線(xiàn)性變換在的任意一個(gè)基下的矩陣都相同的充要條件是 【 】(A) 是可逆變換 (B) 是零變換 (C) 是單位變換 (D) 是數(shù)乘變換6設(shè)

12、是數(shù)域上的維線(xiàn)性空間上的線(xiàn)性變換，因?yàn)?，所?【 】7設(shè) 、是數(shù)域上的三維線(xiàn)性空間的兩個(gè)線(xiàn)性變換，。若（1，1，3），（1，2，0），則 。8若線(xiàn)性空間（是實(shí)數(shù)域）的線(xiàn)性變換：，求在基，下的矩陣。9線(xiàn)性空間的線(xiàn)性變換：，=，求的秩及零度。10.數(shù)域上的線(xiàn)性空間的線(xiàn)性變換為： （1）求在基，下的矩陣；（2）分別求的值域和核的一個(gè)基。11在數(shù)域上次數(shù)小于的一元多項(xiàng)式空間中，線(xiàn)性變換，求的特征多項(xiàng)式，的特征值，的核。12設(shè)為三階矩陣，為三階單位矩陣。 若，則 。13 設(shè)三階矩陣滿(mǎn)足，則 。14若三階矩陣與相似，矩陣的特征值為、，則行列式 。15矩陣=， 。求證：在實(shí)數(shù)域上可以對(duì)角化。16設(shè)是階方陣，

13、求證：（1）的特征根全是零的充分必要條件是存在自然數(shù)，使； （2）若，則。17設(shè)為階方陣，且的特征值為,證明： 18設(shè)是線(xiàn)性空間上的線(xiàn)性變換，是的非零向量。若向量組，線(xiàn)性無(wú)關(guān)，而與它們線(xiàn)性相關(guān)。證明：子空間是的不變子空間，并求在基，下的矩陣。第八章 矩陣1.三階矩陣的最小多項(xiàng)式，的標(biāo)準(zhǔn)形為 【 】(A) (B) (C) (D) 2若5級(jí)矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形 ，求的最小多項(xiàng)式（其中是主對(duì)角元素為的級(jí)塊）。 3求的標(biāo)準(zhǔn)形。4若三角形矩陣與冪零矩陣相似，求的對(duì)角線(xiàn)上的元素。第九章 歐氏空間1判斷下列命題正確與否：（1） 在維歐氏空間中，度量矩陣為單位矩陣的基必是標(biāo)準(zhǔn)正交基。 【 】（2） 對(duì)稱(chēng)變換在任意一個(gè)

14、基下的矩陣都是對(duì)稱(chēng)矩陣 【 】（3） 歐氏空間中保持兩個(gè)向量夾角不變的線(xiàn)性變換是正交變換 【 】2，為實(shí)空間中的任意兩個(gè)向量，、是兩個(gè)實(shí)數(shù)，若對(duì)內(nèi)積作成歐氏空間，求、的范圍。3在實(shí)空間中定義內(nèi)積為：。求與的夾角。4. 設(shè)是實(shí)數(shù)域，在實(shí)空間中定義內(nèi)積為：跡,求的夾角。5若是正交矩陣，求。6求齊次線(xiàn)性方程組 的解空間的正交補(bǔ) 的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基。7 設(shè)既是3維歐幾里得空間的第一類(lèi)正交變換，又是對(duì)稱(chēng)變換，則下列矩陣中，能成為在的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣的是 【 】(A) (B) (C) (D) 8 設(shè)是維歐氏空間的線(xiàn)性變換，下列結(jié)論正確的是 【 】(A) 若是正交變換 則 在的任意一個(gè)基下的矩陣都是正交矩陣 (B) 若是對(duì)稱(chēng)變換，則 在的任意一個(gè)基下的矩陣都是對(duì)稱(chēng)矩陣(C) 若是正交變換，則 可以對(duì)角化(D) 若是對(duì)稱(chēng)變換， 則 可以對(duì)角化9三元實(shí)二次型