高等代數例題全部

1、高等代數例題第一章 多項式1 2 （1）、適合什么條件時，有2 7 設，的最大公因式是一個二次多項式，求、 的值。3 14 證明：如果，那么4 18 求多項式有重根的條件。5 24 證明：如果，那么6 25 證明：如果，那么，7 26 求多項式在復數域內和實數域內的因式分解。8 28 （4）多項式 （為奇素數）在有理數域上是否可約？9 1 設，且。求證：。10 5 多項式稱為多項式，的一個最小公倍式，如果（1），；（2），的任意一個公倍式都是的倍式。我們以表示首項系數為1的那個最小公倍式。證明：如果，的首項系數都為1，那么。11設 、為整數，除所得余式為 。12 求證：如果|，|，且是與的一個

2、組合，那么是與的一個最大公因式。13 求。14 設 (m ,n 是正整數), 。證：|。第二章 行列式1 5 如果排列的逆序數為，排列的逆序數是多少？2 8 （3）3 10 按行列式的定義計算 4 12 設 ，其中是互不相同的數。（1）由行列式的定義，說明是一個次多項式；（2）由行列式性質，求的根。5 14 6 17 （5）7 18 （3）證明，其中8 18 （5），其中。9設、為三維列向量，三階矩陣的行列式5，則行列式 。10若四階行列式D的第二列的元素依次是 ，2 ，0 ，1 ，它們的余子式分別為5 ，3 ， ,4 ，則 。11 若，則0的根的個數為 【 】(A) (B) (C) (D)

3、12計算行列式D n = 13求 Dn+1 = 的值。14計算階行列式第三章 線性方程組1 7 （3）解線性方程組2 6 設線性無關，證明，也線性無關。3 8 設的秩為，是中的個向量，使得中的每個向量都可以被它們線性表示，證明是的一個極大線性無關組。4 12 證明：如果向量組（）可由向量組（）線性表示，那么（）的秩不超過（）的秩。5 19 （1） 取什么值時下列線性方程組有解，并求解：6 22 取什么值時，線性方程組有解？在有解的情形，求一般解。7 1 設向量可以經向量組線性表示，證明：表示法唯一的充分必要條件是 線性無關。8 4 已知兩向量組有相同的秩，且其中之一可被另一個線性表示，證明：這

4、兩個向量組等價。9 7 線性方程組 的系數矩陣為 設是矩陣中劃去第列剩下的矩陣的行列式。（1） 證明：是方程組的一個解；（2） 如果的秩為，那么方程組的解全是的倍數。10求, , , 的一個極大線性無關組，并將其它向量用極大線性無關組線性表示： ，, , 11設四，。討論、為何值時（1） 不能由, 線性表示；（2） 可由, 唯一地線性表示，并求出表示式；（3） 可由, 線性表示，但表示式不唯一，并求出表示式。12維向量是非齊次線性方程組AX=B的兩個解， 則導出組AX=0的一個非零解為 。13設,，是齊次線性方程組的基礎解系，向量不是的解，即。證明：，線性無關。14若是非齊次線性方程組（）的個

5、解，則是 的解的充要條件是15 設整系數方程組，對任何，均有整數解。求證：方程組的系數矩陣可逆，且第四章 矩陣1 設為階矩陣，將的第1列與第2列交換得，再把的第2列加到第3列得，則滿足的可逆矩陣為 【 】(A) (B) (C) (D) 2設（）階非奇異矩陣的伴隨矩陣是，則 【 】(A) (B) (C) (D) 3設階矩陣與等價（即經初等變換可變?yōu)椋?，則必須 【 】(A) 當時， (B) 當時， (C) 當時， (D) 當時，4設為三階方陣,|；為二階方陣,| (都不等于零),則 等于 【 】(A) (B) (C) (D) 5設、分別為和矩陣，則 【 】(A) 當時，必有 (B) 當時，必有 (

6、C) 當時，必有 (D) 當時，必有6設為對稱矩陣，B為反對稱矩陣，則下列矩陣中為反對稱矩陣的是 【 】(A) (B) (C) (D) 7設、為滿足的任意兩個非零矩陣，則必有 【 】(A) 的列向量線性相關，的行向量線性相關 (B) 的列向量線性相關，的列向量線性相關(C) 的行向量線性相關，的行向量線性相關 (D) 的行向量線性相關，的列向量線性相關8設為3維列向量，若，則 。 9， 為三階可逆矩陣， ，則 。 10設 ，= ，求11設為4×3矩陣，若2，則 。12已知方陣滿足 ，則 。13設為階單位矩陣，求2階矩陣的逆矩陣。14設、分別是和矩陣，若，求證。15設（）階矩陣的伴隨矩

7、陣是，求證：。16設（）階矩陣的伴隨矩陣是，求證： 。17設、分別是和矩陣，求證。18設、分別是和矩陣，是非零數，求證：。第五章 二次型1求三元二次型的矩陣。2兩個矩陣的秩相等是它們合同的 條件。3用配方法求二次型的標準形。4. 用初等變換法求下列二次型的標準形，并求非退化的線性變換：（1）（2）5. 設為級實對稱矩陣， 正定的充分必要條件是 【 】(A) 存在實維列向量，使 (B) 對任意的所有分量都不為零的實維列向量，都有(C) 的主對角線上的元素 ， (D) 存在級正定矩陣，使6矩陣是正定的，下列結論錯誤的是 【 】 (A) 的主對角元全為正數 (B) 的元素全為正數(C) 的特征值全為

8、正數 (D) 的順序主子式全為正數1. 在實數域上，下列矩陣中，與合同的是 【 】(A) (B) (C) (D) 7設 ， 。、這兩個矩陣中，不正定的是 。8全體元復二次型按等價分類，共分為多少類，全體元實二次型按等價分類，共分為多少類？9設、是兩個級正定矩陣，求證也正定的充要條件是。10設、分別為級和級正定矩陣。證明：級分塊對角矩陣正定。11判斷實二次型是否正定。下述方法：“對實二次型 配方后變形為：由此得到的規(guī)范形： ，從而判定正定” 是否正確（說明理由）？若不正確，給出正確解答。11設為偶數，為的伴隨矩陣。證明：若為階正定矩陣， 則是正定矩陣。 12設 為正定二次型，證明：為負定二次型。

9、第六章 線性空間1判斷下列命題正確與否：(1) 設是數域，集合按照向量的加法和數乘法構成上的線性空間?！?】(2) 設是數域，集合按照向量的加法和數乘法構成上的線性空間?！?】(3) 設分別是實數域和復數域 , ， 關于矩陣的加法、數乘法構成 上的線性空間，維。 【 】(4) 、是有限維線性空間的子空間，若，則 2的子空間 的維數是 。3向量關于基=，=，=，= 的坐標是 。4設基，到基，的過渡矩陣，若在基，下的坐標為，求在基，下的坐標。5設是維線性空間的一個基, ， 。向量組是否是的一個基？（說明理由）若是，求 基 到 基 的過渡矩陣。6設是數域, 線性空間=的子空間，求維。7求中全體對稱矩

10、陣作成的數域上的線性空間的維數。8是實數域上由矩陣的全體實系數多項式組成的線性空間， ，求維。9設T是線性空間V中由基到基的過渡矩陣，則T的第j列是 【 】(A) 關于基的坐標 (B) 關于基的坐標 (C) 關于基的坐標 (D) 關于基的坐標 10若、是維線性空間的兩個子空間，則下列結論正確的是 【 】(A) 不一定是的子空間 (B) 一定不是的子空(C) 當時，(D) 當時， 11設向量組，；，。，求（1）的維數及一組基；（2）的維數及一組基。12設是數域，求證：集合構成的子空間。 13，證明：第七章 線性變換1在的如下對應法則中，為線性變換的是 【 】(A) (B) (C) (D) 2.設

11、是線性空間的線性變換，下列結論錯誤的是 【 】(A)將中線性相關的向量變?yōu)榫€性相關的向量 (B)將中線性無關的向量變?yōu)榫€性無關的向量(C)為滿射的充要條件是 (D)為單射的充要條件是3設是數域上的四階反對稱矩陣的全體構成的線性空間，關于的一個基的矩陣的階數是 【 】(A) 4 (B) 6 (C) 10 (D) 164設是維線性空間的一個線性變換, 關于的兩個基的矩陣分別為和，則與 【 】(A) 相等 (B) 合同 (C) 相似 (D) 無關系5有限維線性空間的線性變換在的任意一個基下的矩陣都相同的充要條件是 【 】(A) 是可逆變換 (B) 是零變換 (C) 是單位變換 (D) 是數乘變換6設

12、是數域上的維線性空間上的線性變換，因為，所以 【 】7設 、是數域上的三維線性空間的兩個線性變換，。若（1，1，3），（1，2，0），則 。8若線性空間（是實數域）的線性變換：，求在基，下的矩陣。9線性空間的線性變換：，=，求的秩及零度。10.數域上的線性空間的線性變換為： （1）求在基，下的矩陣；（2）分別求的值域和核的一個基。11在數域上次數小于的一元多項式空間中，線性變換，求的特征多項式，的特征值，的核。12設為三階矩陣，為三階單位矩陣。 若，則 。13 設三階矩陣滿足，則 。14若三階矩陣與相似，矩陣的特征值為、，則行列式 。15矩陣=， 。求證：在實數域上可以對角化。16設是階方陣，

13、求證：（1）的特征根全是零的充分必要條件是存在自然數，使； （2）若，則。17設為階方陣，且的特征值為,證明： 18設是線性空間上的線性變換，是的非零向量。若向量組，線性無關，而與它們線性相關。證明：子空間是的不變子空間，并求在基，下的矩陣。第八章 矩陣1.三階矩陣的最小多項式，的標準形為 【 】(A) (B) (C) (D) 2若5級矩陣的標準形 ，求的最小多項式（其中是主對角元素為的級塊）。 3求的標準形。4若三角形矩陣與冪零矩陣相似，求的對角線上的元素。第九章 歐氏空間1判斷下列命題正確與否：（1） 在維歐氏空間中，度量矩陣為單位矩陣的基必是標準正交基。 【 】（2） 對稱變換在任意一個

14、基下的矩陣都是對稱矩陣 【 】（3） 歐氏空間中保持兩個向量夾角不變的線性變換是正交變換 【 】2，為實空間中的任意兩個向量，、是兩個實數，若對內積作成歐氏空間，求、的范圍。3在實空間中定義內積為：。求與的夾角。4. 設是實數域，在實空間中定義內積為：跡,求的夾角。5若是正交矩陣，求。6求齊次線性方程組 的解空間的正交補 的一個標準正交基。7 設既是3維歐幾里得空間的第一類正交變換，又是對稱變換，則下列矩陣中，能成為在的一個標準正交基下的矩陣的是 【 】(A) (B) (C) (D) 8 設是維歐氏空間的線性變換，下列結論正確的是 【 】(A) 若是正交變換 則 在的任意一個基下的矩陣都是正交矩陣 (B) 若是對稱變換，則 在的任意一個基下的矩陣都是對稱矩陣(C) 若是正交變換，則 可以對角化(D) 若是對稱變換， 則 可以對角化9三元實二次型