第12節(jié)動(dòng)量矩定理

1、第十二章 動(dòng)量矩定理§121 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)Q的動(dòng)量對(duì)于點(diǎn)O的矩，定義為質(zhì)點(diǎn)對(duì)于點(diǎn)O的動(dòng)量矩 動(dòng)量矩的單位：kgm2/s二、 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩 繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)其轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的乘積。 §122 動(dòng)量矩定理 一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理: 質(zhì)點(diǎn)對(duì)某定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用力對(duì)同一點(diǎn)的矩。直角坐標(biāo)投影式為特殊情形：當(dāng)質(zhì)點(diǎn)受有心力的作用時(shí)，如圖11-4所示，力矩，則質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩=恒矢量，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒。例如行星繞著恒星轉(zhuǎn)，受恒星的引力作用，引力對(duì)恒星的矩，行星的動(dòng)量矩=恒矢量，此恒矢量

2、的方向是不變的，因此行星作平面曲線運(yùn)動(dòng)；此恒矢量的大小是不變的，即mvh=恒量，行星的速度v與恒星到速度矢量的距離h成反比。例1如圖所示單擺，由質(zhì)量為的小球和繩索構(gòu)成。單擺懸吊于點(diǎn)O，繩長為，當(dāng)單擺作微振幅擺動(dòng)時(shí)，試求單擺的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。解：根據(jù)題意以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，小球受力為鉛垂重力和繩索拉力。單擺在鉛垂平面內(nèi)繞點(diǎn)O作微振幅擺動(dòng)，設(shè)擺與鉛垂線的夾角為，為逆時(shí)針時(shí)正，如圖所示。則質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩為作用在小球上的力對(duì)點(diǎn)O的矩為 由質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理得 （1）由于，則，又由于單擺作微振幅擺動(dòng)，則從而由式（1）得單擺運(yùn)動(dòng)微分方程為 （2）解式（2）得單擺的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為其中，稱為單擺的角頻率，單擺的周期為稱

3、為單擺的振幅，稱為單擺的初相位，它們由運(yùn)動(dòng)的初始條件確定。二、質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩守恒定理若作用質(zhì)點(diǎn)的力對(duì)某定點(diǎn)的矩恒等于零，則MO（mv）= 恒量Mz ( mv ) = 恒量dS/dt = 恒量 質(zhì)點(diǎn)在有心力作用下的面積速度定理 三、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理n個(gè)方程相加后得投影式為四、質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩守恒定理當(dāng)外力對(duì)某定點(diǎn)（或某定軸）的主矩（或力矩代數(shù)和）等于零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該點(diǎn)（或該軸）的動(dòng)量矩保持不變。§123 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程§124 剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 一、簡單形狀物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算均質(zhì)細(xì)直桿 均質(zhì)薄圓環(huán) Jz = mR2均質(zhì)圓板 二、慣性半徑（或回轉(zhuǎn)半徑） 三、平行軸定理 &

4、#167;125 質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于定點(diǎn)O的動(dòng)量矩定理可寫成§126 剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程例2 兩個(gè)鼓輪固連在一起的總質(zhì)量為M ，對(duì)水平轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是JO；鼓輪的半徑分別為r1和r2。繩端懸掛的重物A和B質(zhì)量分別為M1和M2，且M1>M2。試求：（1）鼓輪的角加速度；（2）繩的拉力；（3）軸承O的反力。（軸承和繩重都不計(jì)）解 （1）求鼓輪的角加速度該系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸O的動(dòng)量矩為 根據(jù)動(dòng)量矩定理得（2）求繩的拉力（3）求軸承O的反力例3 如圖所示，飛輪以角速度繞繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，飛輪對(duì)軸O轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，當(dāng)制動(dòng)時(shí)其摩擦阻力矩為，其中，為比例系數(shù)，試求飛輪經(jīng)過多少時(shí)間后角

5、速度減少為初角速度的一半，在此時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)。解：（1）求飛輪經(jīng)過多少時(shí)間后角速度減少為初角速度的一半飛輪繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程為將摩擦阻力矩，代入上式有采用解微分方程的分離變量法，并積分解得時(shí)間為（2）求飛輪轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)飛輪繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程寫成為方程的兩邊約去，并積分 解得飛輪轉(zhuǎn)過的角度為 則飛輪轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)為 例4 高爐運(yùn)送礦石用的卷揚(yáng)機(jī)如圖，鼓輪的半徑為R ，質(zhì)量為m1 ，輪繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)。小車和礦石總質(zhì)量為m2 。作用在鼓輪上的力偶矩為M ，鼓輪對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，軌道的傾角為。設(shè)繩的質(zhì)量和各處摩擦都不計(jì)，繩索與斜面平行，求小車的加速度a 。解 取小車和鼓輪組成質(zhì)點(diǎn)系，此質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩為

6、外力對(duì)O軸的矩為由外力對(duì)O軸的動(dòng)量矩定理解得 例5 均質(zhì)圓柱體A和B質(zhì)量都為m，半徑都為r，一繩纏在繞固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)的圓柱A上，繩的另一端繞在圓柱B上，直線繩段鉛垂，摩擦不計(jì)。求：（1）圓柱體B下落時(shí)質(zhì)心的加速度；（2）若在圓柱體A上作用一逆時(shí)針轉(zhuǎn)向，矩為M的力偶，試問在什么條件下圓柱體B的質(zhì)心加速度將向上。解： （1） 取圓柱體B為研究對(duì)象 由剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程 （1） （2）對(duì)圓柱體A同樣有 可得 于是 聯(lián)立解得（2）對(duì)圓柱體A有 （3）對(duì)圓柱體B有 （4）圓柱體B的質(zhì)心加速度將向上，即 則由式（3）和（4）得 再由 即故 例6 如圖a所示均質(zhì)桿AB質(zhì)量為，長為，放在鉛直平面內(nèi)，桿的一端A

7、靠在光滑的鉛直墻壁上，桿的另一端B靠在光滑水平面上，初始時(shí)，桿AB與水平線的夾角，設(shè)桿無初速地沿鉛直墻面倒下，試求桿質(zhì)心C的加速度和桿AB兩端A、B處的約束力。解：根據(jù)題意，桿AB在鉛直平面內(nèi)作平面運(yùn)動(dòng)，其受力如圖b所示。建立桿的平面運(yùn)動(dòng)微分方程為 （1） （2） （3）由幾何條件得質(zhì)心的坐標(biāo)為 （4）并注意（即角速度方向與夾角增大的方向相反）。式（4）對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得 （5）其中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。將式（5）代入（1）和式（2）并將式（1）、式（2）、式（3）聯(lián)立求解得桿AB的角加速度為 （6）對(duì)角速度作如下的變換為代入式（6），并積分得桿AB的角速度為 （7）將式（6）和式（7）代入式（5）得質(zhì)心加速度為 （8）則桿AB兩端A、B處的約束力為例7 均質(zhì)圓輪半徑為，質(zhì)量為，受輕微干擾后，在半徑為的圓弧軌道上往復(fù)無滑動(dòng)的滾動(dòng)，如圖所示，試求圓輪輪心C的運(yùn)動(dòng)方程，以及作用在圓輪上的約束力。解：由于圓輪作平面運(yùn)動(dòng)，輪心C作圓周運(yùn)動(dòng)，則在輪心C的最低點(diǎn)O建立自然坐標(biāo)系，并假設(shè)圓輪順時(shí)針方向?yàn)閯?dòng)量矩方程的正方向，坐標(biāo)及輪的受力如圖11-15所示。列圓輪平面運(yùn)動(dòng)微分方程為 （1） （2） （3）其中，輪心的加速度，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。由于圓輪無滑動(dòng)的滾動(dòng)，其角速度為則角加速度為 （4）輪心C運(yùn)動(dòng)的弧坐標(biāo)為 （5）式（5）代入式（4）得 （6）式