概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)各章重點(diǎn)知識(shí)整理

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)各章重點(diǎn)知識(shí)整理第一章概率論的基本概念一.基本概念隨機(jī)試驗(yàn)E:(1)可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行；(2)每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，并且能事 先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果；(3)進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn).樣本空間S: E的所有可能結(jié)果組成的集合.樣本點(diǎn)(基本事件):E的每個(gè)結(jié)果.隨機(jī)事件(事件)：樣本空間S的子集必然事件(S):每次試驗(yàn)中一定發(fā)生的事件.不可能事件(門)：每次試驗(yàn)中一定不會(huì)發(fā)生的事件.二. 事件間的關(guān)系和運(yùn)算1. A B(事件B包含事件A )事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生.2. A U B(和事件)事件A與B至少有一個(gè)發(fā)生.3. A A B二AB積事件

2、)事件A與B同時(shí)發(fā)生.4. A-B(差事件)事件A發(fā)生而B不發(fā)生.5. AB=" (A與B互不相容或互斥)事件A與B不能同時(shí)發(fā)生.6. AB=門且AU B=S (A與B互為逆事件或?qū)α⑹录?表示一次試驗(yàn)中A與B必有一個(gè)且僅有一個(gè)發(fā)生.B=A? A=B運(yùn)算規(guī)則交換律結(jié)合律分配律德？摩根律A B= A B A B= A B三. 概率的定義與性質(zhì)1. 定義 對(duì)于E的每一事件A賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，記為P(A),稱為事件A的概率.(1) 非負(fù)性P(A) > 0 ; (2)歸一性或規(guī)范性 P(S)=1 ；(3)可列可加性對(duì)于兩兩互不相容的事件 A,A2,(A iA = © , i工j,

3、 i,j=1,2,),P(AiU A U )=P( A i)+P(A2)+ 2. 性質(zhì)(1) P( = 0 , 注意：A為不可能事件Q P(A)=O .(2) 有限可加性 對(duì)于n個(gè)兩兩互不相容的事件 A,A2,A n ,P(AlU AUU An)二P(Al) + P(A2)+P(A n)(有限可加性與可列可加性合稱加法定理 )(3) 若 A B,則 P(A) < P(B), P(B-A)=P(B)-P(A). 對(duì)于任一事件 A, P(A) < 1,P(A)=1-P(A).(5)廣義加法定理對(duì)于任意二事件 A,B ,P(A U B)=P(A)+P(B)-P(AB).對(duì)于任意n個(gè)事件A

4、i,A2,A nnP A1A?An二 ' PAj-' PAjAj、 PAjAjAki =11 <N：j <n1 蘭icjck 蘭 nn-1+(-1)P(AlA?An)四. 等可能(古典)概型1. 定義 如果試驗(yàn)E滿足:(1)樣本空間的元素只有有限個(gè)，即S=ei,e 2,en;(2)每一個(gè)基本事件的概率相等，即P(eJ=P(e2)=二P(en ).則稱試驗(yàn)E所對(duì)應(yīng)的概率模型為等可能(古典)概型.2. 計(jì)算公式P(A)=k / n 其中k是A中包含的基本事件數(shù)，n是S中包含的基本事件總數(shù)五. 條件概率1. 定義 事件A發(fā)生的條件下事件 B發(fā)生的條件概率P(B|A)=P(

5、AB) / P(A) ( P(A)>0).2. 乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0).P(A 1AAn)二P(A1)P(A2|A1)P(A3|AA)P(A n|AAAn-1) (n >2, P(A 1A2An-1) > 0)3. B,B2,B n 是樣本空間 S 的一個(gè)劃分(BiB=© ,i 工 j,i,j=1,2,n, BU BUU Bn=S),t P(A)=則當(dāng)P(B i)>0時(shí),有當(dāng) P(A)>0, P(B i)>0 時(shí),六. 事件的獨(dú)立性1.

6、兩個(gè)事件A,B,滿足P(AB) = P(A) P(B)時(shí),稱A,B為相互獨(dú)立的事件.(1) 兩個(gè)事件A,B相互獨(dú)立=P(B)= P (B|A).(2) 若A與B,A與B, A與B, , A與B中有一對(duì)相互獨(dú)立，則另外三對(duì)也相互獨(dú)立.2. 三個(gè)事件 A,B,C 滿足 P(AB) =P(A) P(B), P(AC)= P(A) P(C), P(BC)= P(B) P(C),稱 A,B,C 三事件兩兩相互獨(dú)立.若再滿足P(ABC) =P(A) P(B) P(C),則稱A,B,C三事件相互獨(dú)立.3. n個(gè)事件A,A2,A n,如果對(duì)任意k (1<k < n),任意1< i i<

7、i 2<<i k< n.有PAhA?Ak二P A】P A?P Ak ,則稱這n個(gè)事件A,A2,An相互獨(dú)立.第二章隨機(jī)變量及其概率分布一. 隨機(jī)變量及其分布函數(shù)1. 在隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間S=e上定義的單值實(shí)值函數(shù) X=X (e)稱為隨機(jī)變量.2. 隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)=PX < x , x 是任意實(shí)數(shù).其性質(zhì)為：(1)0 普(x) <1 ,F(-旳=0,F(旳=1.(2)F(x) 單調(diào)不減,即若 xi<X2 ,則 F(x 1)普(X2).(3)F(x)右連續(xù)，即 F(x+0)=F(x). (4)Px1<X<g=F(x 2)-F(x 1)

8、.二. 離散型隨機(jī)變量(只能取有限個(gè)或可列無(wú)限多個(gè)值的隨機(jī)變量)1. 離散型隨機(jī)變量的分布律PX= x k= p k (k=1,2,)也可以列表表示.其性質(zhì)為：(1)非負(fù)性 0 < Pk< 1 ; (2) 歸一性p.=1 .k=12. 離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)=、Pk為階梯函數(shù),它在x=x k (k=1,2,)處具有跳躍Xk仝點(diǎn),其跳躍值為p k =PX=xk.3. 三種重要的離散型隨機(jī)變量的分布精選資料，歡迎下載(1)X(0-1)分布 PX=1= p ,PX=0=1- (Ovpvl).(2) Xb(n,p)參數(shù)為 n,p 的二項(xiàng)分布 PX=k= n pk(4 p)nk(k

9、=0,1,2,n) (0<p<1)Ik丿,k(3) )X 7 ()參數(shù)為 的泊松分布 PX=k= e (k=0,1,2,)(>0)k!三連續(xù)型隨機(jī)變量1. 定義 如果隨機(jī)變量 X的分布函數(shù)F(x)可以表示成 某一非負(fù)函數(shù) f(x)的積分F(x)二二：f tdt，- 乂 < x < 乂,則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其中f (x)稱為X的概率密度(函數(shù)).2. 概率密度的性質(zhì)(1)非負(fù)性 f(x) > 0 ; Px 1<X<x 2= x； f(x)dx ;歸一性 二 f (x)dx=1 ;若f (x)在點(diǎn)x處連續(xù)，則f (x)=F / (x).注意：連續(xù)

10、型隨機(jī)變量X取任一指定實(shí)數(shù)值a的概率為零,即PX= a=0 .3. 三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布(1)XU (a,b) 區(qū)間(a,b)上的均勻分布f (x)二1j ba.0a x b其它(小0).(X - )2e 2口-旳 <x<,cr>0.2 :特別，上0, ；1 2 =1時(shí),稱X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為XN (0,1),其概率密度二 e 2dt ,：(x)=1-(x).(3)XN ( = F )參數(shù)為的正態(tài)分布 f (x)二2；22(X) = -,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù) 冷(X)=；A-).X _ 4x x "若 XN ( J-I 0),則 Z=N (0,1), Px

11、1<X< X2=()-(一tj<JCT若 PZ>z := PZ<-z := P|Z|>z：/2=:,則點(diǎn) z : ,-z :, -z :/ 2 分別稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上,下,雙側(cè)分位點(diǎn).注意：門(z ：)=1- - , z 1- ：.= -z :. 精選資料，歡迎下載四.隨機(jī)變量X的函數(shù)丫二g (X)的分布1. 離散型隨機(jī)變量的函數(shù)Xx 1 x 2x kp kP 1P 2 P k丫=g(x)g(x 1) g(x 2)g(x k)若g(x k) (k=1,2,)的值全不相等，則由上表立得Y二g(X)的分布律.若g(x k) (k=1,2,)的值有相等的，則應(yīng)將

12、相等的值的概率相加，才能得到Y(jié)二g(X)的分布律.2. 連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)若X的概率密度為fX(x),則求其函數(shù)Y二g(X)的概率密度f(wàn)Y(y)常用兩種方法：(1) 分布函數(shù)法先求丫的分布函數(shù)FY(y)=PY < y=Pg(X) < y=7 .沐y fX xdxk其中 k(y)是與g(X) < y對(duì)應(yīng)的X的可能值x所在的區(qū)間(可能不只一個(gè)),然后對(duì)y求導(dǎo)即得 f Y(y)=F y /(y).公式法 若g(x)處處可導(dǎo)，且恒有g(shù) /(x)>0 (或g / (x)<0 ),則Y=g (X)是連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度為fx h y h y0a < y <

13、 P其它精選資料，歡迎下載其中 h(y)是 g(x)的反函數(shù)，:-=min (g (-：),g (-) 二 max (g (-: ),g (:).-=max (g (a),g如果f (x)在有限區(qū)間a,b以外等于零，則二min (g (a),g (b) (b).第三章二維隨機(jī)變量及其概率分布一.二維隨機(jī)變量與聯(lián)合分布函數(shù)1. 定義 若X和丫是定義在樣本空間S上的兩個(gè)隨機(jī)變量，則由它們所組成的向量(X,Y)稱 為二維隨機(jī)向量或二維隨機(jī)變量.對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y,二元函數(shù)F(x,y)=PX < x,Y < y稱為(X,Y)的(X和丫的聯(lián)合)分布函數(shù).2. 分布函數(shù)的性質(zhì)(1) F(x,y)

14、分別關(guān)于x和y單調(diào)不減.0 w F(x,y) w 1 , F(x,-: )=0, F(-: ,y)=0, F(-:,- ： )=0, F( :，: )=1 .F(x,y)關(guān)于每個(gè)變量都是右連續(xù)的，即F(x+0,y)= F(x,y), F(x,y+0)= F(x,y). 對(duì)于任意實(shí)數(shù)x 1<x 2 , y 1 <y 2Px 1<XWx 2 , y 1<Y<y 2= F(x 2,y 2)- F(x 2,y 1)- F(x 1,y 2)+ F(x 1,y 1)二.二維離散型隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布律1. 定義 若隨機(jī)變量(X,Y)只能取有限對(duì)或可列無(wú)限多對(duì)值(x i ,y

15、j) (i ,j =1,2,)稱(X,Y) 為二維離散型隨機(jī)變量.并稱PX= x i ,丫二y j = p i j為(X,Y)的聯(lián)合分布律.也可列表表示.1-z i z i3. (X,Y)的(X和Y的聯(lián)合)分布函數(shù)F(x,y)=、刊Xiyy三. 二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其聯(lián)合概率密度1. 定義 如果存在非負(fù)的函數(shù)f (x,y),使對(duì)任意的x和y有F(x,y)= X f(u,v)dudv則稱(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，稱f(x,y)為(X,Y)的(X和丫的聯(lián)合)概率密度.2. 性質(zhì)(1)非負(fù)性 f (x,y)>0 . (2) 歸一性 .二.二 f(x,y)dxdy = 1 .若f (x,y

16、)在點(diǎn)(x,y)連續(xù),則f (x, y)=2F(x, y)x y若G為xoy平面上一個(gè)區(qū)域，則P(x,y)，G二f (x, y)dxdy.G四. 邊緣分布1. (X,Y)關(guān)于 X的邊緣分布函數(shù) Fx (x) = PX <x , Y< ：二 F (x ,).(X,Y)關(guān)于丫的邊緣分布函數(shù)Fy (y) = PX< 1 Y <y= F ( 小2.二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布律PX= x i =Pjj = pi ( i =1,2,) 歸一性& Pj.= 1 .j =1i =1精選資料，歡迎下載)歸一性p = 1 .j=1關(guān)于Y的邊緣分布律PY二y j =

17、、pij = p j ( j =1,2,i=13. 二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)歸一性二 fx(x)dx= 1歸一性：fY(y)dy 二 1關(guān)于X的邊緣概率密度f(wàn) X (X)二B! f (x, y)dy 關(guān)于Y的邊緣概率密度f(wàn) y (y)=凰f (x, y)dx五. 相互獨(dú)立的隨機(jī)變量1. 定義若對(duì)一切實(shí)數(shù)x,y,均有F(x,y)= F x (x) F y (y),則稱X和丫相互獨(dú)立.2. 離散型隨機(jī)變量X和丫相互獨(dú)立=p i j = pi - pj ( i ,j =1,2,)對(duì)一切Xi,yj成立.3. 連續(xù)型隨機(jī)變量X和丫相互獨(dú)立=f (x,y)=f x (x)f y (y)對(duì)(X,Y)所有

18、可能取值(x,y)都 成立.六. 條件分布1. 二維離散型隨機(jī)變量的條件分布定義 設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量,對(duì)于固定的j,若PY二y>0,則稱PX=x i |Y 二yjPX 二冷丫二比PY =力為在丫二yj條件下隨機(jī)變量X的條件分布律.同樣,對(duì)于固定的i,若PX=xi>0,則稱PY二y|X=x i = PX 二 Xi,丫二 yjPijPX = XiPij為在X=x條件下隨機(jī)變量Y的條件分布律.第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征一.數(shù)學(xué)期望和方差的定義隨機(jī)變量X離散型隨機(jī)變量分布律 PX=x i = p i ( i =1,2,連續(xù)型隨機(jī)變量)概率密度f(wàn) (x)qQxf(x)dx(積分

19、絕對(duì)收斂)oO數(shù)學(xué)期望(均值)E(X) 方差 D(X)=EX-E(X) 2=E(X2)-E(X)2(函數(shù)數(shù)學(xué)期望E(Y)二Eg(X) 標(biāo)準(zhǔn)差二(X)= VD(X).二.數(shù)學(xué)期望與方差的性質(zhì)Q0xi Pi (級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂)i =1、 E(x)】2pi =1級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂)(qQg(Xi)Pi (級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂)i =1xE(X)2f(x)dx積分絕對(duì)收斂)g(x) f (x)dx(積分絕對(duì)收斂)精選資料，歡迎下載2D(X).士 Y)=D(X)+D(Y).1. c 為為任意常數(shù)時(shí),E(c) = c , E(cX) = cE(X) , D(c) = 0 , D (cX) = c2. X,Y為任意隨機(jī)變量

20、時(shí)，E (X 士 Y)=E(X) 士 E(Y).3. X 與 Y相互獨(dú)立時(shí)，E(XY)二E(X)E(Y) , D(X4. D(X) = 0 PX = C=1 ,C 為常數(shù).三六種重要分布的數(shù)學(xué)期望和方差1. X (0-1)分布 PX=1= p (0<p<1)2. X b (n ,p) (0<p<1)n p3. X -()4. X U(a,b)(a+b)/25. X服從參數(shù)為油勺指數(shù)分布26. X N ()四.矩的概念隨機(jī)變量X的k階(原點(diǎn))矩E(Xk )隨機(jī)變量X的k階中心矩EX-E(X)E(X)D(X)PP (1- P)n P (1- P)k(b-a)2/1202k=

21、1,2,k隨機(jī)變量X和丫的k+l階混合矩E(XkYj 1=1,2,隨機(jī)變量X和丫的k+l階混合中心矩EX-E(X) kY-E(Y) 1 第六章樣本和抽樣分布一.基本概念總體X即隨機(jī)變量X ；樣本X ,X2 ,X n是與總體同分布且相互獨(dú)立的隨機(jī)變量；樣本值Xi ,X 2，,x n為實(shí)數(shù);n是樣本容量.統(tǒng)計(jì)量是指樣本的不含任何未知參數(shù)的連續(xù)函數(shù).如：1 nc1 n 2樣本均值x =-Lxi 樣本方差s2 = 瓦(xj - x F樣本標(biāo)準(zhǔn)差sn 日n - 1i1 n1 n一樣本k階矩AkXik ( k=1,2,)樣本k階中心矩Bk(X X)k ( k=1,2,)n i =1n i m二.抽樣分布即

22、統(tǒng)計(jì)量的分布1. X的分布 不論總體X服從什么分布，E ( X ) = E(X) , D ( X ) = D(X) / n .特別，若 X N (2),則 X N (,匚2 /n).n2. 2分布(1)定義 若XN (0,1 ),則Y八Xi2 2(n)自由度為n的2分布. i=1(2) 性質(zhì) 若 Y 2(n),則 E(Y) = n , D(Y) = 2n .若皆 2(ni) Y 2 2(n 2),則 Yi+Y 2(ni + n 2).若X N (2 ),2(n-1),且X與S2相互獨(dú)立.分位點(diǎn)若丫 2(n),0<: <1 ,則滿足PY 2(n)二 PY 二(n)=P(Y爲(wèi)何)(Y

23、二 “(n)的點(diǎn)2(n), 12_ (n), 2/2(n)和f_?/2(n)分別稱為2分布的上、下、雙側(cè)分位點(diǎn). t分布2X(1)定義 若XN (0,1 )，丫2 (n),且X,Y相互獨(dú)立，則t=t(n)自由度為n的t分jY/n(2) 性質(zhì)n-K時(shí),t分布的極限為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.X - 1S n t (n-1).兩個(gè)正態(tài)總體相互獨(dú)立的樣本 樣本均值樣本方差X N ( a c2 )且X 1 ,X2,X nls2Y N ( H, ；22 )1 ,Y 2,Y n2則以一丫)十12) t (n卄-2),丄+丄ni n2其中sW(ni-1)S? 52-1應(yīng)Sw分位點(diǎn) 若t t (n) ,0 <<

24、;1 ,則滿足Pt t (n) = Pt< t (n) = Pt t /2(n) =的點(diǎn)t (n),-t (n),-t /2(n)分別稱t分布的上、下、雙側(cè)注意：t 1-(n) = - t : (n).4. F分布定義若U2(ni), V2(n2),且U,V相互獨(dú)立,則F =北F(ni,n 2)自由度為(n i,n2)的F分布.US性質(zhì)(條件同 3.(2)S2 S2 F(n1-1,n 2-1) ai22 分位點(diǎn) 若F F(n 1,n 2) ,0<: <1,則滿足PF F (ni ,n2) PF-(??？)二 P(F F /ni,%) (F 冃-山”兔)的點(diǎn) F (n1,n2),

25、 F (n1,n2), F2(n1,n2)和F /2(n1 ,n2)分別稱為 F 分布的上、下、雙側(cè)分位點(diǎn).、卜 、八注意:F1-一(n1,n2)二1F： (“2)第七章參數(shù)估計(jì)一點(diǎn)估計(jì) 總體X的分布中有k個(gè)待估參數(shù)” ”，,北X ,X2,X n是X的一個(gè)樣本,X 1 ,X2,x n是樣本值.1.矩估計(jì)法飛二4l(5,日2,兒)3 =5(5宀廠尸k)先求總體矩 =一 2(十廠2,廠k)解此方程組，得到 J2CU2，兒)， y&i;遽；)巧cwm;譏)f A二二1(人1； A?,； Ak)以樣本矩A取代總體矩山(1=1,2,k)得到矩估計(jì)量 二2 - "2(A1； A2 ； Ak),若代入樣本值則得到矩估計(jì)值.2. 最大似然估計(jì)法若總體分布形式(可以是分布律或概率密度)為p(x, 01,日2,0k),稱樣本X ,X2，,X nn的聯(lián)合分布L(廠2;廣k)P(Xj宀；二2；八k)為似然函數(shù).取使似然函數(shù)達(dá)到最大值的iT，1廠2；廠k ,稱為參數(shù)" *，和的最大似然估計(jì)值，代入樣本得到最大似然估計(jì)量.若L(九 池,九)關(guān)于m, R,和可微,則一般可由.J. iin I似然方程組 -0或 對(duì)數(shù)似然方程組亠1 = 0 (i =1,2,k)求出最大似然估計(jì).阿陽(yáng)i3. 估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)AA.(1) 無(wú)偏性 若E(= )= 3則估計(jì)量，稱為參數(shù)二的無(wú)偏估計(jì)量.不