材料力學(第七彎曲變形)

1、剪力彎矩彎曲正應力及強度條件彎曲切應力及強度條件彎曲剛度分析靜不定梁分析彎曲變形的計算第七章第七章 彎曲變形彎曲變形彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力彎曲強度彎曲強度彎曲變形彎曲變形xw撓曲軸mmnn（1）撓度 w ：橫截面形心在垂直于軸線方向的位移 （2）轉(zhuǎn)角 ：橫截面繞中性軸的轉(zhuǎn)過的角度 w符號規(guī)定：向上為正，向下為負。 xww 符號規(guī)定：逆時針為正，順時針為負。 x（3）軸向位移x ：橫截面形心在軸線方向的位移 ， 小變形情況下，略去不計。Xx（連續(xù)、 光滑平坦的平面曲線）wz二、梁變形的表示方法二、梁變形的表示方法撓曲軸曲線性質(zhì)：撓曲軸曲線性質(zhì)：撓曲軸xwxw(x)o(x)(x) xww （2）撓曲軸上

2、任一點的切線斜率等于梁上該截面的轉(zhuǎn)角值。（1）撓曲軸上任一點的縱坐標等于梁上該截面的撓度值；tg xw三、撓度和轉(zhuǎn)角之間的關系三、撓度和轉(zhuǎn)角之間的關系二、積分法計算梁的變形二、積分法計算梁的變形 CdxEIxMw DCxdxEIxMw EIxMw 邊界條件：邊界條件：00AAw，(2)鉸支座：ABC00BAww，AB（1）固定端約束：連續(xù)條件連續(xù)條件 ：右左右左CCCCwwC例1：懸臂梁AB，彎曲剛度 EI EI 為常數(shù)，受力F F 和力偶M = FL M = FL 作用，求w(x)，(x)(x)；并計算B截面的撓度和轉(zhuǎn)角值。解：1、 建立撓曲軸微分方程并積分A端約束反力 F FAyAy=F=

3、F梁的彎矩方程：LBM MAF FF FAyAyxFxxM)(撓曲軸近似微分方程： CEIFxxw2)(2DCxEIFxw63EIFxw xw2、確定積分常數(shù)A端為固定端約束，x=0, w=0 x=0,=0C=0 , D=03、撓度方程、轉(zhuǎn)角方程及B截面的轉(zhuǎn)角EIFxxw2)(2EIFLwB63EIFLB22將 x=L 代入轉(zhuǎn)角方程：LBM MAF FF FAyAyxwx FxxMax 0 FxxMwEI 112121CFxwEI113161DxCFxEIw例例2：由積分法求圖示梁的：由積分法求圖示梁的wA、 A。解：解：1) 坐標系如圖；坐標系如圖；AC段：段：則近似微分方程為：則近似微分方

4、程為：積分可得：積分可得：xwxxFaaaFEICAB2) 分兩段進行分析：分兩段進行分析： FaFxxMaxa2BC段：段： FaFxwEI 222221CFaxFxwEI222322161DxCFaxFxEIw積分可得：積分可得：則近似微分方程為：則近似微分方程為：利用約束和連續(xù)條件確定利用約束和連續(xù)條件確定C1 、D1 、C2、D2四個常數(shù)：四個常數(shù)：ax2時時，約束條件：約束條件：022 ww連續(xù)條件：連續(xù)條件：ax 處處，22122121FaFaCFa2121wwww；由此可得：由此可得：33311332216161FaFaFaDaCFa即：即：；21FaC 3167FaD02C由此

5、可得：由此可得：3232FaDEIFaDwwxA673101EIFaCwxA2101最后可得：最后可得：（向下）（逆時針）(2) 由約束和連續(xù)條件求積分常數(shù)；由約束和連續(xù)條件求積分常數(shù)；(1) 兩段：四個常數(shù)，每增加一段，就增加兩段：四個常數(shù)，每增加一段，就增加 兩個積分常數(shù)；兩個積分常數(shù)；小結(jié)：小結(jié)：(3) 坐標原點一律放在左邊，分段寫出坐標原點一律放在左邊，分段寫出M(x)；(4) 注意注意x的范圍。的范圍。7-3計算梁位移的疊加法由于：由于：1）小變形，軸向位移可忽略；小變形，軸向位移可忽略； 因此，因此，梁的撓度和轉(zhuǎn)角與載荷成線性關系，可梁的撓度和轉(zhuǎn)角與載荷成線性關系，可用疊加原理求復

6、雜載荷作用下梁的撓度和轉(zhuǎn)角。用疊加原理求復雜載荷作用下梁的撓度和轉(zhuǎn)角。2）線彈性范圍工作。）線彈性范圍工作。例：利用疊加原理求圖示彎曲剛度為例：利用疊加原理求圖示彎曲剛度為EI的懸臂梁自的懸臂梁自由端由端B截面的撓度和轉(zhuǎn)角。截面的撓度和轉(zhuǎn)角。解：原荷載可看成為圖解：原荷載可看成為圖a和和b兩種荷載的疊加，對應兩種荷載的疊加，對應 的變形和相關量如圖所示。的變形和相關量如圖所示。FlllEIFABCDB1FC1wC1wC1C12l直線直線wB1(a)D1B2wD1FD1BD直線直線wD1wB2(b)EIFlwC331EIFlC221EIFllEIFlEIFlBCwwCCB34223323111E

7、IFlCB2211對圖對圖a，可得，可得C截面的撓度和轉(zhuǎn)角為：截面的撓度和轉(zhuǎn)角為：由位移關系可得此時由位移關系可得此時B截面的撓度和轉(zhuǎn)角為：截面的撓度和轉(zhuǎn)角為：（向下）（向下）（順時針）（順時針）B1FC1wC1wC1C12l直線wB1(a)EIFllEIFlEIFlBDwwDDB3142438323222EIFlDB2122 EIlFwD3232 EIlFD2222對圖對圖b，可得，可得D截面的撓度和轉(zhuǎn)角為：截面的撓度和轉(zhuǎn)角為：同理可得此時同理可得此時B截面的撓度和轉(zhuǎn)角為：截面的撓度和轉(zhuǎn)角為：（向下）（向下）（順時針）（順時針）D1B2wD1FD1BD直線wD1wB2(b) EIFlEIFl

8、EIFlwwwBBB33321631434 EIFlEIFlEIFlBBB252222221將相應的位移進行疊加，即得：將相應的位移進行疊加，即得：（向下）（向下）（順時針）（順時針）例：由疊加原理求圖示彎曲剛度為例：由疊加原理求圖示彎曲剛度為EI的外伸梁的外伸梁C截面截面 的撓度和轉(zhuǎn)角以及的撓度和轉(zhuǎn)角以及D截面的撓度。截面的撓度。解：可將外伸梁看成是圖解：可將外伸梁看成是圖a和和b所示的簡支梁和懸臂所示的簡支梁和懸臂 梁的疊加。梁的疊加。BC(b)F=qaAEIDBqaqa2/2(a)ACaaaF=qaBDEI（1）對圖）對圖a，其又可看成為圖，其又可看成為圖c和和d所示荷載的組合。所示荷載

9、的組合。+AF=qa(c)qa2/2(d)圖圖c中中D截面的撓度和截面的撓度和B截面的轉(zhuǎn)角為：截面的轉(zhuǎn)角為：EIaqawD48231EIaqaB16221圖圖d中中D截面的撓度和截面的撓度和B截面的轉(zhuǎn)角為：截面的轉(zhuǎn)角為：EIqawD16242EIqaB332EIqaEIqaEIqawwwDDD248644421EIqaEIqaEIaqaBBB12316233221將相應的位移進行疊加，即得：將相應的位移進行疊加，即得：（向下）（向下）（順時針）（順時針）（2）對圖）對圖b，C截面的撓度和轉(zhuǎn)角分別為：截面的撓度和轉(zhuǎn)角分別為：EIqawCq84EIqaCq63 EIqaaEIqaEIqawC245

10、1218434EIqaEIqaEIqaC4126333所以：所以：awwBCqCCqBC原外伸梁原外伸梁C端的撓度和轉(zhuǎn)角也可按疊加原理求得，即：端的撓度和轉(zhuǎn)角也可按疊加原理求得，即：（向下）（向下）（順時針）（順時針）ACaaaF=qaBDEIBCqBawCq例：利用疊加原理求圖示彎曲剛度為例：利用疊加原理求圖示彎曲剛度為EI的中間鉸梁的中間鉸梁鉸鉸 接點接點B處的撓度和處的撓度和B點右截面的轉(zhuǎn)角以及點右截面的轉(zhuǎn)角以及D截面截面的撓度，其中：的撓度，其中：F=2qa。 解：可在鉸接點處將梁分成圖解：可在鉸接點處將梁分成圖a和和b所示兩部分，并所示兩部分，并可求得鉸接點處的一對作用力與反作用力為

11、：可求得鉸接點處的一對作用力與反作用力為：qaFFFBB2qAEIEIFBCa/2DaaF/2wB直線BwDFw/2+F/2wBqBCAF(a)BCq(b)F/2BC圖圖a和和b中分別給出了兩部分的變形情況。中分別給出了兩部分的變形情況。(c)并且圖并且圖b又可分解為圖又可分解為圖c所示兩種載荷的組合。所示兩種載荷的組合。 EIqawBBF348EI4qawBqEIqaBBF23EIqaBq63（1）對圖）對圖b，可得其，可得其B截面的撓度和轉(zhuǎn)角為：截面的撓度和轉(zhuǎn)角為：EIqaEIqaEIqwwwBqBFBB241183a444EIqaEIqaEIqaBqBFBB3262333右進行相應的疊加

12、可得：進行相應的疊加可得：（向下）（向下）（逆時針）（逆時針）EIqaEIqaEIqawwwBDFD4813481148221444（2）圖）圖a可看成為右支座有一定豎直位移（位移量可看成為右支座有一定豎直位移（位移量為為wB）的簡支梁，此時）的簡支梁，此時D截面的撓度為：截面的撓度為：（向下）（向下）F/2wB直線BwDFw/2AF(a) max7-4 梁的剛度條件提高梁的剛度的措施1、梁的剛度校核lwlwmaxlw與與 為許可值。為許可值。其中，其中，例：圖示空心圓截面外伸梁，已知例：圖示空心圓截面外伸梁，已知D=80mm，d=40mm，E=200GPa，C點撓度不得大于點撓度不得大于AB

13、跨長的跨長的10-4，B截面轉(zhuǎn)角不得大于截面轉(zhuǎn)角不得大于10-3rad，校核剛度。校核剛度。解：首先解：首先可利用圖可利用圖a由疊加原理求由疊加原理求wC和和 B。 200200100ADBCF2=1kNF1=2kNDd (a)AF2CF1BlF1 BDEIlFwC48321EIlFB16221EIlBDFwC16212EIlBDFB312圖圖a可看成由圖可看成由圖b和和c的疊加而得，圖的疊加而得，圖b和和c分別有：分別有：wC1B1wC2B2ABF2(b)ACBM(c)疊加可得：疊加可得：EIlBDFEIlFwC16482132EIlBDFEIlFB3161224644m10885. 164

14、dDI因為：因為：0.4mmm400l0.1mmm100BDN10231FN10132F所以：所以：mm10768. 110885. 1102164 . 01 . 010210885. 1102484 . 01036112361133Cwrad1042. 410885. 110234 . 01 . 010210885. 1102164 . 0105611361123B剛度滿足。剛度滿足。則：則：46101042. 4lwCrad103B 靜不定度與多余約束靜不定度與多余約束5-3=2 5-3=2 度靜不定度靜不定6-36-3 = = 3 3 度靜不定度靜不定( )q xM( )q xF 靜不定

15、問題分析例：靜不定問題分析例：ABCFqFAFBFCF 平面問題有三個平衡方程；平面問題有三個平衡方程；F 水平方向不受力，兩個水平方向不受力，兩個 有效平衡方程；有效平衡方程；F 有三個未知力，一度靜不定。有三個未知力，一度靜不定。ABCFqFBwB = 0問題問題分析：分析：可以以支座可以以支座A A、B B、C C任意一個任意一個的鉛垂約束作為多余約束。的鉛垂約束作為多余約束。求解：求解：解除多余約束，代以約束反力，利用相應變形協(xié)解除多余約束，代以約束反力，利用相應變形協(xié)調(diào)條件求解。例如解除約束調(diào)條件求解。例如解除約束B B，變形協(xié)調(diào)條件為，變形協(xié)調(diào)條件為小結(jié)：分析方法與分析步驟小結(jié)：分

16、析方法與分析步驟 步驟步驟： 1 1、 判斷靜不定度（確定多余約束數(shù)）；判斷靜不定度（確定多余約束數(shù)）； 2 2 、選取與解除多余約束，建立相當系統(tǒng)；、選取與解除多余約束，建立相當系統(tǒng)； 3 3 、列出多余約束處的變形協(xié)調(diào)條件；、列出多余約束處的變形協(xié)調(diào)條件； 4 4、結(jié)合平衡方程，求多余支反力。、結(jié)合平衡方程，求多余支反力。 方法：方法：選取與解除多余約束，代之以支反力；選取與解除多余約束，代之以支反力； 分析相當系統(tǒng)，使多余約束點處滿足位移邊界或連續(xù)條件分析相當系統(tǒng)，使多余約束點處滿足位移邊界或連續(xù)條件F 相當系統(tǒng)選取不唯一，一般選擇求解最簡單的一種相當系統(tǒng)選取不唯一，一般選擇求解最簡單的

17、一種列補充方程：列補充方程：0BFBqwwqFBABFAAMqABlqABBqwAFBwBF 可分別求出（也可查表）梁在均布載荷和集可分別求出（也可查表）梁在均布載荷和集中力作用下的撓度為中力作用下的撓度為 EIlFwEIqlwBBBBq3,834 補充方程變?yōu)檠a充方程變?yōu)?03834EIlFEIqlB解得解得qlFB83例：例：求支反力求支反力1.1. 靜不定度：靜不定度：6-3=32. 2. 選取相當系統(tǒng)：右中、選取相當系統(tǒng)：右中、下圖都合適。選右中圖。下圖都合適。選右中圖。小變形，軸向變形可忽略小變形，軸向變形可忽略 HA= HB=0。兩多余未知力兩多余未知力qABHAHBRBRAMBMAABMAMBqABRBMB3. 3. 建立變形協(xié)調(diào)條件建立變形協(xié)調(diào)條件00BBw 4. 4. 聯(lián)立求解聯(lián)立求解0,0BBw 3240(1)328RMqBBBBBBR lM lqlwwwwEIEIEI 230(2)26RMqBBBBBBR lM lqlEIEIEI qABRBMB2224BBqlRqlM 對稱性的應用對稱性的應用利用對稱性直接求出利用對稱性直接