平面向量數(shù)量積運算專題(附答案解析)(共21頁)

1、 平面向量數(shù)量積運算題型一平面向量數(shù)量積的基本運算例1(1)(2014·天津)已知菱形ABCD的邊長為2，BAD120°，點E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，BC3BE，DCDF.若·1，則的值為_.(2)已知圓O的半徑為1，PA，PB為該圓的兩條切線，A，B為切點，那么·的最小值為()A.4 B.3C.42 D.32變式訓練1(2015·湖北)已知向量，|3，則·_.題型二利用平面向量數(shù)量積求兩向量夾角例2(1)(2015·重慶)若非零向量a，b滿足|a|b|，且(ab)(3a2b)，則a與b的夾角為()A. B. C. D.(

2、2)若平面向量a與平面向量b的夾角等于，|a|2，|b|3，則2ab與a2b的夾角的余弦值等于()A. B. C. D.變式訓練2(2014·課標全國)已知A，B，C為圓O上的三點，若()，則與的夾角為_.題型三利用數(shù)量積求向量的模例3(1)已知平面向量a和b，|a|1，|b|2，且a與b的夾角為120°，則|2ab|等于()A.2 B.4C.2 D.6(2)已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90°，AD2，BC1，P是腰DC上的動點，則|3|的最小值為_.變式訓練3(2015·浙江)已知e1，e2是平面單位向量，且e1·e2.若平面向量

3、b滿足b·e1b·e21，則|b|_.高考題型精練1.(2015·山東)已知菱形ABCD 的邊長為a，ABC60°，則·等于()A.a2 B.a2C.a2 D.a2 2.(2014·浙江)記maxx，yminx，y設a，b為平面向量，則()A.min|ab|，|ab|min|a|，|b|B.min|ab|，|ab|min|a|，|b|C.max|ab|2，|ab|2|a|2|b|2D.max|ab|2，|ab|2|a|2|b|23.(2015·湖南)已知點A，B，C在圓x2y21上運動，且ABBC.若點P的坐標為(2,0)，

4、則|的最大值為()A.6 B.7C.8 D.94.如圖，在等腰直角ABO中，OAOB1，C為AB上靠近點A的四等分點，過C作AB的垂線l，P為垂線上任一點，設a，b，p，則p·(ba)等于()A. B.C. D.5.在平面上，|1，.若|<，則|的取值范圍是()A.(0， B.(，C.(， D.(，6.如圖所示，ABC中，ACB90°且ACBC4，點M滿足3，則·等于()A.2 B.3C.4 D.67.(2014·安徽)設a，b為非零向量，|b|2|a|，兩組向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2個a和2個b排列而成.若x1

5、83;y1x2·y2x3·y3x4·y4所有可能取值中的最小值為4|a|2，則a與b的夾角為()A. B. C. D.08.(2014·江蘇)如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB8，AD5，3，·2，則·的值是_.9.設非零向量a，b的夾角為，記f(a，b)acos bsin .若e1，e2均為單位向量，且e1·e2，則向量f(e1，e2)與f(e2，e1)的夾角為_.10.如圖，在ABC中，O為BC中點，若AB1，AC3，60°，則|_.11.已知向量a(sin x，)，b(cos x，1).當ab時，求cos

6、2xsin 2x的值；12.在ABC中，AC10，過頂點C作AB的垂線，垂足為D，AD5，且滿足.(1)求|；(2)存在實數(shù)t1，使得向量xt，yt，令kx·y，求k的最小值.平面向量數(shù)量積運算題型一平面向量數(shù)量積的基本運算例1(1)(2014·天津)已知菱形ABCD的邊長為2，BAD120°，點E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，BC3BE，DCDF.若·1，則的值為_.(2)已知圓O的半徑為1，PA，PB為該圓的兩條切線，A，B為切點，那么·的最小值為()A.4 B.3C.42 D.32答案(1)2(2)D解析(1)如圖，·()·

7、;()()·()····2×2×cos 120°×2×2×2×2×2×2×cos 120°2，又·1，1，2.(2)方法一設|x，APB，則tan ，從而cos .·|·|·cos x2·x21323，當且僅當x21，即x21時取等號，故·的最小值為23.方法二設APB，0<<，則|.·|cos ()2cos ·(12sin2).令xsin2，0

8、<x1，則·2x323，當且僅當2x，即x時取等號.故·的最小值為23.方法三以O為坐標原點，建立平面直角坐標系xOy，則圓O的方程為x2y21，設A(x1，y1)，B(x1，y1)，P(x0,0)，則·(x1x0，y1)·(x1x0，y1)x2x1x0xy.由OAPA·(x1，y1)·(x1x0，y1)0xx1x0y0，又xy1，所以x1x01.從而·x2x1x0xyx2x(1x)2xx323.故·的最小值為23.點評(1)平面向量數(shù)量積的運算有兩種形式：一是依據(jù)長度和夾角，二是利用坐標運算，具體應用哪種形

9、式由已知條件的特征來選擇.注意兩向量a，b的數(shù)量積a·b與代數(shù)中a，b的乘積寫法不同，不應該漏掉其中的“·”.(2)向量的數(shù)量積運算需要注意的問題：a·b0時得不到a0或b0，根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)有|a|2a2，但|a·b|a|·|b|.變式訓練1(2015·湖北)已知向量，|3，則·_.答案9解析因為，所以·0.所以··()2·|20329.題型二利用平面向量數(shù)量積求兩向量夾角例2(1)(2015·重慶)若非零向量a，b滿足|a|b|，且(ab)(3a2b)，則a與b的

10、夾角為()A. B.C. D.(2)若平面向量a與平面向量b的夾角等于，|a|2，|b|3，則2ab與a2b的夾角的余弦值等于()A. B.C. D.答案(1)A(2)B解析(1)由(ab)(3a2b)得(ab)·(3a2b)0，即3a2a·b2b20.又|a|b|，設a，b，即3|a|2|a|·|b|·cos 2|b|20，|b|2|b|2·cos 2|b|20.cos .又0，.(2)記向量2ab與a2b的夾角為，又(2ab)24×22324×2×3×cos 13，(a2b)2224×324

11、×2×3×cos 52，(2ab)·(a2b)2a22b23a·b81891，故cos ，即2ab與a2b的夾角的余弦值是.點評求向量的夾角時要注意：(1)向量的數(shù)量積不滿足結合律，(2)數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不能共線時兩向量的夾角為鈍角.變式訓練2(2014·課標全國)已知A，B，C為圓O上的三點，若()，則與的夾角為_.答案90°解析()，點O是ABC中邊BC的中點，BC為直徑，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)得與的夾角為90°.題型三利用數(shù)量積求向

12、量的模例3(1)已知平面向量a和b，|a|1，|b|2，且a與b的夾角為120°，則|2ab|等于()A.2 B.4C.2 D.6(2)已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90°，AD2，BC1，P是腰DC上的動點，則|3|的最小值為_.答案(1)A(2)5解析(1)因為平面向量a和b，|a|1，|b|2，且a與b的夾角為120°，所以|2ab| 2.(2)方法一以D為原點，分別以DA、DC所在直線為x、y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，設DCa，DPx.D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，(2，x)，(1，ax)，3(5,3

13、a4x)，|3|225(3a4x)225，|3|的最小值為5.方法二設x(0<x<1)，(1x)，x，(1x)，3(34x)，|3|222××(34x)·(34x)2·225(34x)2225，|3|的最小值為5.點評(1)把幾何圖形放在適當?shù)淖鴺讼抵?，給有關向量賦以具體的坐標求向量的模，如向量a(x，y)，求向量a的模只需利用公式|a|即可求解.(2)向量不放在坐標系中研究，求解此類問題的方法是利用向量的運算法則及其幾何意義或應用向量的數(shù)量積公式，關鍵是會把向量a的模進行如下轉化：|a|.變式訓練3(2015·浙江)已知e1，e2

14、是平面單位向量，且e1·e2.若平面向量b滿足b·e1b·e21，則|b|_.答案解析因為|e1|e2|1且e1·e2.所以e1與e2的夾角為60°.又因為b·e1b·e21，所以b·e1b·e20，即b·(e1e2)0，所以b(e1e2).所以b與e1的夾角為30°，所以b·e1|b|·|e1|cos 30°1.所以|b|.高考題型精練1.(2015·山東)已知菱形ABCD 的邊長為a，ABC60°，則·等于()A.a2 B

15、.a2C.a2 D.a2 答案D解析如圖所示，由題意，得BCa，CDa，BCD120°.BD2BC2CD22BC·CD·cos 120°a2a22a·a×3a2，BDa.·|cos 30°a2×a2.2.(2014·浙江)記maxx，yminx，y設a，b為平面向量，則()A.min|ab|，|ab|min|a|，|b|B.min|ab|，|ab|min|a|，|b|C.max|ab|2，|ab|2|a|2|b|2D.max|ab|2，|ab|2|a|2|b|2答案D解析由于|ab|，|ab|與

16、|a|，|b|的大小關系與夾角大小有關，故A，B錯.當a，b夾角為銳角時，|ab|>|ab|，此時，|ab|2>|a|2|b|2；當a，b夾角為鈍角時，|ab|<|ab|，此時，|ab|2>|a|2|b|2；當ab時，|ab|2|ab|2|a|2|b|2，故選D.3.(2015·湖南)已知點A，B，C在圓x2y21上運動，且ABBC.若點P的坐標為(2,0)，則|的最大值為()A.6 B.7C.8 D.9答案B解析A，B，C在圓x2y21上，且ABBC，AC為圓直徑，故2(4,0)，設B(x，y)，則x2y21且x1,1，(x2，y)，(x6，y).故|，x1

17、時有最大值7，故選B.4.如圖，在等腰直角ABO中，OAOB1，C為AB上靠近點A的四等分點，過C作AB的垂線l，P為垂線上任一點，設a，b，p，則p·(ba)等于()A. B.C. D.答案A解析以OA，OB所在直線分別作為x軸，y軸，O為坐標原點建立平面直角坐標系，則A(1,0)，B(0,1)，C(，)，直線l的方程為yx，即xy0.設P(x，x)，則p(x，x)，而ba(1,1)，所以p·(ba)x(x).5.在平面上，|1，.若|<，則|的取值范圍是()A.(0， B.(，C.(， D.(，答案D解析由題意，知B1，B2在以O為圓心的單位圓上，點P在以O為圓心

18、，為半徑的圓的內(nèi)部.又，所以點A在以B1B2為直徑的圓上，當P與O點重合時，|取得最大值，當P在半徑為的圓周上時，|取得最小值，故選D.6.如圖所示，ABC中，ACB90°且ACBC4，點M滿足3，則·等于()A.2 B.3C.4 D.6答案C解析在ABC中，因為ACB90°且ACBC4，所以AB4，且BA45°.因為3，所以.所以·()·2·2·16×4×4cos 135°4.7.(2014·安徽)設a，b為非零向量，|b|2|a|，兩組向量x1，x2，x3，x4和y1，y

19、2，y3，y4均由2個a和2個b排列而成.若x1·y1x2·y2x3·y3x4·y4所有可能取值中的最小值為4|a|2，則a與b的夾角為()A. B. C. D.0答案B解析設a與b的夾角為，由于xi，yi(i1,2,3,4)均由2個a和2個b排列而成，記S(xi·yi)，則S有以下三種情況：S2a22b2；S4a·b；S|a|22a·b|b|2.|b|2|a|，中S10|a|2，中S8|a|2cos ，中S5|a|24|a|2cos .易知最小，即8|a|2cos 4|a|2，cos ，可求，故選B.8.(2014

20、3;江蘇)如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB8，AD5，3，·2，則·的值是_.答案22解析由3，得，.因為·2，所以()·()2，即2·22.又因為225，264，所以·22.9.設非零向量a，b的夾角為，記f(a，b)acos bsin .若e1，e2均為單位向量，且e1·e2，則向量f(e1，e2)與f(e2，e1)的夾角為_.答案解析由e1·e2，可得cose1，e2，故e1，e2，e2，e1e2，e1.f(e1，e2)e1cos e2sin e1e2，f(e2，e1)e2cos (e1)sin e1e

21、2.f(e1，e2)·f(e2，e1)(e1e2)·(e1e2)e1·e20，所以f(e1，e2)f(e2，e1).故向量f(e1，e2)與f(e2，e1)的夾角為.10.如圖，在ABC中，O為BC中點，若AB1，AC3，60°，則|_.答案解析因為，60°，所以·|·|cos 60°1×3×，又()，所以2()2(22·2)，即2(139)，所以|.11.已知向量a(sin x，)，b(cos x，1).(1)當ab時，求cos2xsin 2x的值；(2)設函數(shù)f(x)2(ab)·b