第二章地圖的數學基礎

1、第一節(jié) 地球體第二節(jié) 我國大地坐標系統第三節(jié) 地圖投影第四節(jié) 地圖比例尺l地圖投影地圖投影是地圖學重要組成部分之一，是構成地圖的重要的數學基礎，地圖投影研究的對象就是如何將地球體表面描寫到平面上，也就是研究建立地圖投影的理論和方法。l一、 地圖投影的基本概念l二、 地圖投影變形l三、 地圖投影分類l四、 地圖投影的應用地球表面展開成平面地球表面展開成平面l一、一、 地圖投影的基本概念地圖投影的基本概念l地圖投影地圖投影：就是按照一定的數學法則,將地球橢球面上的經緯網轉換到平面上，使地面點的地理坐標（，）與地圖上相對應的點的平面直角坐標（x，y）或平面極坐標（ ，）間，建立起一一對應函數關系。

2、投影通式：),(fy),(fx21從球面投影到平面地圖投影地圖投影l(fā)（一）變形的性質l（二）投影變形的相關概念（一）投影變形的性質由地球球面投影到平面上，無論采用什么投影方法，必然產生變形。 變形性質：長度變形、角度變形、面積變形變形性質：長度變形、角度變形、面積變形變形示意圖（二）投影變形的相關概念（二）投影變形的相關概念地球儀上經緯線的特點: 1.所有經線圈是大圓且長度相等；所有 緯線除赤道是大圓外，其余都是小圓，并且從赤道向兩極越來越小。 2.經線和緯線是相互垂直的。 3.緯差相等經線弧長相等；同一條緯線 上經差相等的緯線弧長相等，在不同的緯線上，經差相等緯線弧長不等，而是從赤道向兩極逐

3、漸縮小。 4.同一緯度帶內，經差相同的經緯線網格面積相等，不同緯度帶內，網格面積不等，同一經度帶內，緯度越高，梯形面積越小。由低緯向高緯逐漸縮小。XmX為經線長度比；為緯線長度比YnY 取地面上一個微分圓（小到可忽略地球曲面的影響，把它當作平面看待），它投影到平面上通常會變?yōu)闄E圓，通過對這個橢圓的研究，分析地圖投影的變形狀況。這種圖解方法就叫變形橢圓nYY 該方程證明: 地球面上的微小圓，投影后通常會變?yōu)闄E圓。代入： X2 + Y2 = 1，得，得22221XYmnmXX特別方向：特別方向： 變形橢圓上相互垂直的兩個方向和經向、緯向 長軸方向（極大長度比）a短軸方向（極小長度比）b經線方向 m

4、 ；緯線方向 n據，有m2 + n2 = a2 + b2mnsinq = abl在研究投影時，可借助變形橢圓與微小圓比較，來說明變形的性質和大小。l （1）橢圓半徑與小圓半徑之比，可以說明長度變形。長度變形是隨方向的變化而變化，在長短半徑方向上有極大和極小長度比a和b；l （2）橢圓面積與小圓面積之比，可以說明面積變形；l （3）橢圓上任意兩條方向線的夾角與小圓上相應的兩方向線夾角之差為角度變形。 地球球面上有一微小線段ds,投影到平面上為ds,如圖所示。 平面上微小線段與球面上相應微小線段之比，叫做長度比。用公式表示為：=ds/ds 長度比是一個變量，它不僅隨著點的位置不同而變化，還隨著方向

5、的變化而變化。長度比是指某點某方向上微小線段之比。ds ds2.長度比最大長度比（最大長度比（a a）、最小長度比（）、最小長度比（b b）經線長度比（經線長度比（mm）、緯線長度比（）、緯線長度比（n n）投影后經緯線成正交者，經緯線長度比就是最投影后經緯線成正交者，經緯線長度比就是最大和最小長度比。大和最小長度比。投影后經緯線不直交，其夾角為投影后經緯線不直交，其夾角為,則經緯線長則經緯線長度比度比 mm、n n和最大、最小長度比和最大、最小長度比a a、b b之間具有如下關之間具有如下關系：系： mm2 2+n+n2 2=a=a2 2+b+b2 2 m mn nsin=asin=ab b

6、 面積比： 投影平面上微小面積（變形橢圓面積）dF與球面上相應的微小面積（微小圓面積）dF之比，用P 表示面積比：面積比：P = ab = m n ( = 90) P = m n sin ( 90)面積比和面積比和1的差值，用的差值，用Vp 表示。 面積比是變量，隨位置的不同而變化。= 0 不變 0 變大 0 變小1-PVP3. 面積比tanyxtanyxxaxyby 投影面上任意兩方向線夾角與球面上相應的兩方向線夾角投影面上任意兩方向線夾角與球面上相應的兩方向線夾角之差，稱為角度變形。以之差，稱為角度變形。以表示角度最大變形。表示角度最大變形。 設設A點的坐標為（點的坐標為（x、y）A點的坐

7、標為點的坐標為(x 、y )，則：，則：tantanbybaxatantantantan(1)tanbbaatantantantan(1)tanbbaasin()tancoscosabasin()sin()abab將上式兩邊各減和加 tan 即：將兩式相除，得：sin()sin()ababsin()abab(1802 )(1802 )2()sin2ababtan(45)2ba22222sinsin22sinmnmnmnmnqq以表示角度最大變形：若已知 m, n, q ，則： 球面上兩條相互垂直的微小線段投影后仍保持直交，此二直交直線方向，稱之為主方向。 aobcd5.主方向在主方向上，具有極

8、大和極小長度比。在主方向上，具有極大和極小長度比。abcdo 設想ac、bd二垂線相對位置保持不便，并繞o點順時針旋轉，當旋轉90度時，直角aob轉到原來boc的位置，這時投影由原來的銳角轉變成鈍角；同樣的，直角boc轉到了cob的位置，它的投影由原來的鈍角變?yōu)殇J角。一個直角在不同的位置下的投影有著不同的的大小，在變化的過程中，必然有一特殊位置，直角投影后仍保持直交，此二直交直線方向，稱之為主方向。abcdoaobcd變形值相等的各點的連線。變形值相等的各點的連線。 常用等變形線來表示制圖區(qū)域的變形分布特征，它是根據計算的各種變形的數值（如p,w）繪于經緯線網格內的，如面積等變形線。三、 地圖

9、投影分類按構成方法分類按變形性質分類1、按地圖投影構成方法分類地圖投影按其經緯網構成分類幾何投影幾何投影非幾何投影非幾何投影利用光源把地球橢圓面上的經緯網投影到平面上的方法叫做幾何投影或者幾何透視法。這是最早用來解決地球球面和地圖平面這一對矛盾的一種方法。 方法：假設將地球按比例縮小成一個透明的地球儀般的球體，在球心、球面、或球外安置一個光源，將地球儀上的經緯線、控制點、地物及地貌圖形投影到球外的一個平面或可展曲面上，即成為地圖。根據幾何投影面形狀，分為：（1）方位投影 （2）圓柱投影（3）圓錐投影根據投影面和球面的相對位置關系：（1）方位投影可分為三類： 正軸方位投影：投影面與地軸垂直。 橫

10、軸方位投影：投影面與地軸平行。 斜軸方位投影：投影面與地軸斜交。（2）圓柱（錐）投影可分為三類： 正軸圓柱（錐）投影軸和地軸一致 橫軸圓柱（錐）投影軸和地軸垂直并通過地心； 斜軸圓柱（錐）投影軸通過地心，和地軸斜交。正軸橫軸斜軸正軸 橫軸 斜軸 正軸 斜軸 橫軸 不借助于任何幾何投影面，而是根據一定的投影條件，采用數學解析法確定球面與平面之間點與點的函數關系。在這類投影中，一般按經緯網形狀又可分為偽方位投影、偽圓住投影、偽圓錐投影和多圓錐投影等。偽方位投影經緯線圖x=cos y=sin緯線仍為同心圓偽圓柱投影偽圓柱投影緯線為平行直線，中央經線為直線，其余的經線均為對稱于中央經線的曲線。偽圓錐投

11、影1.緯線為同心圓??；2.中央經線為直線；3.其余經線為對稱于中央經線的曲線。多圓錐投影示意圖多圓錐投影形狀(角度）不變面積不變特定方向距離不變()等角投影（正形投影）角度變形為0，地球面上的微小圓經過投影后仍為相似的微小圓，其形狀保持不變，只有長度和面積變形。等角投影的條件為： w=0 sin(w/2)=(ab)/（a+b)=0 a=b，m=n 等角投影在同一點任何方向的長度比都相等，但在不同地點長度比是不同的。 多用于編制航海圖、洋流圖、風向圖等地圖。面積變形較大投影前后圖形面積大小相等，沒有面積誤差。 等積投影的條件是： Vp=p - p=1因為： p=ab， 所以： a=1/b或或b=

12、1/a 由于這類投影可以保持面積沒有變形，故有利于在圖上進行面積對比。一般用于繪制對面積精度要求較高的自然地圖和經濟地圖。長度、面積和角度都有變形，但又都不大。任意投影中，有一種等距投影等距投影即在特定方向上沒有長度變形。等距投影的面積變形小于等角投影，角度變形小于等積投影。多用于一般參考用圖和教學地圖。（1）在等積投影上不能保持等角特性，在等角投影上不能保持等積特性。（2）等積投影的形狀變形比較大，等角投影的面積變形比較大。（3）在任意投影上不能保持等角和等積的特性 等角投影 等積投影 等距投影 任意投影由變形橢圓看投影變形四、地圖投影的選擇與應用在地圖制作過程中，選擇地圖投影時要考慮哪些因

13、素？1、地圖投影選擇的依據（1）制圖區(qū)域的地理位置、形狀和范圍（2）制圖比例尺（3）地圖的主題與內容（4）地圖的出版方式制圖區(qū)域的地理位置的影響 決定投影的種類，例如：l在極地，應選正軸方位；l在赤道，應選橫軸方位、正軸圓柱；l在中緯，應選正軸圓錐或斜軸方位。形狀的影響l中緯地區(qū)l如沿緯線延伸，應選正軸圓錐；l如沿經線延伸，應選多圓錐投影；l如呈圓形，則應選斜軸方位。l低緯地區(qū)，l如沿赤道延伸，應選正軸圓柱；l如呈圓形，選橫軸方位為宜范圍對投影選擇的影響l范圍不大，無論什么投影，各處變形差異都不太大。l范圍大，需慎重選擇。比例尺對投影選擇的影響l大、中比例尺地形圖，應選變形很小的投影。l小比例

14、尺圖，由于概括程度高，定位精度相對低，如選正軸圓錐投影。地圖內容（用途）對投影選擇的影響主題和內容影響投影選擇：如交通圖、航海圖、航空圖、軍用地形圖等多采用等角投影；自然和社會經濟地圖的分布圖、類型圖、區(qū)劃圖等一般采用等積投影。世界時區(qū)圖，為使時區(qū)的表現得清楚，選擇正軸圓柱投影。中國政區(qū)圖，為能完整連續(xù)地表示，應選用斜軸方位。教學用圖，選擇變形不大的任意投影，如等距投影。出版方式影響單幅圖的投影選擇比較簡單；系列圖或圖集中的一個圖組，應選擇同一變形性質的投影，便于比較；整個地圖集，是由不同主題的圖組所構成，在投影選擇上要有變化，應采用同一系統的投影，根據情況，在變形性質上變化。等角正軸切方位投

15、影（又稱球面極地投影）特點：極點為中心，緯線為同心圓，經線為輻射的直線; 中心部分變形較小，向外變形逐漸增大。用于編繪兩極地區(qū)國際：萬地形圖。2、常用地圖投影 等積斜切方位投影 特點： 投影中心隨需要而定。 中央經線為直線，在中央經線上自投影中心向上、向下的緯線間隔逐漸減小。主要用于編制亞洲、歐洲、北美等大區(qū)域圖。陸半球圖 水半球圖等積斜切方位投影的應用等積斜切方位投影的應用投影中心：東105，北30；：, V 中國全圖 等角正軸切圓柱投影（墨卡托投影）等角正軸切圓柱投影（墨卡托投影）荷蘭地圖學家墨卡托于荷蘭地圖學家墨卡托于15691569年所創(chuàng)一種地圖投影。年所創(chuàng)一種地圖投影。 墨卡托投影特

16、點：墨卡托投影特點： （1 1）赤道投影為正長；）赤道投影為正長； （2 2）緯線投影成和赤道等長的平行線段，即離赤道越遠，緯線投）緯線投影成和赤道等長的平行線段，即離赤道越遠，緯線投影的長度比也越大；影的長度比也越大； （3 3）從赤道向兩極，緯線間隔越來越大。）從赤道向兩極，緯線間隔越來越大。 在墨卡托投影中，面在墨卡托投影中，面積變形最大，如在緯度積變形最大，如在緯度6060度地區(qū)，經線和緯線長度度地區(qū)，經線和緯線長度比都擴大了比都擴大了2 2倍，面積比倍，面積比P=mP=m* *n=2n=2* *2=42=4，擴大了，擴大了4 4倍，倍，愈接近兩極，經緯線擴大愈接近兩極，經緯線擴大的越

17、多，在的越多，在=80=80度時，經度時，經緯線都擴大了近緯線都擴大了近6 6倍，面積倍，面積比擴大了比擴大了3333倍，所以墨卡倍，所以墨卡托投影在托投影在8080度以上高緯地度以上高緯地區(qū)通常就不繪出來了。區(qū)通常就不繪出來了。 格陵蘭島南美洲墨卡托投影應用：1. 廣泛應用于航海和航空方面。2. 還用于編制赤道附近等國家和地區(qū)的地圖。3. 作世界時區(qū)圖和衛(wèi)星軌跡圖。 墨卡托投影被廣泛應用于航海和航空方面，這是因為在墨卡托投影中等角航線表現為直線。 等角航線，就是地球表面上與經線交角都相同的曲線。 等角航線在墨卡托投影圖上表現為直線，等角航線在墨卡托投影圖上表現為直線，因為有這個特征，航行時，

18、在墨卡托投影圖上只要將出發(fā)地和目的地連一直線，用量角器測出直線與經線的夾角，船上的航海羅盤按照這個角度指示船只航行，就能達到目的地。 等角航線不是地球上兩點間的最短距離，等角航線不是地球上兩點間的最短距離，地球上兩點間地球上兩點間的最短距離是通過兩點的大圓弧，（又稱大圓航線或正航的最短距離是通過兩點的大圓弧，（又稱大圓航線或正航線）。線）。大圓航線與各經線的夾角是不等的，因此它在墨卡托投影圖上為曲線。 高斯克呂格投影高斯克呂格投影假設一個橢圓柱橫套在地球橢球面上，使其與某一條經線相切，將橢球面上的經緯線投影到橢圓柱面上，然后將橢圓柱展成平面；（1）中央經線和赤道被投影為互相垂直的直線，而且是投

19、影的對稱軸；（2）投影后沒有角度變形；（3）中央經線上沒有長度變形，離開中經越遠變形越大，最大變形在赤道上。投影特點：投影特點 偽圓柱投影桑遜投影 等角割圓錐投影等角割圓錐投影 1）相割的兩條緯線為標準緯線，長度比為1，沒有變形。 2）兩條標準緯線之間緯線長度比小于1，兩條標準緯線之外，緯線長度比大于1，離開標準緯線長度變形逐漸增大。經線的變形長度也是如此。 3）從兩條標準緯線向外，緯線間距是逐漸增大的。從兩條標準緯線逐漸向里，緯線距離是縮小的。 雙標準緯線等角圓錐投影，廣泛應用于中緯度地區(qū)的分國地雙標準緯線等角圓錐投影，廣泛應用于中緯度地區(qū)的分國地圖和地區(qū)圖。圖和地區(qū)圖。偽圓錐投影 （等積）彭納投影亞洲部分用于編制中、小比例尺較大地區(qū)的地圖（如亞洲與歐洲地圖）。多圓錐投影五、地圖投影變換方法傳統地圖投影變換公式法過程圖數字地圖投影變換一、地圖比例尺的概念地圖上一直線段與地面上相應直線段水平投影長度之比 。M1Dd二、地圖比例尺分類 （1）按地圖投影變形分類l主比例尺投影面上沒有變形的點或線上的比例尺。l局部比例尺投影面