地板磚的鋪設(shè)數(shù)學(xué)建模

1、地板磚的鋪設(shè)在問題1中，由于整個(gè)建筑的平面圖較復(fù)雜，我們把整個(gè)圖進(jìn)行分割簡化為14個(gè)矩形區(qū)域。首先我們采用高斯函數(shù)求未被切割的地板磚的塊數(shù)，利用自定義的向上取整公式得到所需總的地板磚的塊數(shù)，然后根據(jù) 0-1規(guī)劃算出被切割的長度，加上安裝工人的費(fèi)用 則得到總費(fèi)用的表達(dá)式；在問題2中,首先我們利用問題1中的向上取整算出各種規(guī)格的地板磚所需要的總塊數(shù)分別是800*800需要260塊，600*600需要421塊，600*300需要804塊，400*400需要 934塊，300*300需要1509塊，然后再用計(jì)算所需每種規(guī)格地板磚的總面積與被鋪設(shè)的區(qū)域 的總面積得的利用率分別是 800*800利用率0.

2、78 ，600*600利用率0.85 ，600*300利用率 0,89，400*400利用率0.87，300*300利用率0.95。在用0- 1規(guī)劃算和高斯函數(shù)計(jì)算出各 個(gè)規(guī)格地板磚的切割總長度，再分別乘于切割單價(jià)，由于鋪設(shè)的面積大小相同所以安裝費(fèi)用 相同，因此我們暫時(shí)不考慮，只計(jì)算各個(gè)規(guī)格地板磚的切割費(fèi)與購買費(fèi)用之和分別是800*800費(fèi)用是47207元，600*600費(fèi)用是55131元，600*300費(fèi)用是64714.5元，400*400費(fèi)用是 67648.25元，300*300費(fèi)用是68300元，經(jīng)過比較可以知道 800*800規(guī)格的費(fèi)用最低在問題3中，在問題3中，先考慮使用整塊鋪設(shè)，且

3、整塊鋪設(shè)優(yōu)先選用邊長的，我們 只考慮四種變長情況，即800*800，600*600，400*400和300*300最后不能被整塊鋪設(shè)的地 方用300*300鋪設(shè)，因?yàn)槭Ｏ碌拿娣e往往很?。ㄇ铱烤匦慰偯娣e的邊界），用大磚切割不經(jīng) 濟(jì)。最后每個(gè)區(qū)域300*300的塊數(shù)=2時(shí)，我們同樣把2塊300*300換成1塊300*600的。 在這個(gè)問題的考慮中我們使用了多元目標(biāo)的線性規(guī)劃，在考慮區(qū)域的邊長被組合鋪設(shè)后是否有剩余，采用了 01規(guī)劃。利用了 C語音編程求解在問題4中，則是對(duì)模型改進(jìn)的建議，我們認(rèn)為要考慮墻體的厚度及余料的利用，這樣我們就能更節(jié)省問題概述假定工程中能購買到的地板磚的尺寸、價(jià)格、安裝費(fèi)用

4、、破損概率等參數(shù)如表1所示的5種類型的地板磚。根據(jù)需要鋪設(shè)的房屋地面結(jié)構(gòu)用地板磚進(jìn)行鋪設(shè)。假設(shè)每塊地板磚只能沿著平行于邊的方向切割，最多只能切割一次，且切割所用人工費(fèi)跟切割長度成正比。1. 綜合考慮影響地板磚鋪設(shè)成本的因素，并建立計(jì)算地板磚鋪設(shè)總成本的模型。 假如只使用一種尺寸的地板磚進(jìn)行鋪設(shè)，設(shè)計(jì)一種算法進(jìn)行地板磚的自動(dòng)鋪設(shè)，2. 同時(shí)計(jì)算出鋪設(shè)地板磚的塊數(shù)、利用率和總費(fèi)用，綜合比較分析哪種尺寸的地 板磚鋪設(shè)成本最低。3. 若允許使用多種尺寸的地板磚進(jìn)行混合鋪設(shè)， 設(shè)計(jì)一種算法是的實(shí)現(xiàn)地板磚的 自動(dòng)鋪設(shè)，并且計(jì)算鋪設(shè)各種尺寸地板磚的塊數(shù)、利用率和總費(fèi)用。4根據(jù)以上3問得出的模型、算法及計(jì)算結(jié)

5、果，為地板磚鋪設(shè)提出一些意見和建 議。問題分析由于本題中，用地板磚對(duì)房屋的鋪設(shè)需要考慮的因素有： 購買地板磚的費(fèi)用，安 裝工人的工資，切割工人的工資，美觀程度地板磚的規(guī)格參數(shù)以及切割方式的限 制，我們對(duì)題目的分析如下：1對(duì)于問題一的分析首先要得出在鋪設(shè)地板磚中未被切割的塊數(shù)以及總需要的塊數(shù)（已把損耗考慮進(jìn)去），則被切割的地板磚的塊數(shù)就是兩者之差，然后算出美觀的程度，利用 總數(shù)得出所需要的地板磚的總成本， 再加上安裝工人的安裝費(fèi)，所有之和就是總 費(fèi)用2對(duì)于問題2的分析利用每種規(guī)格的地板磚自分別計(jì)算出所需的總的地板磚的塊數(shù)（已把損耗考慮進(jìn)去）和不需要被切割的地板磚的塊數(shù)，用鋪設(shè)的面積除于所購瓷磚的

6、總面積 則計(jì)算出利用率3對(duì)于第3問的分析用多種地板磚進(jìn)行鋪設(shè)，要考慮其規(guī)格對(duì)矩形區(qū)域的限制，因此可以進(jìn)行多目標(biāo)線性規(guī)劃，對(duì)各種規(guī)格的地板磚進(jìn)行逐一考慮，在計(jì)算美觀度，利用率，總費(fèi)用與第二問中的數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，體現(xiàn)多種地板磚進(jìn)行混鋪時(shí)的優(yōu)缺點(diǎn)。4對(duì)于問題4的分析由于以上的問題沒有將余料的考慮進(jìn)行利用， 則需要進(jìn)行余料重新利用的考 慮問題假設(shè)1假設(shè)在鋪設(shè)地板磚的過程中，進(jìn)過切割后的剩余的的余料不再利用。2假設(shè)在進(jìn)行對(duì)鋪設(shè)的區(qū)域的面積時(shí)，忽略墻體的厚度。3假設(shè)地板磚在切割的過程中，不會(huì)產(chǎn)生損耗。符號(hào)說明鋪設(shè)第k個(gè)矩形地板磚的安裝費(fèi)用Ak第i種地板磚的長a i第i種地板磚的破損概率。Bi第i種地板磚的寬

7、bi切割單位長度的地板磚所需費(fèi)用（C 0.005元/ mm）C地板磚類型 （i=1,2,3,4,5）i被鋪設(shè)的矩形區(qū)域（編號(hào)為k=1,2,3 OOO 14）k鋪設(shè)第k個(gè)矩形所需的第i種地板磚的塊數(shù)。ki鋪設(shè)第k個(gè)矩形購買地板磚的費(fèi)用Len gth kminiPiQk第k個(gè)矩形的長第k塊區(qū)域切割長度 被切割的塊數(shù)所需i型地板磚的數(shù)量第i種地板磚的單價(jià)鋪設(shè)第k個(gè)矩形地板磚的切割費(fèi)用戶型面積 所需地板磚的面積第k塊區(qū)域的面積第k個(gè)矩形的寬房屋地板磚鋪設(shè)總花費(fèi)鋪設(shè)第k個(gè)矩形地板磚所需總費(fèi)用。單位面積的安裝費(fèi)用Z利用率美觀度模型的建立與求解問題1SZ&Width kWWk1.1所示,首先由于鋪設(shè)

8、的平面比較復(fù)雜，我們把平面分為如圖圖1.1建立模型一房屋地板磚鋪設(shè)總花費(fèi)計(jì)算公式為:14(1)其中鋪設(shè)第個(gè)矩形區(qū)域地板磚所需總費(fèi)用計(jì)算公式:WkLk Ak Qk則鋪設(shè)第個(gè)矩形購買地板磚的費(fèi)用計(jì)算公式：5LkPimi 1*R定義 i 為向上取整公式，即不小于的最小整數(shù)R RR* 1XZRIIIYIRRRIII其中不需要被切割的地板磚的塊數(shù)：LengthkWidthkaib1 Bi鋪設(shè)第個(gè)矩形地板磚的安裝費(fèi)用計(jì)算公式:Sk鋪設(shè)第個(gè)矩形地板磚的切割費(fèi)用計(jì)算公式而對(duì)于切割費(fèi)用的的計(jì)算，運(yùn)用 01規(guī)劃，令0,Length kLength kaiaiG1 =1,Length kLength kaiaiCW

9、idthk0, kWidthkbibiG2 =I Widthk biWidthk bi則切割長度的數(shù)學(xué)表達(dá)為：0000(8)(9)(10)M k G1 Lengthk G2 Widthk美觀度計(jì)算公式(1 Bi)LengthkaiWidthb(11)Len gthkWidthkaibi問題2模型二對(duì)于用同一種尺寸的地板磚進(jìn)行鋪設(shè)，先利用模型一中的以下公式:Len gthkWidthkni =(12)aib1 Bi可求的所需的第種地板磚的總塊數(shù)則利用率的可表示為n i Si(13)總費(fèi)用可表示為14WniS (C(G1 Lengthk G2 Widthk) Ak)k 1(14)經(jīng)過計(jì)算的到的數(shù)據(jù)

10、如圖2.1所示地板磚 的規(guī)格所需塊數(shù) （塊）地板磚購買費(fèi) 用切割費(fèi)用（元）總費(fèi)用利用率800*80026046800407472070.777284600*60042154730401551310.853391600*30080464320396.564716.50.893726400*40093467248400.2567648.250.865498300*300150967905395683000.95236圖2.1問題3準(zhǔn)別條件：優(yōu)先使用整塊鋪設(shè)，且整塊鋪設(shè)優(yōu)先選用邊長的，五中磚的規(guī)格中， 4種是正方形，剩下的300*600,可以切分為2塊300*300,在考慮問題的時(shí)候， 因?yàn)槿魏我环N

11、長寬不同矩形都會(huì)有兩種鋪法，而對(duì)與正方形來就沒有這種考慮我們只考慮四種變長情況，即 800*800，600*600，400*400和300*300，而當(dāng)整 塊300*300的塊數(shù)出現(xiàn)=2時(shí)，我們把兩塊300*300的合并成一塊300*600 ,根 據(jù)單位面積的價(jià)格，大磚更加經(jīng)濟(jì)。最后不能被整塊鋪設(shè)的地方用 300*300鋪設(shè)， 因?yàn)槭Ｏ碌拿娣e往往很?。ㄇ铱烤匦慰偯娣e的邊界），用大磚切割不經(jīng)濟(jì)。當(dāng)計(jì) 算所用300*300的塊數(shù)=2時(shí)，我們同樣把2塊300*300換成1塊300*600的。首先，根據(jù)盡量鋪大塊的磚，（且在考慮中只有涉及4種規(guī)格的正方形磚），從矩 形的長和寬分別進(jìn)行考慮。長（leng

12、th）的考慮使得四種規(guī)格組合的邊長相加最 大程度達(dá)到到區(qū)域邊長，且限制條件1:邊長越長的磚塊越優(yōu)先。限制條件 2區(qū)域總變長-組合邊長300,同理從寬（Width ）的角度使得四種規(guī)格組合的邊長相 加最大程度達(dá)到到區(qū)域?qū)掗L，限制條件1:邊長越長的磚塊越優(yōu)先。限制條件 2區(qū)域?qū)掗L-組合寬長300。數(shù)學(xué)公式 區(qū)域長的角度 設(shè)需要邊長800的數(shù)量i1,邊長是600的數(shù)量為i2，邊長為400的數(shù)量為i3,邊長為300的數(shù)量是i4 區(qū)域?qū)挼慕嵌?設(shè)需要邊長800 的數(shù)量j1,邊長是600的數(shù)量為j2 ,邊長為400的數(shù)量為j3,邊長為300的數(shù)量是j4數(shù)學(xué)模型3根據(jù)題目的要求，我們得到以下的限制條件：Le

13、n gth-(800*i1+600*i2+400*i3+300i4)<300Width-(800*i1+600*i2+400*i3+300i4)<300(15)(ilIen gth800(17)i2Iength 鬻 800600(18)Ien gthIen gthIen gthi3=800600400WidthJi800800600(19)j2Widthj3=(20)WidthWidth800800600(21)WidthWidth800800600600400運(yùn)用程序求解代碼得到最佳組合數(shù)據(jù)如下(22)區(qū)域號(hào)碼ij12,0,1,00,0,1,022,0,1,01,0,0,032,

14、0,1,01,0,0,044,0,0,01,0,0,153,0,0,01,0,1,062,0,1,01,1,0,075,0,1,04,0,0,084,0,0,02,1,0,094,0,0,14,0,0,0104,1,0,03,0,0,0112,0,1,03,0,0,0123,0,0,03,0,0,0136,1,0,03,1,0,01412,0,0,05,0,1,0磚塊計(jì)算公式某個(gè)區(qū)域需要的磚塊數(shù)量k800WidthIen gthi1J 11 J1800800（23）k600Widthj2Ien gth .i2i 2 j 2600600（24）k400Widthlen gthl3J3i3J 34

15、00400(25)k3004WidthJ4len gth4 J 4300300（26）進(jìn)過C語言計(jì)算得到每個(gè)區(qū)域的各種規(guī)格的地板磚的最佳結(jié)果，如下表所示區(qū)域號(hào) 碼800的整塊數(shù)600的整塊數(shù)400的整塊數(shù)300的整塊數(shù)100502202032020 :440011530606 :2330 :720080885009 1160011 :101240011606012 19000 :13 18130014600240再考慮剩下剩下來的面積用300*300的鋪設(shè)。我們考慮到如果區(qū)域的長被組合完全鋪滿，那么最后不能被整塊鋪余下的面積，會(huì)是不到300m勺寬乘以區(qū)域的長，最后鋪設(shè)的要切割的300*300的

16、塊數(shù)，就是區(qū)域的長除以300mm向上取整。按照這個(gè)思路。我們可以建立模型(27)XLength h 800i2 600is 400 i4 300yWidth j1 800j2 600j3 400 j4 300(28)Len gth Width(,y)最后補(bǔ)的300*300的塊數(shù)為-300將所有 300mm*300m換成 300mm*600mm最終用混合鋪設(shè)的磚塊數(shù)分別為如下表所示區(qū)域號(hào)碼800*600600*600400*400600*300300*30010P 05P 5022026032022044P 00P 7153061062336172008 13188509191600111101

17、240P 7011606401290001131813001146002480最終我們得到混合鋪法所需要的各尺寸地板磚的塊數(shù)及總費(fèi)用和利用率，見下表所示地板磚的 規(guī)格所需塊 數(shù)（塊）地板磚 購買費(fèi) 用切割費(fèi) 用（元）總費(fèi)用利用率800*80018433120407464580.870332600*600273510600*300927360400*400282016300*300145問題4模型的評(píng)價(jià)與改進(jìn)模型的優(yōu)點(diǎn)：1. 結(jié)合數(shù)學(xué)期望的概念對(duì)地磚切割單后單價(jià)做了合適的處理，使得求解方便準(zhǔn) 確，與實(shí)際的結(jié)合性強(qiáng)。2. 模型求解中運(yùn)用了攤還算法的思想，3. 在混合地板鋪設(shè)的求解中運(yùn)用了窮舉算法， 在求解小規(guī)模問題時(shí)，算法簡單, 可靠性高。模型的缺點(diǎn)：1. 采取線性整數(shù)規(guī)劃求解問題時(shí)，模型較為理想化，現(xiàn)實(shí)存在的一些問題不能充 分考慮。2. 對(duì)于一些結(jié)構(gòu)復(fù)雜及形狀不規(guī)則的戶型， 區(qū)域劃分較為困難，應(yīng)用此模型求解 時(shí)較復(fù)雜。3. 未考慮實(shí)際情況下多