由麥克斯韋速率分布律推出平動(dòng)動(dòng)能分布律

1、由麥克斯韋速率分布律推出平動(dòng)動(dòng)能分布律學(xué)院名稱：工程技術(shù)學(xué)院 專業(yè)名稱：物理系101本 學(xué)生姓名 學(xué) 號(hào)：麥克斯韋首先把統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法引入分子動(dòng)理論，首先從理論上導(dǎo)出了氣體分 子的速率分布率，現(xiàn)根據(jù)麥克斯韋速率分布函數(shù)，求出相應(yīng)的氣體分子平動(dòng)動(dòng)能 分布律，并導(dǎo)出與麥克斯韋分布函數(shù)類似的一些性質(zhì)，求出平動(dòng)動(dòng)能的最概然值 及平均值。采用類比的方法，用同樣的思維，在麥克斯韋速率分布函數(shù)的基礎(chǔ)上，作進(jìn) 一步研究，導(dǎo)出能反映平均動(dòng)能在£附近的單位動(dòng)能區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)與總分子 數(shù)的比的函數(shù)于（0）的表達(dá)式。并由此進(jìn)一步推出與麥克斯韋分布函數(shù)相對(duì)應(yīng) 的一些性質(zhì)，并比較分析一些不同點(diǎn)，并且由此驗(yàn)證其正確

2、性。關(guān)鍵字麥克斯韋速率分布最概然值及平均值平動(dòng)動(dòng)能1. 緒論42. 麥克斯韋速率分布律 53. 推導(dǎo)及演繹 7總結(jié) 9參考文獻(xiàn) 10麥克斯韋把統(tǒng)計(jì)方法引入了分子動(dòng)理論，首先從理論上導(dǎo)出了氣體分子的速 分分布律。這是對(duì)于大量氣體分子才有的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。現(xiàn)做進(jìn)一步研究，根據(jù)其成 果麥克斯韋速率分布函數(shù)，導(dǎo)出相應(yīng)的平動(dòng)動(dòng)能分布律，并導(dǎo)出與麥克斯韋分布 函數(shù)類似的一些性質(zhì)并求出平動(dòng)動(dòng)能的最概然值及平均值，并且山此驗(yàn)證其正確 性。本文在前人已有的基礎(chǔ)之上做進(jìn)一步試探性的研究，衍生出新的知識(shí)點(diǎn)，也 有助于深刻的理解原有的知識(shí)1.麥克斯韋速率分布律:/(v) =dNNd這個(gè)函數(shù)稱為氣體分子的速率分布函數(shù)麥克斯韋

3、進(jìn)一步指出，在平衡態(tài)下,分子速率分布函數(shù)可以具體地寫為/(v)=clNAW?3式中廠是氣體系統(tǒng)的熱力學(xué)溫度，斤是玻耳茲曼常量，加是單個(gè)分子的質(zhì)量。 式(8-30)稱為麥克斯韋速率分布律。圖像如下圖1麥克斯韋速率分布函數(shù)圖1畫出了/(卩)與卩的關(guān)系曲線，這條曲線稱為速率分布曲線。由圖可見，曲線 從坐標(biāo)原點(diǎn)出-發(fā)，隨著速率的增大，分布函數(shù)迅速到達(dá)一極大值，然后很快減 小，隨速率延伸到無限大，分布函數(shù)逐漸趨于零。速率在從刃到卩2之間的分子 數(shù)比率A7V/W,等于曲線下從訕到卩2之間的面積，如圖中陰影部分所示。顯然，因?yàn)樗蠳個(gè)分子的速率必然處于從0到8之間，也就是在速率間隔從0到s 的范圍內(nèi)的分子數(shù)

4、占分子總數(shù)的比率為1,即這是分布函數(shù)/W)必須滿足的條件，稱為歸一化條件。AN"n-表示在平衡態(tài)下，理想氣體分子速率在力到巾區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。而應(yīng)用麥克斯韋速率分布函數(shù)可以求出氣體分子三個(gè)重要的速率:(1) 最概然速率叮f(v)的極大值所對(duì)應(yīng)的速率其物理意義為：在平衡態(tài)的條件下，理想氣體分子速率分布在附近的單位速 率的分布區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占?xì)怏w總分子的白分率最大。(2) 平均速率卩，用于研究分子碰撞8燈勿7()V =嘰1.60RT(3) 方均根速率'G7,用于研究分子平均平動(dòng)動(dòng)能,3RT反映的是大量分子無規(guī)則運(yùn)動(dòng)速率的二次方的平均值的二次方根稱為方均根 速率。2.推

5、導(dǎo)及演繹:兩邊同時(shí)取微分有2vdv -dsm由于分子的平動(dòng)動(dòng)能可表示為61 ,:=mv"2帶入到麥克斯韋速率函數(shù)有2 =現(xiàn)定義為/(&)為氣體分子的平動(dòng)動(dòng)能的分布函數(shù)。平動(dòng)動(dòng)能在從®到之間的分子數(shù)比率dV/M等于曲線下從耳到g?之間的面 積，如圖中陰影部分所示。顯然，因?yàn)樗蠳個(gè)分子的速率必然處于從0到8之 間，也就是在速率間隔從0到00的范圍內(nèi)的分子數(shù)占分子總數(shù)的比率為1,+即 這說明和麥克斯韋分布率相似平動(dòng)動(dòng)能分布函數(shù)/(£)同樣必須滿足歸一化條 件。ANJ 6而 =J表示在平衡態(tài)下，理想氣體分子速率在©到區(qū)間卜J名的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。

6、同樣我們也可以根據(jù)平動(dòng)動(dòng)能分布函數(shù)求出最概然平動(dòng)動(dòng)能0以及平均平動(dòng)動(dòng) 能£粒子的最概然平動(dòng)動(dòng)能乞同樣地，最概然平動(dòng)動(dòng)能乞也是對(duì)應(yīng)著/(g)的極值IIIdf_=0化簡(jiǎn)-(好)為丄尹幺, =0Q 兀2kT p解出 e=-kT2而其所對(duì)應(yīng)的速率匕屮=山此我們看到，最概然平動(dòng)動(dòng)能所對(duì)應(yīng)的速率并不是麥克斯韋速率所求得的 最概然速率。初看起來似乎很奇怪，可仔細(xì)想想，最概然速率代表的是速率分布 在附近的單位速率的分布區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占?xì)怏w總分子的白分率最大時(shí)的速率。 而最平動(dòng)動(dòng)能的概然值代表的是平動(dòng)動(dòng)能分布在附近的單位動(dòng)能的分布區(qū)間內(nèi) 的分子數(shù)占?xì)怏w總分子的口分率最大時(shí)的動(dòng)能，其對(duì)應(yīng)的速率卻不是最該

7、然速 率。而計(jì)算發(fā)現(xiàn)這是其實(shí)是山于兩個(gè)方程求極大值時(shí)對(duì)應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)不同。很顯然 求的的極大值也不同。(2)粒子的平均平動(dòng)動(dòng)能£同樣的,j s e0vdN0N其中因?yàn)?0所以_23尸乙_4二 kT石（府）廠兀巧kT這個(gè)結(jié)果是顯然的：有麥克斯韋分布律已經(jīng)得到，這也證明了上面的推導(dǎo)的 正確性。總結(jié):通過以上的討論和分析，我們不僅進(jìn)一步了解了麥克斯韋速率分布函數(shù)，及 其結(jié)論，還能挖掘出衍生出來的氣體平動(dòng)動(dòng)能的分布情況，這樣我們會(huì)對(duì)氣體動(dòng) 理論的本質(zhì)有跟家深刻的理解。要善于在前人已有的基礎(chǔ)之上做進(jìn)一步試探性的研究，才能衍生出新的知識(shí) 點(diǎn)，也能有助于深刻的理解原有的知識(shí)。參考文獻(xiàn):1. 物理學(xué)概論同濟(jì)大學(xué)出版社 作者：王曉鷗。2. 物理學(xué)方法論浙江教育出版社作者：張憲魁。3. 熱學(xué)高等教育出版社作者：李椿章立源錢尚武。4. 世界物理學(xué)史吉林教育出版社作者：董光璧等1994年版5. 倪光炯等著近代物理上?？萍汲霭嫔缱髡撸耗吖饩嫉?979年版6. 物理學(xué)思想史與方法論湖南大學(xué)出版社作者：何維杰歐陽玉2001.9.7. 普通物理學(xué)（第6版）高教京版作者：程守洙江之永2008年11月8. 大學(xué)物理學(xué)（第2版），科學(xué)出版社 作者：余虹2008年5月9. 大學(xué)基礎(chǔ)物理學(xué)（第2版）清華大學(xué)