小學(xué)思維數(shù)學(xué)講義：幾何計(jì)數(shù)(二)-含答案解析

1、幾何計(jì)數(shù)（二）2 + 2 + 3 +  + n = (n2 + n + 2) 個(gè)部分；n 個(gè)圓最多分平面的部分?jǐn)?shù)為 n(n-1)+2；n 個(gè)三角形將平面最多分成教學(xué)目標(biāo)1.掌握計(jì)數(shù)常用方法；2.熟記一些計(jì)數(shù)公式及其推導(dǎo)方法；3.根據(jù)不同題目靈活運(yùn)用計(jì)數(shù)方法進(jìn)行計(jì)數(shù)本講主要介紹了計(jì)數(shù)的常用方法枚舉法、標(biāo)數(shù)法、樹形圖法、插板法、對(duì)應(yīng)法等，并滲透分類計(jì)數(shù)和用容斥原理的計(jì)數(shù)思想知識(shí)要點(diǎn)一、幾何計(jì)數(shù)在幾何圖形中，有許多有趣的計(jì)

2、數(shù)問題，如計(jì)算線段的條數(shù)，滿足某種條件的三角形的個(gè)數(shù)，若干個(gè)圖分平面所成的區(qū)域數(shù)等等這類問題看起來似乎沒有什么規(guī)律可循，但是通過認(rèn)真分析，還是可以找到一些處理方法的常用的方法有枚舉法、加法原理和乘法原理法以及遞推法等n 條直線最多將平面分成123n(n-1)+2 部分；n 個(gè)四邊形將平面最多分成 4n(n-1)+2 部分在其它計(jì)數(shù)問題中，也經(jīng)常用到枚舉法、加法原理和乘法原理法以及遞推法等解題時(shí)需要仔細(xì)審題、綜合所學(xué)知識(shí)點(diǎn)逐步求解排列問題不僅與參加排列的事物有關(guān)，而且與各事物所在的先后順序有關(guān)；組合問題與各事物所在的先后順序無關(guān)，只與這兩個(gè)組合中

3、的元素有關(guān)二、幾何計(jì)數(shù)分類數(shù)線段：如果一條線段上有 n+1 個(gè)點(diǎn)(包括兩個(gè)端點(diǎn))（或含有 n 個(gè)“基本線段”），那么這 n+1 個(gè)點(diǎn)把這條線段一共分成的線段總數(shù)為 n+(n-1)+2+1 條數(shù)角：數(shù)角與數(shù)線段相似，線段圖形中的點(diǎn)類似于角圖形中的邊，數(shù)三角形：可用數(shù)線段的方法數(shù)如右圖所示的三角形（對(duì)應(yīng)法） 因?yàn)?#160;DE 上有 15 條線段，每條線段的兩端點(diǎn)與點(diǎn) A 相連，可構(gòu)成一個(gè)三角形，共有 15 個(gè)三角形，同樣一邊在 

4、;BC 上的三角形也有 15 個(gè)，所以圖中共有 30 個(gè)三角形ADEBC數(shù)長(zhǎng)方形、平行四邊形和正方形：一般的，對(duì)于任意長(zhǎng)方形（平行四邊形） 若其橫邊上共有 n 條線段，縱邊上共有 m 條線段，則圖中共有長(zhǎng)方形（平行四邊形）mn 個(gè)例題精講模塊二、復(fù)雜的幾何計(jì)數(shù)【例 1】如下圖在釘子板上有 16 個(gè)點(diǎn)，每相鄰的兩個(gè)點(diǎn)之間距離都相等，用繩子在上面圍正方形，你可以得1到個(gè)正方形【考點(diǎn)】復(fù)雜的幾何計(jì)數(shù)【難度】4 星【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，2

5、60;年級(jí)，第 4 題【解析】先看橫著的正方形如下圖，可以得到 9 + 4 + 1 = 14 個(gè)正方形，再看斜著的正方形如下圖可以得到4 個(gè)正方形，如下圖可以得到 2 個(gè)正方形這樣一共可以得到14 + 4 + 2 = 20 個(gè)正方形<考點(diǎn)>圖形計(jì)數(shù)【答案】 20 個(gè)【鞏固】如圖， 4 ´ 4 的方格紙上放了 

6、;16 枚棋子，以棋子為頂點(diǎn)的正方形有個(gè)【解析】根據(jù)正方形的大小，分類數(shù)正方形共能組成五種大小不同的正方形(如右圖)1´1 的正方形：9 個(gè)； 2 ´ 2 的正方形：4 個(gè)； 3 ´ 3 的正方形：1 個(gè)；以 1´1 正方形對(duì)角線為邊長(zhǎng)的正方形：4 個(gè)；以1´ 2 長(zhǎng)方形對(duì)角線為邊長(zhǎng)的正方形：2 個(gè)故可以組成 9 + 4

7、0;+ 1 + 4 + 2 = 20 (個(gè))正方形【鞏固】下圖是 3×3 點(diǎn)陣，同一行(列)相鄰兩個(gè)點(diǎn)的距離均為 1。以點(diǎn)陣中的三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成三角形，其中面積為 1 的形狀不同的三角形有種。【考點(diǎn)】復(fù)雜的幾何計(jì)數(shù)【難度】4 星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級(jí)，二試，第 11 題【解析】在本題中，三角形的面積是 1，底和高只能一個(gè)是 1，一個(gè)是 2，可以有以下三種情況：【答案】【例 

8、2】一塊木板上有 13 枚釘子（如左下圖）。用橡皮筋套住其中的幾枚釘子，可以構(gòu)成三角形，正方形，梯形，等等（如右下圖）。請(qǐng)回答：可以構(gòu)成多少個(gè)正方形？【考點(diǎn)】復(fù)雜的幾何計(jì)數(shù)【難度】4 星【題型】填空【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽，試題，第 2 題2【解析】如下圖所示，可以將正方形分為四類，分別有 5 個(gè)、1 個(gè)、4 個(gè)、1 個(gè)，共 11 個(gè)?！敬鸢浮?1個(gè)【例 3】在 3×3 的方格紙上（如圖 1），用鉛筆涂其中的 5

9、60;個(gè)方格，要求每橫行和每豎行列被涂方格的個(gè)數(shù)都是奇數(shù)，如果兩種涂法經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后相同，則認(rèn)為它們是相同類型的涂法，否則是不同類型的涂法。例如圖 2 和圖 3 是相同類型的涂法?；卮鹱疃嘤卸嗌俜N不同類型的涂法？說明理由?！究键c(diǎn)】復(fù)雜的幾何計(jì)數(shù)【難度】3 星【題型】填空【關(guān)鍵詞】華杯賽，決賽，第 10 題，10 分【解析】不同類型的涂法有 3 種，如下圖 AAAA說明：所涂 5 個(gè)陰影方格分布在 3 行中，只有一行涂有 3 個(gè)陰影

10、方格同樣，僅有一列涂有 3 個(gè)陰影方格所以，僅有一個(gè)方格，它所在的行和列均有 3 個(gè)陰影方格，有這種性質(zhì)的方格稱為“特征陰影方格”“特征陰影方格”在 3×3 正方格紙中的位置，就唯一地決定了 3×3 的方格紙的涂法“特征陰影方格”在方格紙的角上（圖 A 左邊）、外邊中間的方格（圖A 中間）和中心的方格（圖A 右邊）三個(gè)位置確定了只有 3 種類型的涂法【答案】 3 種【例 4】在下面的圖中，包含蘋果的正方形一

11、共有個(gè)【考點(diǎn)】復(fù)雜的幾何計(jì)數(shù)【難度】3 星【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，1 年級(jí)，第 4 題【解析】包含 1 個(gè)基本正方形的帶蘋果正方形有 1 個(gè)，包含 4 個(gè)基本正方形的帶蘋果正方形有 4 個(gè)，包含 9個(gè)基本正方形的帶蘋果正方形有 6 個(gè)，包含 16 個(gè)基本正方形的帶蘋果正方形有 2 個(gè)，所以共有1 + 4 + 6 + 2 =

12、0;13 (個(gè))<考點(diǎn)> 圖形的計(jì)數(shù)方法之分類計(jì)數(shù)【答案】13 個(gè)的【鞏固】圖中，不含“A” 正方形有個(gè)?！究键c(diǎn)】復(fù)雜的幾何計(jì)數(shù)【難度】3 星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，4 年級(jí)，1 試【解析】面積為 1 的有 15 個(gè)，面積為 4 的有 7 個(gè)，面積為 3 的有 2 個(gè)，共 24 個(gè).A【答案】 243【鞏固】圖中，不含“A”的正方形有_個(gè)。A【考點(diǎn)】復(fù)雜的幾何

13、計(jì)數(shù)【難度】3 星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級(jí)，二試，第 10 題【解析】面積為 1 的有 15 個(gè)，面積為 4 的有 5 個(gè)，面積為 9 的沒有，所以不含 A 的有 20 個(gè).【答案】 20 個(gè)【例 5】在下圖中，不包含的長(zhǎng)方形有_個(gè)【考點(diǎn)】復(fù)雜的幾何計(jì)數(shù)【難度】3 星【題型】解答【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，4 年級(jí)，第 4 題【解析】根 據(jù)乘法

14、原理，所有長(zhǎng)方形總數(shù)為(1+2+3+4+5+6)×(1+2+3+4+5+6)=441(個(gè) ) ，包含  的長(zhǎng)方形有3×3×4×4=144(個(gè))，所以不包含的長(zhǎng)方形有 C 2 ´ C 2 - 9 ´ 16 = 21´ 21 - 9 ´ 16 = 441 - 144 =&#

15、160;297 (個(gè))77【答案】 297 個(gè)【例 6】如圖，其中同時(shí)包括兩個(gè)的長(zhǎng)方形有個(gè)【考點(diǎn)】復(fù)雜的幾何計(jì)數(shù)【難度】3 星【題型】解答【解析】先找出同時(shí)包括兩個(gè)的最小長(zhǎng)方形，然后其余所有滿足題目要求的長(zhǎng)方形都必須包括該最小長(zhǎng)方形根據(jù)乘法原理 2×2×2×3=24（種）不同的長(zhǎng)方形【答案】 24 個(gè)【例 7】圖中含有“”的長(zhǎng)方形總共有_個(gè)【考點(diǎn)】復(fù)雜的幾何計(jì)數(shù)【難度】3 星【題型】解答【解析】根據(jù)本題特點(diǎn)，可采用分類的方法計(jì)數(shù)按長(zhǎng)方形的寬分類，數(shù)出含號(hào)的長(zhǎng)方形的個(gè)

16、數(shù)含有左上號(hào)的長(zhǎng)方形有： 6 + 6 + 6 = 18 個(gè)，其中，寬為 1(即高度為一層)的含號(hào)的長(zhǎng)方形為：6 個(gè)；寬為 2(即高度為兩層)的含號(hào)的長(zhǎng)方形為：6 個(gè)；寬為 3(即高度為三層)的含號(hào)的長(zhǎng)方形為：6 個(gè)；含有右上號(hào)的長(zhǎng)方形有： 6 + 6 ´ 2 + 6 = 24 個(gè)，其中，寬為 1(即高度為一層)的含號(hào)的長(zhǎng)方形為：6

17、0;個(gè)；寬為 2(即高度為兩層)的含號(hào)的長(zhǎng)方形為： 6 ´ 2 個(gè)；寬為 3(即高度為三層)的含號(hào)的長(zhǎng)方形為：6 個(gè)；同時(shí)含有兩個(gè)號(hào)的重復(fù)計(jì)算了，應(yīng)減去，同時(shí)含有兩個(gè)號(hào)的長(zhǎng)方形有： 4 + 4 = 8 個(gè)，其中，寬為 2(即高度為兩層)的含號(hào)的長(zhǎng)方形為：4 個(gè)；寬為 3(即高度為三層)的含號(hào)的長(zhǎng)方形為：4 個(gè)；所以，含有號(hào)的長(zhǎng)方形總共有：18 + 24 - 8 =&#

18、160;34 個(gè)【答案】 34 個(gè)【例 8】在圖中，包含 A 的三角形一共有個(gè)。4A【考點(diǎn)】復(fù)雜的幾何計(jì)數(shù)【難度】3 星【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，2 年級(jí)，第 5 題【解析】包含五角星的三角形中含一個(gè)基本三角形的有1 個(gè)；含四個(gè)基本三角形的有4 個(gè)；含9 個(gè)基本三角形的有 3 個(gè)；含16 個(gè)基本三角形的有1 個(gè)。這樣包含五角星的三角形一共有1 + 4 + 3 + 

19、;1 = 9 （個(gè)）?！敬鸢浮?#160;9【例 9】右圖中有個(gè)正方形，個(gè)三角形，包含的三角形有個(gè)【考點(diǎn)】復(fù)雜的幾何計(jì)數(shù)【難度】3 星【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，2 年級(jí)，第 7 題【解析】正方形：正著的方塊有 4 個(gè)小的，1 個(gè)大的，斜的方塊有 4 個(gè)小的，1 個(gè)大的；以正方形共有 10 個(gè)。三角形：小號(hào)的三角形有 16 個(gè)，其中有 1 個(gè)包含中號(hào)的三角形有 16 個(gè)，其

20、中有 2 個(gè)包含大號(hào)的三角形有 8 個(gè)，其中有 3 個(gè)包含特大號(hào)的三角形有 4 個(gè)，其中有 2 個(gè)包含所以三角形有 44 個(gè)，包含的有 8 個(gè)【答案】正方形10 個(gè)，三角形 44 個(gè)，包含的有 8 個(gè)【例 10】下圖是 5×5 的方格紙，小方格為邊長(zhǎng) 1 厘米的正方形，圖中共有_個(gè)正方形，所有這些正方形的面積之和為_。【考點(diǎn)】復(fù)雜的幾何計(jì)數(shù)【難度】

21、3 星【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，四年級(jí)，初賽，第 14 題【解析】圖中面積為 1、4、9、16、25 平方厘米的正方形分別有 25、16、9、4、1 個(gè)，共有 55 個(gè)小正方形，所有小正方形的面積和為 259.【答案】 55 個(gè)，面積和為 259【例 11】由 20 個(gè)邊長(zhǎng)為 1 的小正方形拼成一個(gè) 4 ´ 5 長(zhǎng)方形中有一格有“”圖中含有“”的所有長(zhǎng)方形（含正方

22、形）共有個(gè)，它們的面積總和是【考點(diǎn)】復(fù)雜的幾何計(jì)數(shù)【難度】3 星【題型】解答【關(guān)鍵詞】走美杯，6 年級(jí)，決賽，10 題【解析】根據(jù)鼠標(biāo)法，左上角共有 6 個(gè)點(diǎn)，右下角有 8 個(gè)點(diǎn)，所以共有長(zhǎng)方形有 6 ´ 8 = 48 （個(gè)）面積總和為: (1+ 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 5) 

23、0; (1+ 2 + 2 + 3 + 3 + 4) = 360 【答案】長(zhǎng)方形 48 個(gè)，面積和為 360【例 12】圖中內(nèi)部有陰影的正方形共有個(gè)。5【考點(diǎn)】復(fù)雜的幾何計(jì)數(shù)【難度】3 星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級(jí)，一試，第 10 題【解析】面積為 1 的正方形有 8 個(gè)，面積為 4 的正方形有 8 個(gè)，面積為

24、 9 的正方形有 8 個(gè)，面積為 16 的正方形有 2 個(gè)，共計(jì) 26 個(gè).【答案】 26 個(gè)【例 13】在圖中(單位：厘米)：一共有幾個(gè)長(zhǎng)方形?所有這些長(zhǎng)方形面積的和是多少?【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù)【難度】3 星【題型】解答【解析】一共有 (4 + 3 + 2 + 1)´ (4 + 3 + 2 + 1)

25、60;= 100 (個(gè))長(zhǎng)方形；所求的和是5 + 12 + 8 + 1 + (5 + 12) + (12 + 8) + (8 + 1) + (5 + 12 + 8) + (12 + 8 + 1) + (5 + 12 + 

26、8 + 1)´2 + 4 + 7 + 3 + (2 + 4) + (4 + 7) + (7 + 3) + (2 + 4 + 7) + (4 + 7 + 3) + (2 + 4 + 7 + 3

27、)= 144 ´ 86 = 12384 (平方厘米)【答案】（1）100 ，（2）12384【鞏固】如圖，其中的每條線段都是水平的或豎直的，邊界上各條線段的長(zhǎng)度依次為 5 厘米、7 厘米、9 厘米、2 厘米和 4 厘米、6 厘米、5 厘米、1 厘米求圖中長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)，以及所有長(zhǎng)方形面積的和【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù)【難度】3 星【題型】解答【解析】利用長(zhǎng)方形的計(jì)數(shù)公式：橫邊上共有 n 條線段

28、，縱邊上共有 m 條線段，則圖中共有長(zhǎng)方形（平行四邊 形 ） nm 個(gè) ， 所 以 有 (4 + 3 + 2 + 1)´ (4 + 3 + 2 + 1) = 100 （ 個(gè) ）， 這 些 長(zhǎng) 方 形 的 面 積 

29、;和 為 ：（5+7+9+2+12+16+11+21+18+23） ´ （4+6+5+1+10+11+6+15+12+16）=124×86=10664（平方厘米）【答案】長(zhǎng)方形共有：100 ，面積和為10664【例 14】如圖是由 18 個(gè)大小相同的小正三角形拼成的四邊形其中某些相鄰的小正三角形可以拼成較大6的正三角形若干個(gè)那么，圖中包含“ A ”號(hào)的大、小正三角形一共有_個(gè)A【考點(diǎn)】復(fù)雜的幾何計(jì)數(shù)【難度】2 星【題型】解答【解析】分三類進(jìn)行計(jì)數(shù)(設(shè)小正三角形邊長(zhǎng)為

30、 1)包含*的三角形中，邊長(zhǎng)為 1 的正三角形有 1 個(gè)；邊長(zhǎng)為 2 的正三角形有 4 個(gè)；邊長(zhǎng)為 3 的正三角形有 1 個(gè)；”因此，圖中包含“*的所有大、小正三角形一共有1 + 4 + 1 = 6 (個(gè))【答案】 6 個(gè)【例 15】圖中共有多少個(gè)三角形？ABC【考點(diǎn)】復(fù)雜的幾何計(jì)數(shù)【難度】3 星【題型】解答【解析】顯然三角形可分為尖向上與尖向下兩大類，兩類

31、中三角形的個(gè)數(shù)相等尖向上的三角形又可分為 6類（1）最大的三角形 1 個(gè)(即ABC)，（2）第二大的三角形有 3 個(gè)（3）第三大的三角形有 6 個(gè)（4）第四大的三角形有 10 個(gè)（5）第五大的三角形有 15 個(gè)（6）最小的三角形有 24 個(gè)所以尖向上的三角形共有 1+3+6+10+15+24=59（個(gè)）圖中共有三角形 2×59=118（個(gè)）【答案】118 個(gè)【例 16】圖 3，由邊長(zhǎng)為 1

32、0;的小三角形拼成，其中邊長(zhǎng)為 4 的三角形有_個(gè)。【考點(diǎn)】復(fù)雜的幾何計(jì)數(shù)【難度】3 星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯五年級(jí)一試第 16 題，5 分)【解析】1+2+3=6【答案】 6 個(gè)【例 17】右圖是半個(gè)正方形，它被分成一個(gè)一個(gè)小的等腰直角三角形，圖中，正方形有個(gè)，三角形有個(gè)。7【考點(diǎn)】復(fù)雜的幾何計(jì)數(shù)【難度】3 星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級(jí)，一試，第 7 題【解析】正方形 10 個(gè),角形 18+15+4+4+1=42【答案】正方形1

33、0 個(gè)，三角形 42 個(gè)【例 18】如圖，連接一個(gè)正六邊形的各頂點(diǎn)問圖中共有多少個(gè)等腰三角形(包括等邊三角形)？【考點(diǎn)】復(fù)雜的幾何計(jì)數(shù)【難度】4 星【題型】解答【關(guān)鍵詞】華杯賽【解析】本題需要分類進(jìn)行討論先考慮其中的等邊三角形圖中，六邊形的每1個(gè)頂點(diǎn)是某個(gè)小號(hào)等邊三角形的頂點(diǎn)，而且，每個(gè)小號(hào)等邊三角形，有且僅有一個(gè)頂點(diǎn)是六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)，既然六邊形有6個(gè)頂點(diǎn)，所以圖中有6個(gè)小號(hào)三角形；圖中，六邊形的每一條邊是某個(gè)中號(hào)等邊三角形的一條邊，而且，每個(gè)中號(hào)等邊三角形有且僅有一條邊是六邊形的一條邊，既然六邊形有6條邊，所以圖中有6個(gè)中號(hào)等邊三角形；圖中

34、，大號(hào)等邊三角形有2個(gè)；再考慮其中非等邊的等腰三角形圖中非等邊的等腰三角形，按照面積大小分類有3種類型，見圖其中小號(hào)的等腰三角形有6個(gè)，因?yàn)檫@類三角形均以六邊形的一條邊為其邊長(zhǎng)，并且，六邊形的每一條邊只唯一對(duì)應(yīng)一個(gè)小號(hào)等腰三角形，而正六邊形有6條邊，所以有6個(gè)小號(hào)等腰三角形；中號(hào)的等腰三角形有12個(gè)，因?yàn)槊總€(gè)中號(hào)等腰三角形的長(zhǎng)邊都是六邊形的一條非直徑的弦，并且，以非直徑的弦為長(zhǎng)邊的三角形有2個(gè)，如圖，這樣的弦共有6條，所以有12個(gè)中號(hào)等腰三角形；大號(hào)的等腰三角形有6個(gè)，因?yàn)槊總€(gè)大號(hào)等腰三角形的長(zhǎng)邊都是六邊形的一條直徑，每條直徑上都對(duì)應(yīng)有2個(gè)大號(hào)三角形，如圖，共有3條直徑，所以有6個(gè)大號(hào)等腰三角

35、形那么圖中共有 6 + 6 + 2 + 6 + 12 + 6 = 38 個(gè)等腰三角形【答案】 38 個(gè)【例 19】圖中有個(gè)正方形，有個(gè)三角形?！究键c(diǎn)】復(fù)雜的幾何計(jì)數(shù)【難度】4 星【題型】解答【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽，第 14 題【解析】邊線是水平或垂直方向的正方形共有 62 + 52 + 42 + 32 + 2

36、2 + 12 = 91 (個(gè))，形如8的正方形有 4 個(gè)，所以共有正方形 91 + 4 = 95 (個(gè)) (如何保證沒有其它的斜正方形了？如右圖，擦去橫線和豎線，只留下斜線，就一目了然了)此題也可以計(jì)算不同面積的正方形各有多少個(gè)，以面積大小數(shù)正方形，記最小的正方形面積為1；則面積為 1 的正方形的個(gè)數(shù)為 36；面積為 2 的正方形的個(gè)數(shù)為 4；面積為 4 的正方形的個(gè)數(shù)為

37、60;25；面積為 9 的正方形的個(gè)數(shù)為 16；面積為 16 的正方形的個(gè)數(shù)為 9；面積為 25 的正方形的個(gè)數(shù)為 4；面積為 36 的正方形的個(gè)數(shù)為 1所以，共有 36 + 4 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 95 (個(gè))正方形第 2 問。方法 1：以圖中的最小的直角三角

38、形為計(jì)數(shù)基本單位數(shù)三角形：只有 1 個(gè)基本圖形單位的三角形共 72 個(gè)；由 2 個(gè)基本圖形單位組成的三角形共 37 個(gè)；由 4 個(gè)基本圖形單位組成的三角形共 30 個(gè)；由 8 個(gè)基本圖形單位組成的三角形共 4 個(gè)；由 9 個(gè)基本圖形單位組成的三角形共 10 個(gè)；由 16 個(gè)基本圖形單位組成的三角形共 2 個(gè)；所以圖中共有三角形 72+37+30+4

39、+10+2=155（個(gè)）。方法 2：依三角形的斜邊的長(zhǎng)度數(shù)三角形。（1）斜邊和水平線成 45 度角的三角形，記這類三角形最小的斜邊的長(zhǎng)度為 1：長(zhǎng)度為 3 的斜邊共有：5 條；長(zhǎng)度為 4 的斜邊共有：1 條。因?yàn)閳D中這類斜邊每條帶有 2 個(gè)三角形，所以共有 2×（36+15+5+1）=114（個(gè)）。（2）斜邊水平的三角形，從上向下：斜邊在第一條線有 2 個(gè)；斜邊在第二條線有 4 個(gè)；斜邊在第三條線有 4&#

40、160;個(gè)；斜邊在第四條線有 5 個(gè)；斜邊在第五條線有 2 個(gè)；斜邊在第六條線有 2 個(gè)；斜邊在第七條線有 2 個(gè)；所以這種類型的三角形共有 21 個(gè)。（3）斜邊為垂直線的三角形，從左向右：斜邊在第一條線有2 個(gè)；斜邊在第二條線有 2 個(gè)；斜邊在第三條線有 5 個(gè)；斜邊在第四條線有 3 個(gè)；斜邊在第五條線有 3 個(gè)；斜邊在第六條線有 4 個(gè)；斜邊在第七條線有 1 個(gè)，所以這種類型的三角形共有 20 個(gè)。共有 114+21+20=155（個(gè)）三角形。【答案】 95 個(gè)正方形，155 個(gè)三角形【例 20】將右圖中的 2007(即陰影部分)分成若干個(gè) 1×2 的小長(zhǎng)方形，共有種分法【考點(diǎn)】復(fù)雜的幾何計(jì)數(shù)【難度】5 星【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，五年級(jí)，初賽，15 題【解析】下圖中用斜線標(biāo)出的部分是只存在唯一分法的部分，也就是說，實(shí)際上只需要考慮未用斜線連接的陰影部分，先把這些方框標(biāo)記上字母，以便分析R &