2022年2022年《圓的基本性質(zhì)》各節(jié)知識點及典型例題

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問點圓的基本性質(zhì)第一節(jié)圓其次節(jié)圓的軸對稱性第三節(jié)圓心角第四節(jié)圓周角第五節(jié)弧長及扇形的面積第六節(jié)側(cè)面積及全面積六大學(xué)問點：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1.圓的概念及點與圓的位置關(guān)系2.三角形的外接圓3.垂徑定理4.垂徑定理的逆定理及其應(yīng)用5.圓心角的概念及其性質(zhì)6.圓心角.弧.弦.弦心距之間的關(guān)系7.圓周角定理8.圓周角定理的推論9.圓錐的側(cè)面積與全面積精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【課本相關(guān)學(xué)問點】1.圓的定義：在同一平面內(nèi),線段op 繞它固定的一個端點o,另一端點p 所經(jīng)過的叫做圓,定點o 叫做,線段 op 叫

2、做圓的,以點 o 為圓心的圓記作,讀作圓o；2.弦和直徑： 連接圓上任意叫做弦, 其中經(jīng)過圓心的弦叫做,為圓中最長的弦；3.?。簣A上任意叫做圓弧,簡稱弧；圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成的兩條弧,每一條弧都叫做 ；小于半圓的弧叫做,用弧兩端的字母上加上“”就可表示出來,大于半圓的弧叫做 ,用弧兩端的字母和中間的字母,再加上“”就可表示出來；4.等圓：半徑相等的兩個圓叫做等圓；也可以說能夠完全重合的兩個圓叫做等圓5.點與圓的三種位置關(guān)系：如點 p 到圓心 o 的距離為d, o 的半徑為r,就： 點 p 在 o 外；點 p 在 o 上；點 p 在 o 內(nèi)；6.線段垂直平分線上的點距離相等； 到線

3、段兩端點距離相等的點在上7.過一點可作個圓；過兩點可作個圓,以這兩點之間的線段的上任意一點為圓心即可；8.過的三點確定一個圓；9.經(jīng)過三角形三個頂點的圓叫做三角形的,外接圓的圓心叫做三角形的,這個三角形叫做圓的；三角形的外心為三角形三條邊的【典型例題 】【題型一】證明多點共圓例 1.已知矩形abcd ,如下列圖,試說明：矩形abcd 的四個頂點a .b .c.d 在同一個圓上a db c【題型二】相關(guān)概念說法的正誤判定例 1.（甘肅蘭州中考數(shù)學(xué)）有以下四個命題：直徑為弦；經(jīng)過三個點肯定可以作圓；三角形的外心到三角形各頂點的距離都相等；半徑相等的兩個半圓為等弧；其中正確的有（）a.4 個b.3

4、個c.3 個d.2 個例 2.以下說法中,錯誤選項（）a. 直徑為弦b. 半圓為弧c.圓內(nèi)最長的弦為直徑d. 弧小于半圓例 3.以下命題中,正確選項（）a 三角形的三個頂點在同一個圓上b過圓心的線段叫做圓的直徑c大于劣弧的弧叫優(yōu)弧d圓內(nèi)任一點到圓上任一點的距離都小于半徑精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問點例 4. 以下四個命題：經(jīng)過任意三點可以作一個圓；三角形的外心在三角形的內(nèi)部；等腰三角形的外心必在底邊的中線上；菱形肯定有外接圓,圓心為對角線的交點；其中真命題的個數(shù)（）a.4 個b.3 個c.3 個d.2 個【題型三】點和圓的位置關(guān)系的判定例 1. o 的半徑為

5、5,圓心 o 在坐標原點上,點p 的坐標為（ 4,2）,就點 p 與 o 的位置關(guān)系為（）a 點 p 在 o 內(nèi)b 點 p 在 o 上c點 p 在 o 外例 2.已知矩形abcd的邊 ab=3cm , ad=4cm ,如以 a 點為圓心作 a ,使 b.c.d 三點中至少有一個點在圓內(nèi)且至少有一個點在圓外,就a 的半徑 r 的取值范疇為【題型四】“不在同一條直線上的三點確定一個圓”的應(yīng)用如“把破圓復(fù)原成完整的圓”；如“找一點,使它到三點的距離相等”：方法就為找垂直平分線的交點例 1.平面上不共線的四點,可以確定圓的個數(shù)為【題型五】圓中角的求解如圖, ab 為 o 的直徑, cd 為 o 的弦,

6、 ab .cd 的延長線交于點e,已知 ab=2de , e=18 °,求 aoc的度數(shù)aobe dc溫馨提示 ：（ 1）在同圓或等圓中,直徑為半徑的2 倍；（2）圓中常用半徑相等來構(gòu)造等腰三角形,這些看似非常簡潔的性質(zhì)和方法,卻最簡潔被遺忘；鞏固練習(xí)1.如圖,一根 5m長的繩子,一端拴在柱子上,另一端拴著一只羊（羊只能在草地上活動）,請畫出羊的活動區(qū)域；3m2.假如 o 所在平面內(nèi)一點p 到 o 上的點的最大距離為7,最小距離為1,那么此圓的半徑為3.如圖,點a.d.g.m 在半圓上,四邊形aboc ,deof .hmno均為矩形,設(shè)bc=a ,ef=b,nh=c ,就 a,b,

7、c 的大小關(guān)系為amb第 5 題第 3 題n4.已知 o 的半徑為1,點 p 與圓心 o 的距離為d,且方程x2-2x+d=0 有實數(shù)根,就點p 在 o 的5.如圖, mn 所在的直線垂直平分線段ab ,利用這樣的工具,最少使用次就可以找到圓形工件的圓心精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問點6.如線段ab=6 ,就經(jīng)過a .b 兩點的圓的半徑r 的取值范疇為7.在 rtabc 中, c=90°,兩直角邊a.b 為方程 x2 -7x+12=0 的兩根,就 abc 的外接圓面積為8.如圖,平面直角坐標系中一第圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點a .b.c,其中 b 點坐標為（ 4,

8、 4）,那么該圓弧所在圓的圓心坐標為yabcox9.已知圓上有3 個點,以其中兩個點為端點的弧共有條【課本相關(guān)學(xué)問點】1.軸對稱圖形：假如一個圖形沿著某一條直線直線,直線兩旁的部分能夠,那么這個圖形就叫做軸對稱圖形,這條直線就為對稱軸；2.圓為軸對稱圖形,都為它的對稱軸3.垂徑定理：垂直于弦的直徑,并且平分4.分一條弧成的點,叫做這條弧的中點；5.的距離叫做弦心距；6.垂徑定理的逆定理1：平分弦（）的直徑垂直于弦,并且平分垂徑定理的逆定理2：平分弧的直徑【典型例題 】【題型一】應(yīng)用垂徑定理運算與證明例 1.如下列圖,直徑ce 垂直于弦ab , cd=1 ,且 ab+cd=ce ,求圓的半徑；c

9、abdoe例 2.如下列圖,已知線段ab 交 o 于 c.d 兩點, oa .ob 分別交 o 于 e.f 兩點,且oa=ob ,求證：ac=bdoefacdb溫馨提示 ：在垂徑定理中, “垂直于弦的 直徑 ”可以為直徑,可以為半徑,也可以為過圓心的直線或線段；【題型二】垂徑定理的實際應(yīng)用例 1. 某居民區(qū)內(nèi)一處圓形下水道破裂,修理人員預(yù)備更換一段新管道,如下列圖,污水的水面寬為60cm,水精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載面至管道頂部距離為10cm,問：修理人員應(yīng)預(yù)備內(nèi)徑多大的管道？60cm10cm精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問點溫馨提示 ：要學(xué)會

10、自己多畫圖,這樣有助于書寫解題過程；例 2.工程上常用鋼珠來測量零件上小孔的直徑,假設(shè)鋼珠的直徑為10mm,測得鋼 珠頂端離零件表面的距離為8mm ,如下列圖,就這個小孔的直徑ab 為【題型三】垂徑定理與逆定理的實際應(yīng)用例 1.如圖,已知m 為ab的中點,過點m 的弦 mn 交 ab 于點 c,設(shè) o 的半徑為4cm, mn=43 cm；（ 1）求圓心o 到弦 mn 的距離（ 2）求 acm 的度數(shù)oancmb【題型四】應(yīng)用垂徑定理把弧2 等份, 4 等份等鞏固練習(xí)1.以下說法正確選項（）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a. 每一條直徑都為圓的對稱軸b. 圓的對稱軸為唯獨的c.圓

11、的對稱軸肯定經(jīng)過圓心d. 圓的對稱軸與對稱中心重合2.以下命題：垂直于弦的直徑平分這條弦；平分弦的直徑垂直于弦；垂直且平分弦的直線必定經(jīng)過圓心；其中正確的有（）a.0 個b.1 個c.2 個d.3 個3.如圖, o 的直徑為 10cm,弦 ab 為 8cm, p 為弦 ab 上一點,如op 的長為整數(shù),就滿意條件的點p 有（）個a.2b.3c.4d.5oa pb精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載4.半徑為 5cm 的圓內(nèi)有兩條相互平行的弦,長度分別為6cm 和 8cm,就這兩弦之間的距離為cm5.圓的半徑等于23 cm,圓內(nèi)一條弦長23 cm,就弦的中點與弦所對弧的中點的距離等于6

12、.如圖,矩形abcd 與 o 相交于 m .n. f.e,假如 am=2 , de=1 , ef=8,那么 mn 的長為yaoxmm nponbc精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載第 6 題第 7 題第 8 題第9 題第 10 題精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載7.如圖, ab 為 o 的直徑, cd 為弦；如ab=10cm , cd=6cm ,那么 a .b 兩點到直線cd 的距離之和為精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載k8.如圖,半徑為5 的 p 與 y 軸交于點m （ 0,-4）.n（ 0, -10）,函數(shù) y=x（x<0 ）的圖象過點p,就

13、k=精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載9.如圖,將半徑為2cm 的圓形紙片折疊后,圓弧恰好經(jīng)過圓心o,就折痕 ab 的長為10.如圖,已知ab .ac 為弦, om ab 于點 m , on ac 于點 n,bc=4 ,就 mn=11.已知圓內(nèi)接abc 中, ab=ac ,圓心 o 到 bc 的距離為3cm,圓的半徑為7cm,求腰 ab 的長精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問點12.如圖,已知o 的半徑為10cm,弦 ab cd ,垂足為e, ae=4cm , be=8cm ,求弦 cd 的長coeabd13.如圖,某菜農(nóng)在生態(tài)園基地搭建了一個橫截面為圓

14、弧形的蔬菜大棚,大棚的跨度（弦ab的長）為851 米,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載大棚頂點c離地面的高度為2.3 米.求該圓弧形所在圓的半徑；如該菜農(nóng)身高1.70 米,就他在不彎腰的情形下,橫向活動的范疇有多大？c52.3米精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ab14. o 的半徑為2,弦 bd=23 , a 為bd的中點, e 為弦 ac的中點,且在bd上；求四邊形abcd的面積；adecbo【課本相關(guān)學(xué)問點】1.中心對稱圖形：把一個圖形圍著某一點,假如旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原先的圖形,那么,這個圖形叫做中心對稱圖形,這個點為它的2.過中心對稱圖形的的任意一條直線可以

15、平分其面積；3.圓的旋轉(zhuǎn)不變性：將圓周繞圓心o 旋轉(zhuǎn),都能與自身重合,這個性質(zhì)叫做圓的旋轉(zhuǎn)不變性；4.圓心角：叫做圓心角；5.在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的,所對的（這就為 圓心角定理 ）6.n°的圓心角所對的弧就為,圓心角和的度數(shù)相等；留意： 在題目中,如讓你求ab,那么所求的為弧長7.在同圓或等圓中,假如兩個圓心角.兩條弧.兩條弦.兩個弦心距中有一對量相等,那么都相等；（姑且稱之為 圓心角定理的逆定理）注解 ：在由“弦相等,得出弧相等”或由“弦心距相等,得出弧相等”時,這里的“弧相等”為指對應(yīng)的劣弧與劣弧相等,優(yōu)弧與優(yōu)弧相等；【典型例題 】【題型一】與圓心角定理的逆定理的相關(guān)

16、說法的正確與否例 1.以下說法：等弦所對的弧相等；等弧所對的弦相等；圓心角相等,所對的弦相等；弦相等,所對的圓心角相等；在同圓或等圓中,相等的弦所對的弧相等；正確的個數(shù)為（）a.1 個b.2 個c.3 個d.4 個精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問點【題型二】運用圓心角.弧.弦.弦心距之間的關(guān)系證明線段.角度.弧相等例 1.如圖, o 的弦 ab .cd 相交于點p, po 平分 apd ；求證： ab=cdcbpad例 2.如圖 a 與 b 為兩個等圓 、直線 cf ab、 分別交 a 于點 c.d,交 b 于點 e.f；求證： cad= ebfcdefab例 3

17、.如下列圖, ab .cd 為 o 的直徑, ce ab 交 o 于點 e,那么 ad與ae相等嗎？說明理由；eadcb【題型三】運算弧的度數(shù)例 1.如下列圖, c 為 o 的直徑 ab 上一點,過點c 作弦 de,使 cd=co ,如 ad的度數(shù)為40°,求 be的度數(shù)daobce【題型四】運用用圓心角.弧.弦.弦心距之間的關(guān)系解決實際問題例 1.已知張莊.李莊分別位于直徑為300 米的半圓弧上的三等分點m .n 的位置,現(xiàn)在要在河邊（ 直徑所在的位置）修建水泵站,分別向兩個村莊供水,求最小需要多少米的水管？（ 提示：將半圓補全,將軍飲馬問題）mno精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - -

18、 - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問點鞏固練習(xí)1.假如兩個圓心角相等,那么（）a. 這兩個圓心角所對的弦相等b.這兩個圓心角所對的弧相等c.這兩個圓心角所對的弦的弦心距相等d. 以上說法都不對2.以下命題中,正確選項（）a. 相等的圓心角所對弦的弦心距相等b.相等的圓心角所對的弦相等c.同圓或等圓中,兩弦相等,所對的弧相等d.同圓或等圓中,相等的弦所對的弦心距也相等3.在半徑為1 的圓中,長為2 的弦所對的圓心角的度數(shù)為（）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a.30 °b.45°c.60°d.90°4.在 o 中,ad 為直徑, ab .ac 為它

19、的兩條弦, 且 ad 平分 bac ,那么： ab=ac ；ab=ac；bd=cd；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 ad bc；以上結(jié)論中正確的有（）a.1 個b.2 個c.3 個d.4 個5.如下列圖,在abc 中, a=70 °, o 截 abc 的三邊所得的弦長相等,就boc 等于（）a.140 °b.135 °c.130°d.125 °aacamoobodnb cbcd精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載第 5 題第 6 題第 7 題第 8 題精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載6.如圖,在o 中,

20、ab=2cd,就弦 ab和弦 cd的關(guān)系為（）a. ab>2cdb. ab<2cdc. ab=2cdd.無法確定7.如圖,在條件：coa= aod=60°； ac=ad=oa；點 e 分別為 ao .cd 的中點； oa cd 且 aco=6°0中,能推出四邊形ocad 為菱形的條件有個；8.如下列圖,在o 中,弦 ab>cd ,om ab , on cd ,m .n 為垂足,那么om .on 的關(guān)系為（）a. om>onb. om=onc. om<ond.無法確定9.如下列圖,已知ab 為 o 的弦,從圓上任一點引弦cd ab ,作 ocd

21、的平分線交o 于點 p,連續(xù) pa.pb ；求證： pa=pbcoabdp10.如下列圖,m .n 為 ab . cd 的中點,且ab=cd ；求證： amn cnmamc11.如圖, mo no ,過 mn 的中點 a 作 ab on ,交 mn于點 b,試求 bn的度數(shù)bond精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問點mabon【課本相關(guān)學(xué)問點】1.頂點在上,且兩邊的角叫圓周角；2.圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的3.圓周角定理推論1：半圓（或直徑）所對的圓周角為； 90°的圓周角所對的弦為4.拓展一下 ：圓內(nèi)接四邊形的對角5.圓周角定理推論2：在

22、同圓或等圓中,所對的圓周角相等；相等的圓周角所對的也相等【典型例題 】【題型一】圓周角定理的應(yīng)用例 1. abc 為 o 的內(nèi)接三角形,boc=100 °,求 bac 的度數(shù)；【題型二】圓周角定理推論的應(yīng)用例 1.如下列圖,點a .b .c.d 在圓上, ab=8 , bc=6 ,ac=10 , cd=4 ,求 ad 的長；dcba例 2.如下列圖, a .b.c 三點在 o 上, ce 為 o 的直徑, cd ab 于點 d ；（ 1）求證： acd= bce；（ 2）延長 cd 交 o 于點 f,連接 ae .bf,求證： ae=bfcodabef【題型三】應(yīng)用圓周角學(xué)問解決實際

23、生活問題例 1.將量角器按如下列圖的方式放置在三角形紙板上,使點c 在半圓上,點a .b 的讀數(shù)分別為86°, 30°,就 acb 的大小為精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問點例 2.現(xiàn)需測量一井蓋（圓形）的直徑,但只有一把角尺（尺的兩邊相互垂直,一邊有刻度,且兩邊長度都長于井蓋半徑）請協(xié)作圖形.文字說明測量方案,寫出測量的步驟（要求寫出兩種測量方案）答案：圖形 1圖形 2解法一 ：如圖（ 1）,把角尺頂點a 放在井蓋邊緣,記角尺一邊與井蓋邊緣交于點b,另一邊交于點c（如角尺另一邊無法達到井蓋的邊上,把角尺當直尺用,延長另一邊與井蓋邊緣交于點c）

24、,度量 bc長即為直徑；解法二 ：如圖（ 2）,把角尺當直尺用,量出ab的長度,取ab中點 c,然后把角尺頂點與c 點重合,有一邊與cb重合,讓另一邊與井蓋邊緣交于d 點,延長dc交井蓋邊于e,度量 de長度即為直徑；1.圖中圓周角有（）鞏固練習(xí)a.1 個b.2 個bc.3 個d.4 個ce精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ad第 1 題第 2 題第 3 題第 4 題第 5 題精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2.如圖,正方形abcd內(nèi)接于 o,點 p 在 ab上,就 dpc =.3 .如圖,已知ef 為 o 的直徑,把 a 為 60°的直角三角板abc 的一

25、條直角邊bc 放在直線ef 上,斜邊 ab與 o 交于點 p ,點 b 與點 o重合,將三角板abc沿 oe方向平移,使得點b 與點 e 重合為止設(shè) pof=x°,就 x 的取值范疇為（）a30° x60°b30° x90°c30° x120°d 60° x120°4.如圖, pb交 o于點 a.b, pd交 o于點 c.d,已知dq的度數(shù)為42°,bq度數(shù)為 38°,就 p+ q=5.如圖, ab為 o的直徑, c、 d、 e都為 o上的點,就1 2 =.6.如圖, ab為 o的直徑

26、, ad=de, ae與 bd交于點 c,就圖中與 bce相等的角有（）a.2 個b.3 個c.4 個d.5 個a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載第 6 題oebdc第 7 題第 8 題精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載7.已知,如圖,ab 為 o 的直徑, ab=ac , bc 交 o 于點 d, ac 交 o 于點 e, bac=45 °；給出以下四個結(jié)論： ebc=22.5 °；bd=dc ；ae為de的 2 倍；ae=bc ；其中正確結(jié)論的序號為8.如圖, o 的半徑為 1cm,弦 ab .cd 的長度分別為2 cm, 1cm,就弦 ac

27、.bd 所夾的銳角為精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問點9.如圖, ab、 ac為 o 的兩條弦, 且 ab=ac 延長 ca 到點 d使 ad=ac , 連結(jié) db 并延長 、交 o 于點 e求證： ce 為 o 的直徑10.如圖,在o中 ab 為直徑, cd 為弦, ab cd.1p 為 cad 上一點（不與c、 d 重合）求證： cpd=cob；/2 點 p在劣弧cd上（不與c 、 d重合）時,cpd 與 cod有什么數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論apocdbp'11.（ 1）如圖（ 1）已知,已知abc為等邊三角形,以bc為直徑的 o交 ab.ac于 d.

28、e求證： ode為等邊三角形；（ 2）如圖（ 2）如 a=60°, abac,就（1）的結(jié)論為否成立？假如成立,請給出證明,假如不成立,請說明理由精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載12.如下列圖,直徑ab .cd 相互垂直, p 為 oc 的中點,過點p 的弦 mn ab ,試判定 mbc 與 mba的大小關(guān)系；cmpnaob精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載d13.如圖, ab 為 o 的直徑,弦da .bc 的延長線相交于點p,且 bc=pc ,求證：p（ 1） ab=ap（ 2） bccdcaobd精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備精

29、品學(xué)問點【課本相關(guān)學(xué)問點】1.弧長公式：在半徑為r 的圓中, n°的圓心角所對的弧長l 的運算公式為l =2.在弧長公式中,有3 個變量：,已知其中的任意兩個,都可以求出第3 個變量；我們只需要記住一個公式即可；（有些老師要求它的另外兩個變形公式都要記住,其實完全沒有必要）3.扇形面積公式1：半徑為 r,圓心角為n°的扇形面積為；這里面涉及3 個變量：,已知其中任意兩個,都可以求出第3 個變量；我們中需要記住一個公式即可；4.扇形面積公式2：半徑為 r,弧長為 l 的扇形面積為5.求陰影部分面積一般遵循“四步曲”,即：一套,二分,三補,四換一套：直接套用基本幾何圖形面積公式

30、運算；二分：將其分割成規(guī)章圖形面積的和或差；三補：用補形法拼湊成規(guī)章圖形運算；四換：將圖形等積變換后運算；b【典型例題 】【題型一】靜止圖形的弧長運算與運動圖形的弧長運算【例 1】.如下列圖,在abc 中, acb=90 °, b=15 °,以 c 為圓心, ca 的長為半徑的圓交 ab 于點 d ；如 ac=6 ,求 ad 的長dca【例 2】.如圖,菱形abcd中, ab=2 , c=60 °,菱形 abcd在直線 l 上向右作無滑動的翻動,每圍著一個頂點旋轉(zhuǎn)60°叫一次操作,就經(jīng)過36 次這樣的操作菱形中心o 所經(jīng)過的路徑總長為【題型二】求陰影部分

31、的面積問題【例 1】.如圖,在矩形abcd中, ad=2ab=2 ,以 b 為圓心,以ba 為半徑作圓弧,交cb 的延長線于點e,連接 de；求圖中陰影部分的面積；adebc【例 2】.如下列圖,分別以n 邊形的頂點為圓心,以單位1 為半徑畫圓,就圖中陰影部分的面積之和為a1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 2haoh 1co1例 3bc1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【例 3】.如上圖, rt abc中, acb=90 °, cab=30 °, bc=2 ,o.h 分別為邊ab .ac 的中點,將abc繞點 b 順時針旋轉(zhuǎn)120°

32、到 a 1b 1c1 的位置,就整個旋轉(zhuǎn)過程中線段oh 所掃過部分的面積（即陰影部分面積）為（）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a 7 7347b3c d 4 3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載38383精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問點【例 4】.如圖, 水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑為0.6cm,其中水面高0.3cm,求截面上有水部分的面積；0ab【題型三】用弧長及扇形面積公式解決實際問題【例 1】.當汽車在雨天行駛時,為了看清晰道路,司機要啟動前方擋風玻璃上的雨刷器；如圖為某汽車的一個雨刷器的示意圖,雨刷器桿ab與雨刷 cd在

33、 b 處固定連接（不能轉(zhuǎn)動） ,當桿 ab 繞 a 點轉(zhuǎn)動 90°時, 雨刷 cd掃過的面積為多少呢？ 小明認真觀看了雨刷器的轉(zhuǎn)動情形,量得cd=80cm. dba=20°,端點c.d 與點a 的距離分別為115cm.35cm他經(jīng)過認真摸索只選用了其中的部分數(shù)據(jù)就求得了 結(jié)果；也請你算一算雨刷cd掃過的面積為cm2（ 取 3.14 ）【例 2】.如圖為一個滑輪起重裝置如下列圖,滑輪的半徑為10cm,當重物上升10cm 時,滑輪的一條半徑oa繞軸心 o按逆時針方向旋轉(zhuǎn)的角度約為度（假設(shè)繩索與滑輪之間沒有滑動,取 3.14 ,結(jié)果精確到1°）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料

34、- - - 歡迎下載1.假如一條弧長等于14鞏固練習(xí)r ,它的半徑為r ,那么這條弧所對的圓心角度數(shù)為精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2.假如一條弧長為l ,它的半徑為r,這條弧所對的圓心角增加1°,就它的弧長增加23.扇形的弧長為20cm,半徑為5cm,就其面積為cm24.一個扇形的弧長為20 cm,面積為240 cm,那么扇形的圓心角為5.圖中 4 個正方形的邊長都相等,其中陰影部分面積相等的圖形個數(shù)為（）a.0b.2c.3d.46 .如下列圖,扇形aob 的圓心角為90°,分別以oa .ob 為直徑在扇形內(nèi)作半圓,p 和 q 分別表示兩個陰影部分的面積,

35、那么p 和 q 的大小關(guān)系為dc第 6 題aob第 7 題第 8 題7.如圖, ab=12, c.d 為以 ab 為直徑的半圓上的三等分點,就圖中陰影部分面積為8.如圖,在rt abc 中, c=90 °, ac=4 , bc=2 ,分別以ac .bc 為直徑畫半圓,就圖中陰影部分的面積為（結(jié)果保留 ）（到了中學(xué)階段,其實即使不說,結(jié)果也要保留,這為一個基本常識）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問點9.如圖,在rt abc中, c=90°, a=30°,ab=2將 abc繞頂點 a 順時針方向旋轉(zhuǎn)至 abc的位置, b, a,c三點共線

36、,就線段bc掃過的區(qū)域面積為第 9 題第 10 題10.（ 2021 年溫州中考題）在abc 中, c 為銳角,分別以ab ,ac 為直徑作半圓,過點b, a , c 作,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如下列圖,如ab=4 ,ac=2 , s1s2,就 s3s4 的值為（）4精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2923115a.b.c.d.444411.如圖, o的半徑為 r,ab與 cd為 o的兩條相互垂直的直徑,以 b 為圓心, bc為半徑為 cd 、 交 ab于點 e,求圓中陰影部分的面積；12.如圖,已知矩形abcd中, bc=2ab,以 b 為圓心, bc為

37、半徑的圓交ad于 e,交 ba的延長線于f ,設(shè) ab=1,求陰影部分的面積.13.如圖,在abc 中,已知ab=4cm , b=30 °, c=45 °,如以a 為圓心, ac 長為半徑作弧,交ab 于點 e,交 bc 于點 f；（ 1）求 ce 的長（ 2）求 cf 的長fcbea精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問點【課本相關(guān)學(xué)問點】1.圓錐可以看做為直角三角形繞側(cè)面； 另一條直角邊旋轉(zhuǎn)而成的面叫做旋轉(zhuǎn)一周所成的圖形；圓錐的和旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓錐的 的和叫做圓錐的全面積（或表面積）；2.沿圓錐的母線把圓錐剪開并展平,可得圓錐的側(cè)面綻開圖為一

38、個,圓錐的側(cè)面積等于這個扇形的面積,其半徑等于圓錐的,弧長等于圓錐的3.圓錐的側(cè)面積：；圓錐的全面積：4.圓錐的母線長l ,高 h,底面圓半徑r 滿意關(guān)系式5.已知圓錐的底面圓半徑r 和母線長 l ,那么圓錐的側(cè)面綻開圖的圓心角為6.圓錐的側(cè)面綻開圖的圓心角x 的取值范疇為【典型例題 】【題型一】與圓錐有關(guān)的運算（主要為算面積）【例 1】如下列圖, 在 abc 中, bac=30 °, ac=2a ,bc=b ,以 ab 所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個幾何體, 就這個幾何體的全面積為（）a. 2 ab.abc. 3 a2+ abd.a（ 2a+b）【例 2】如圖,有一圓心角為120&#

39、176;,半徑長為6cm 的扇形,如將oa .ob 重合后圍成一圓錐側(cè)面,那么圓錐的高為（）a. 42 cmb.35c.26d.23【例 3】如圖,在紙上剪下一個圓形和一個扇形紙片,使之恰好能夠圍成一個圓錐模型,如圓的半徑為r,扇形的半徑為r ,扇形的圓心角等于120°（如圖）,就 r 與 r 之間的關(guān)系為acb例 3例 1例 2【題型二】與圓錐有關(guān)的方案設(shè)計題【例 1】在一個邊長為a 的正方形材料上截取一扇形,圍成母線長為a 的圓錐（ 1 ）試設(shè)計兩種不同的截法（要求每一種截法盡量削減鋪張的材料）,并把截法在圖上表示出來（ 2 ）分別求出（1）中兩種不同截法所得的圓錐底面的半徑和高

40、（ 3 ）（ 1）中哪一種截法所得的圓錐側(cè)面積較大？adadb1cb2c精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問點【題型三】與圓錐有關(guān)的最短距離問題【例 1】如圖 、圓錐底面半徑為r、母線長為3r,底面圓周上有一螞蟻位于a 點,它從a 點動身沿圓錐面爬行一周后又回到原動身點,請你給它指出一條爬行最短的路徑,并求出最短路徑；鞏固練習(xí)1 .一個圓錐形零件的底面半徑為4 ,母線長為12 ,那么這個零件側(cè)面綻開圖的圓心角為2.一個圓錐的側(cè)面積為底面積的2 倍,就該圓錐的側(cè)面綻開圖的扇形的圓心角等于3.如圖,扇形oab為圓錐的側(cè)面綻開圖,如小正方形方格的邊長為1cm,就這個圓錐的底

41、面半徑為第 3 題第 5 題第 4 題4.如下列圖為小芳學(xué)習(xí)時使用的圓錐形臺燈燈罩的示意圖,那么圍成這個燈罩的鐵皮的面積為5.如圖為一個用來盛爆米花的圓錐形紙杯,紙杯開口圓的直徑ef長為 10cm,母線 oe（ of）長為 10cm在母線 of上的點 a 處有一塊爆米花殘渣,且fa=2cm,一只螞蟻從杯口的點e 處沿圓錐表面爬行到a 點,就此螞蟻爬行的最短距離cm 6 .如下列圖,有始終徑為1m 的圓形鐵皮,要從中剪出一個圓心角為90 °的最大扇形abc（ 1 ）求被剪后陰影部分的面積（ 2 ）用所得的扇形鐵皮圍成一個小圓錐,就該圓錐的底面半徑為多少？精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - -

42、 - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問點7.卷一個底面半徑為2,高為 235 的圓錐側(cè)面,有以下4 個扇形紙片可供挑選；假如要使材料鋪張最少,你認為選哪一個最合理？請說明理由；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載60°r=8r=12120°r=12120°r=13精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載8.在一次科學(xué)探究試驗中,小明將半徑為5cm的圓形濾紙片按圖1 所示的步驟進行折疊,并圍成圓錐形；（ 1）取一漏斗,上部的圓錐形內(nèi)壁（忽視漏斗管口處）的母線ob長為 6cm,開口圓的直徑為6cm；當濾紙片重疊部分為三層, 且每層為 1 圓時, 濾紙圍成的圓錐

43、形放入該漏斗中,能否緊貼此漏斗的內(nèi)壁（忽視漏斗管口處）,4請你用所學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)問說明；（ 2）假設(shè)有一特別規(guī)格的漏斗,其母線長為6cm,開口圓的直徑為7.2cm,現(xiàn)將同樣大小的濾紙圍成重疊部分為三層的圓錐形,放入此漏斗中,且能緊貼漏斗內(nèi)壁問重疊部分每層的面積為多少？精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問點第三章圓的基本性質(zhì)的學(xué)問點及典型例題學(xué)問框圖圓.圓心.半徑.直徑精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載弧.弦.弦心距.等弧概念圓心角.圓周角弧可分為劣弧.半圓.優(yōu)弧在同圓或等圓中,能夠重合的兩條弧叫等弧精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載三角形的外接圓.

44、三角形的外心.圓的內(nèi)接三角形精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載圓的基本性質(zhì)點和圓的位置關(guān)系不在同始終線上的三點確定一個圓圓的軸對稱性垂徑定理及其 2個逆定理三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載圓的中心對稱性和旋轉(zhuǎn)不變性圓圓心角定理及逆定理圓心角定理及逆定理都為依據(jù)圓的旋轉(zhuǎn)不變性推出來的精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載圓周角定理及 2個推論求半徑.弦長.弦心距圓的相關(guān)運算求圓心角.圓周角.弧長.扇形的面積.圓錐的側(cè)面積及表面積求不規(guī)章陰影部分的面積證明線段長度之間的數(shù)量關(guān)系；證

45、明角度之間的數(shù)量關(guān)系精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載圓的相關(guān)證明證明弧度之間的數(shù)量關(guān)系；證明多邊形的外形；證明兩線垂直精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1.過一點可作個圓；過兩點可作個圓,以這兩點之間的線段的上任意一點為圓心即可；過三點可作個圓；過四點可作個圓；2.垂徑定理：垂直于弦的直徑,并且平分垂徑定理的逆定理1：平分弦（）的直徑垂直于弦,并且平分垂徑定理的逆定理2：平分弧的直徑3.圓心角定理：在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的,所對的圓心角定理的逆定理：在同圓或等圓中,假如兩個圓心角.兩條弧.兩條弦.兩個弦心距中有一對量相等,那么都相等；注解 ：在由“弦相等,得

46、出弧相等”或由“弦心距相等,得出弧相等”時,這里的“弧相等”為指對應(yīng)的劣弧與劣弧相等,優(yōu)弧與優(yōu)弧相等；在題目中,如讓你求ab,那么所求的為弧長4.圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓周角定理推論1：半圓（或直徑）所對的圓周角為； 90°的圓周角所對的弦為圓周角定理推論2：在同圓或等圓中,所對的圓周角相等；相等的圓周角所對的也相等5.拓展一下 ：圓內(nèi)接四邊形的對角之和為6.弧長公式：在半徑為r 的圓中, n°的圓心角所對的弧長l 的運算公式為l =精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問點7.扇形面積公式1：半徑為 r,圓心角為n°的扇

47、形面積為；這里面涉及3 個變量：,已知其中任意兩個,都可以求出第3 個變量；我們中需要記住一個公式即可；扇形面積公式2：半徑為 r,弧長為 l 的扇形面積為8.沿圓錐的母線把圓錐剪開并展平,可得圓錐的側(cè)面綻開圖為一個,圓錐的側(cè)面積等于這個扇形的面積,其半徑等于圓錐的,弧長等于圓錐的9.圓錐的側(cè)面積：；圓錐的全面積：10.圓錐的母線長l ,高 h,底面圓半徑r 滿意關(guān)系式11.已知圓錐的底面圓半徑r 和母線長 l ,那么圓錐的側(cè)面綻開圖的圓心角為12.圓錐的側(cè)面綻開圖的圓心角x 的取值范疇為考點一 .與圓相關(guān)的命題的說法正確的個數(shù),絕大多數(shù)為挑選題,也有少部分為填空題（填序號）考點二 .求旋轉(zhuǎn)圖

48、形中某一點移動的距離,這就要利用弧長公式考點三 .求半徑.弦長.弦心距,這就要利用勾股定理和垂徑定理及逆定理考點四 .求圓心角.圓周角考點五 .求陰影部分的面積考點六 .證明線段.角度.弧度之間的數(shù)量關(guān)系；證明多邊形的詳細外形考點七 .利用不在同始終線上的三點確定一個圓的作圖題考點八 .方案設(shè)計題,求最大扇形面積考點九 .將圓錐綻開,求最近距離練習(xí)一.挑選題1.以下命題中：任意三點確定一個圓；圓的兩條平行弦所夾的弧相等；任意一個三角形有且僅有一個外接圓；平分弦的直徑垂直于弦；直徑為圓中最長的弦,半徑不為弦；正確的個數(shù)為（）a.2 個b.3 個c.4 個d.5 個2.如圖, ab 為半圓 o 的直徑,點p 從點 o 動身,沿 oaabbo的路徑運動一周設(shè)op 為 s ,運動時間為 t ,就以下圖形能大致地刻畫s 與 t 之間關(guān)系的為（）pssss精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載abootototot精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a bcd 3.如下列圖,在abc 中, bac=30 °, ac=2a , bc=b ,以 ab 所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個幾何體,就這個幾何體的全面積為（）a. 2 ab.abc. 3 a2+ abd.a（ 2a+b）4.如圖,有一圓心角為120°,半徑長為6cm 的扇形,如將