用向量法解立體幾何

1、空間向量法解決立體幾何問題.引入兩個重要的空間向量1 ,直線的方向向量把直線上任意兩點的向量或與它平行的向量都稱 為直線的方向向量.如圖1,在空間直角坐標系中， 由A(x1 ,y1 ,z1)與B(x2,y2,z2)確定的直線AB的方 向向量是品二傳一4/一%)2 .平面的法向量*如果表示向量n的有向線段所在的直線垂直于平面。，稱這個向量垂直于平面記作n_La,這時向量n叫做平面。的法向量.:在空間直角坐標系中，如何求平面法向量的坐 標呢？如圖2,設(shè)a=（x1,y1,z1）、b=（x2,y2,z2） 是平面。內(nèi)的兩個不共線的非零向量,由直線 與平面垂直的判定定理知，若n，a且n_Lb,則 n J

2、_c（.換句話說，若n.a =。且n.b = 0,則n a.求平面的法向量的坐標的步驟 第一步（設(shè)）:設(shè)出平面法向量的坐標為n=（x,y,z）. 第二步（列）:根據(jù)n.a =。且n.b = 0可列出方程組 玉工+¥）+芍2=0。第三步（解）:把z看作常數(shù)，用z表示x、y. :第四步（?。?取z為任意一個正數(shù)（當然取得越特 殊越好），便得到平面法向量n的坐標.:例1在棱長為2的正方體ABCD-ABiCiDi中Q 是面AC的中心，求面(DA1D1的法向量.解：以A為原點建立空間直角坐標系O-xyz (如圖)，設(shè) 平面OAQi的法向量的法向量為n=(x,y,z),貝UO (1, 1, 0)

3、 , A1 (0, 0, 2) , D1 (0, 2, 2)由(-1, -1, 2) ,= (-1, 1, 2)x = 2zy = 0J-x-y + 2z = 0得 |-x+y+2z = 0 ,解得取z =1得平面OA1D1的法向量的坐標n=(2Q1).二.立體幾何問題的類型及解法。1 .判定直線、平面間的位置關(guān)系直線與直線的位置關(guān)系：.不重合的兩條直線a,b的方向向量分別為a 3b.若a b,即3=入1),則 b.若a J_b,即a.b = 0,則a_Lb例2已知平行六面體ABCD-Ai B1C1D1的底面 ABCD 是菱形,NCiCB=NCiCD=NBCD=6, 求證：CgBD :證明：設(shè)

4、麗=a,麗=6 cc = c, :.依題意有| a歸也 :于是詼=CD-CB= a-b ：: CCj bd = c (a - b)= c-a -c b= |cHa|cos0-|c|-|b| cos0=O GJLBD (2)直線與平面的位置關(guān)系 直線L的方向向量為a,平面。的法向量為n,且L(ZQ. :若an3a =An,貝ij L± a:若aJ_n，即an = 0,則a / a. n aL :例3棱長都等于2的正三棱柱ABC-ARCh D,E分別是AC,CC1的中點，求證： :OAE，平面DBC1； (H)AB1 平面DBC1A1:解：以D為原點，DA為x軸，DB為y軸建立空 間直角

5、坐標系D-xyz .則 A(-1,0,0), B(O,AO), E(1,0,1), AJ-1,0,2), B© 百2), C1(1,0,2). :設(shè)平面DBC1的法向量為n=(x,y,z),則 募二。°解之得卜;藍 ， 取 z = 1 得 n=(-2Q,1).：. 庭=(2。1)二。從而AE J_平面DBC1 (II)麗= (1,J3,2),而n=-2+0+2=0 AB1 平面 DBg (3)平面與平面的位置關(guān)系 :平面。的法向量為小，平面F的法向量為叫 :若叫叫,即n產(chǎn)人叫,則q B ®n1±n2,BPn1 -n2= 0,則 o(J_B:例4正方,體A

6、BCD-A1B1C1D1 中，E、F分別 是BB1、CD的中點，求證:面AEDJ_iSA1FDC。證明:以A為原點建立如圖所示的的直角坐標 系A(chǔ)-xy乙設(shè)正方體的棱長為2,則 E(25O,1),A1 (0,0,2), F(120),D(0,2Q), :于是衣=(2,0,1) AD = (0,2,0) :設(shè)的法向量為n1=(x,y,z)得 fl； = o°解之得卜二丁 取 z=2 得 n1 =(-1,0,2)小同理可得平面A1 FD的法向量為n2=(2Q,1) Vn1 -n2 = -2+0+2=0 :，面 AEDJL 面 A1FD2 .求空間中的角兩異面直線的夾角：利用向量法求兩異面直

7、線所成的夾角,不用再 把這兩條異面直線平移,求出兩條異面直線的 方向向量,則兩方向向量的夾角與兩直線的夾 角相等或互補，我們僅取銳角或直角就行了.:例5如圖在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是 AB的中點，則對角線DB1與CM所成角的余弦 值為.號解：以A為原點建立如圖所示的直角坐標系A(chǔ)- xy乙設(shè)正方體的棱長為2,則% M(1,0, 0),C(2,2,0), B1 (2, 0, 2),D(0,2 ，：.于是,.5 CM = (-1-2,0)。4=(2,2,2) -2 + 4+0_2_ y5 COSv CM , DB>=不+ 4 + 0 J4 + 4 + 4 4 y/3 3 0 (

8、2)直線與與平面所成的角：若n是平面。的法向量,a是直線L的方向向量,a-n號例6正三棱柱ABC-A1BQ1的底面邊長為a,高 為億，求AC與側(cè)面ABBA所成的角寺解:建立如圖示的直角坐標系，則.： A(.O,O),B(O,£O) A1( f ,0,). C(-60 設(shè)由ABB1A1的法向量為n=(x,y,z) ：由48= (一= (0,0,也)導(dǎo) ：卜什介+。=。，解得、?， :取y=a，得n=(3, V3,0) :而而二(一,0,伍)sin。=l cosv , AG 乂=I-367 + O+OIJ9+3+(),，+()+2/3a _ 125/3-V3a - 2* (3)二面角。設(shè)

9、E、n2分別是二面角兩個半平面。、B的 法向量，由幾何知識可知，一面角Q-L-B的大 小與法向量n1、n2夾角相等(選取法向量豎 坐標z同號時相等)或互補(選取法向量豎坐 標z異號時互補)，于是求二面角的大小可轉(zhuǎn) 化為求兩個平面法向量的夾角，這樣可避免 了二面角的平面角的作圖麻煩. :例7在四棱錐S-ABCD中NDAB=/ABC=90° ， 側(cè)棱SAJ_底面AC, SA=AB=BC=1, AD=2,求 二面角A-SD-C的大小.解：建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz,貝ij B (1, 0, 0) , C (1, 1, 0) , D (0, 2, 0) , S (0, 0, 1)

10、. 設(shè)平面SCD的法向量n1=(x,y,z),則由SC= (1,1-1),CD = (-1,1,0)得.：.卜十，一“。都得卜咤取=2得n1=(1,1,2).而面SAD的法向量n2 = (1,0,0).：.于是二面角A-SD-C的大小e滿足。cose = cos<%,%>=-/!/=4 =逅，-J1 + 1 + 4J1 + 0 + 0 J6 6二面角A-SDC的大小為 arccos 3 .求解空間中的距離。異面直線間的距離。兩條異面直線間的距離也不必尋找公垂線段，只需利用 向量的正射影性質(zhì)直接計算.+如圖，設(shè)兩條異面直線a、b的公 垂線的方向向量為n,這時分別在 a、b上任取A、B

11、兩點，則向量在n 上的正射影長就是兩條異面直線 a、b的距離._。即兩異面直線間的距離等于兩異面直線上分別任取兩 點的向量和公垂線方向向量的數(shù)量積的絕對值與公垂線的方向向量模的比值.例8在棱長為1的正方體ABCD-A1 B1C1 D1中, 求異面直線AC1與BD間的距離.:解:建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-xyz,則 A(O5O5O)5B(1 5O,O)5D(O51 30),C1(1 J ,1),設(shè)異面 直線AC1與BD的公垂線的方向向量n=(x,y,z), 貝ij 由 Xq =(i,i,i),(-1,1,0)，得 .I"：，佛彳'卜 X _ _孑，取z = 2 得n=(-

12、1,-1,2). X+V = O- NA6 = (1,0,0) :，異面直線AC1與BD間的距離lAB-nl_l-l-0 + 0l_ V6IniJl + 1 + 46 (2)點到平面的距離 ： A為平面。外一點(如圖)，n為平面。的法向量，過A作儂。些線AB及型AH.AH=4AB-sin0 =1 ABI-lcos<=血i.蟲 ABAnI AB n I。于是，點到平面的距離等于平面內(nèi)外兩點的向量和平面的法向量的數(shù)量積的絕對值與平面的法向量模的比值. 例9在直三棱柱ABC-A1 B1C1中,AA1= V2 JAC=BC=1,ZACB=90° , :求B1到面A1BC的距離.小解:以

13、C為原點建立空間直角坐標系C-xyz，則 C（0,050）,A1（1，史9J Q）,B1設(shè)面A1BC的法向量n=（x,y,z）,由 CAX =（1,O,V2）,CB =（OJ,O）, 得一。,彳導(dǎo)卜= 修、取之=1,曲=（-皿，0,1） 1 、=。 I > =。.；. B = （0,0,V2）,.I 西1 10+0+V25| y2 V6?；? 邁=（1,1。），. t A,B. n IV2+0 + 0I V2 _ V61、 _nV2il V3 3:或丁 CS, = （0,l,V2）,： . I 函. I 10+0+ V2 顯 - n V2+1 V3 3?？梢姡x擇平面內(nèi)外兩點的向量時，與

14、平面內(nèi)的點選擇無 關(guān).:會求了點到平面的距離,直線到平面、平面到平 面間的距離都可轉(zhuǎn)化為求點到平面的距離來求.例10四棱錐P-ABCD的底面ACBD是菱形,AB= 4, NABC=60° ,側(cè)棱PAJ_底面AC且PA= 4,E是PA 的中點，求PC與平面PED間的距離.解:以A為原點、AB為x軸、4ACD中CD邊上的高 AF為y軸、AP為z軸建立空間直角坐標系，則F 為CD的中點，于是 A(0,0,0) , B(4QQ), F(0,2 V3,0), C(2, 2 點,0), ：.D(-2, 26 ,0), P(O5O34), E(O3O,2). 設(shè)面BED的法向量n=(x,y,z),由 ： BE = (-4,0,2), DF= (2,-2 6,2),得 ：匕二三;:丁。得嗦n=(1, V3,2).一1'一 丁 PC=(2,275,-4) ：.n rc= 2+6-8=0