兩個變量的線性相關分析

1、232兩個變量的線性相關一、教學目標重點：了解最小二乘法和回歸分析的思想，根據(jù)給出的線性回歸方程的系數(shù)公式建立回歸方程.難點：如何通過數(shù)學方法刻畫“從整體上看，各點與此直線的距離最小”，并在此過程中了解最小二乘法思想.知識點：根據(jù)給出的線性回歸方程的系數(shù)公式建立回歸方程能力點：探究體會數(shù)形結(jié)合的方法及最小二乘法的數(shù)學思想教育點：學生通過合作學習、自主學習和探究式學習的方式完成一個完整的數(shù)學學習過程自主探究點：自學例 2.考試點：根據(jù)給出的線性回歸方程的系數(shù)公式建立回歸方程易錯易混點：如何化簡復雜的代數(shù)表達式，學生缺乏處理的經(jīng)驗，在計算能力的要求上也較高 拓展點：事件、樣本數(shù)據(jù)、回歸直線方程三者

2、關系.二、復習引入引例：在一次對人體脂肪含量和年齡關系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù):年齡2327394145495053545657586061脂肪9.517.821.225.927.526.328.229.630.231.430.833.535.234.6問題1.作出散點圖，并指出上面的兩個變量是正相關還是負相關？【設計意圖】為本節(jié)課學生能夠更好的建構(gòu)新的知識做好充分的準備，對舊的知識進行簡要的提問復習, 為能夠順利的完成本節(jié)課的內(nèi)容提供必要的基礎.【設計說明】 學生動手操作得出散點圖回答.問題2.觀察下面這兩幅圖，看有什么特點？【設計意圖】通過討論比較，調(diào)動學生的學習積極性和興趣，

3、活躍課堂氣氛.【設計說明】 設計該問題，弓I導學生自己發(fā)現(xiàn)問題，鼓勵學生大膽表達自己的看法，充分暴露思維過程. 發(fā)現(xiàn)：圖1很亂，兩個變量沒有相關關系；圖2呈上升趨勢，圖中點的分布呈條狀，所有點都落在某一直線的附近，這樣由圖 2自然地引出線性相關、回歸直線的概念，同時引入課題.引入：為此我們引入今天的課題-回歸直線及其方程 【設計意圖】循序漸進，符合學生的認知規(guī)律.三、探究新知（一）探索回歸直線的概念1.回歸直線的定義：如果散點圖中的點的分布，從整體上看大致在一條直線附近，則稱這兩個變量之間具 有線性相關關系，這條直線叫做回歸直線.【設計意圖】培養(yǎng)自學能力和數(shù)學閱讀能力.【設計說明】 讓學生閱讀

4、教材，通過閱讀教材學習線性相關，回歸直線，回歸方程的概念，并分析概念中 應注意的問題.注意：概念的前提是點的分布在一條直線附近.（二）探索回歸直線的找法結(jié)合引例一年齡與體內(nèi)脂肪含量相關性 的散點圖觀察，思考以下問題.問題1.對一組具有線性相關關系的樣本數(shù)據(jù)，你認為其回歸直線是一條還是幾條？【設計意圖】讓學生通過觀察、分析，自己發(fā)現(xiàn)回歸直線的條數(shù)只有一條，從而培養(yǎng)學生觀察、分析問題 的能力.問題2.回歸直線與散點圖中各點的位置應具有怎樣的關系？【設計意圖】讓學生分析兩者的關系，教師引導學生發(fā)現(xiàn)兩者整體上最接近，以進一步培養(yǎng)學生觀察、分 析問題的能力.問題3.那么在樣本數(shù)據(jù)的散點圖中，能否用直尺準

5、確畫出回歸直線？【設計意圖】讓學生動手操作畫回歸直線，建立回歸思想，以分解難點、突破難點，培養(yǎng)學生的動手操作 能力.問題4.如果能夠求出回歸方程，那么我們就可以比較清楚的了解年齡與體內(nèi)脂肪含量的相關性那么我們 應當如何具體求出這個回歸方程呢？對于求回歸直線方程，你有哪些想法？【設計意圖】充分暴露學生的思維過程，通過討論比較，調(diào)動學生的學習積極性和興趣，活躍課堂氣氛 培養(yǎng)學生動腦思考問題的能力.【設計說明】結(jié)合教材，學生會出現(xiàn)以下方案.方案一：采用測量的方法，先畫出一條直線，測量出各點與它的距離，然后移動直線，到達一個使距離的 和最小的位置，測出此時的斜率和截距，就是回歸方程了如圖方案二：在圖中

6、選兩點作直線，使直線兩側(cè)的點的個數(shù)基本相同.如圖5IJIJ11IIL.020253035404550556065 年齡方案三：如果多取幾對點，確定多條直線，再求出這些直線的斜率和截距的平均值作為回歸直線的斜率和 截距，得回歸方程如圖問題5.以上這些方法是不是真的可行？為什么？【設計意圖】結(jié)合以上三個方案讓學生畫圖，然后教師引導學生討論、交流方案的可行性，體會回歸直線 的特征.【設計說明】教師先展示學生畫圖情況，學生說明理由；然后教師總結(jié)回歸直線的特征：整體上看散點圖 中的點到此直線的距離最小.問題6.如何用數(shù)學的方法來刻畫“從整體上看，各點到此直線的距離小”？【設計意圖】這樣設疑符合學生的認知

7、規(guī)律，增強了學生的求知欲.x在RtAABC中按照一對一的 關系，直角邊AB越小，斜邊AC也越小.【設計說明】教師引導學生進行下面的分析：引導學生以等效性和簡化計算為目標，將點到直線的距離轉(zhuǎn)化為自變量x取值一定時，縱坐標的偏差這樣自然引出下面求回歸方程的方法.問題7.結(jié)合以上分析，我們認為以“偏差”最小的直線作為回歸直線比較恰當，那你能用代數(shù)式來刻畫“從整體上看，各點與此直線的偏差最小”嗎？【設計意圖】幾何問題代數(shù)化，為下一步探究作好準備，經(jīng)歷“幾何直觀”轉(zhuǎn)化為“代數(shù)表達”過程，為 引出“最小二乘法”作準備.【設計說明】假設我們已經(jīng)得到兩個具有線性相關關系的變量的一組數(shù)據(jù)：（, y1） , （x

8、2, y2），,（xn,yn） 當自變量x取x （i =1,2，n）時，可以得到0=bx +a（i =1,2，n）,它與實際收集到的 之 間的偏差（如圖）是 yi= % -（bXj - a） （i =1,2，,n）.y tIOx問題8教師啟發(fā)學生比較下列三個模型，哪個模型比較可行?模型一：n遲(y -?)最小i 土n模型二：1最小i 土n模型三：(yi-?)2 最小i生n【設計意圖】先向?qū)W生說明7 的意義，體會如何選取恰當?shù)挠嬎惴椒ń⒒貧w方程的過程，提高學生分i £析問題的能力；培養(yǎng)學生的動手操作能力.【設計說明】教師指出：模型一中（ -？）可能有正有負，互相抵消怎么辦？學生一般會

9、想到加絕對值.模型二中1% -? I去絕對值非常困難（可以提問，讓學生思考），是否有其它的方法，同時可以類比方差的處理方法，引導學生思考.師生一起分析后，得出用模型三來制定標準評價一條直線是否為“最好”的直線較為方便.（三）利用最小二乘法推導回歸系數(shù)公式nn問題9.通過對上述問題的分析，我們知道可以用（y-?）2 =送（yj -bXj -a）2最小來表示偏差最i di=1小，那么在這個式子中，當樣本點的坐標（Xi,y）確定時，a, b等于多少，Q能取到最小值呢？【設計意圖】體會最小二乘法思想，不經(jīng)歷公式化簡無法真正理解其意義，而直接從n個點的公式化簡，教學要求、教學時間、學生能力都沒達到這個高

10、度因而由具體到抽象，由特殊到一般，將是學生順利完 成這一認知過程的一般性原則.通過這個問題，讓學生了解這個式子的結(jié)構(gòu)，為后續(xù)的學習打下基礎，同 時滲透最小值的思想.【設計說明】我們采用n個偏差的平方和 Q= （y - bx - a）2 （y2 - bx2 - a）2亠'亠（yn -b - a）2表示nn個點與相應直線在整體上的接近程度：記Q=v (yj bXj - a)2 通過化簡，得到的其實是關于a、b的i 4二元二次函數(shù)求最值的問題，一定存在這樣的a、b,使Q取到最小值.教師指出：Q為最小值時的b的值的線(1) 在此基礎上，視 Q為b的二次函數(shù)時，根據(jù)有關數(shù)學原理分析，可求出使 性

11、回歸方程系數(shù)公式：n_-乞(Xi -x)(yi -y) i 4bn' (Xii 1-X)2n二 Xi yi 一 nx y i丄n、x2i 4-2一 nx-bx.b ,a，即回歸方程為44截距為y 二 bx a(2)(X, y)稱為樣本點的中心，可以證明回歸直線一定過樣本點的中心，所以可得這樣，回歸方程的斜率為最小二乘法：這種通過上式的最小值而得到回歸直線的方法，即使得樣本數(shù)據(jù)的點到回歸直線的距離的平 方和最小的方法叫做最小二乘法.四、理解新知例1進一步探究引例一年齡與體內(nèi)脂肪含量表年齡23394550545760脂肪9.521.227.528.230.230.835.2表二：年齡232

12、7394145495053545657586061脂肪9.517.821.225.927.526.328.229.630.231.430.833.535.234.6(1)根據(jù)表一數(shù)據(jù)，需要計算哪些新數(shù)據(jù)，才能求出線性回歸方程系數(shù)？【設計意圖】公式形式化程度高、表達復雜，通過分解計算，可加深對公式結(jié)構(gòu)的理解.同時，通過例題, 反映數(shù)據(jù)處理的繁雜性，體現(xiàn)計算器處理的優(yōu)越性._ nn【設計說明】可讓學生觀察公式，充分討論，通過計算：xyi、n、X、y、xiyixi2六個數(shù)據(jù)帶入回歸方程公式得到線性回歸方程，體會求線性回歸方程的原理與方法.而后教師可偕同學生，對計算 器操作方式提供示范，師生共同完成，

13、得出回歸直線方程為：y =0.6541x-4.5659.(2) 利用計算器，根據(jù)表二，請同學們獨立解決求出表中兩變量的回歸方程.【設計意圖】讓學生獨立體驗運用計算器求回歸直線方程，在重復求解回歸直線的過程中，使學生掌握利4用計算器求回歸直線的操作方法.得出回歸直線方程為：y二0.5765X - 0.4478.【設計說明】學生獨立運用計算器求回歸直線方程，對于不會操作的學生，教師給予必要的指導.繼續(xù)思 考下列問題：問題1.請同學們從表格中選取年齡 x的一個值代入上述回歸直線的方程，看看得出的數(shù)據(jù)與真實數(shù)值之間的關系.如：x=50時，得出估計值為 28.3772，而實際值為28.2，有偏差為什么？

14、4【設計意圖】使學生理解線性回歸方程的真正意義與作用，明確y只是y的一個估計值，將x值帶入后肯定有誤差.問題2.試預測某人37歲時，他體內(nèi)的脂肪含量，并說明結(jié)果的含義.設計意圖】進一步理解線性回歸方程的真正意義與作用.【設計說明】學生代入計算得 20.883.教師進一步提問：我們能不能說他的體內(nèi)脂肪含量的百分比一定是20.883% ?學生思考回答：不能，只能說他體內(nèi)的脂肪含量在20.90%附近的可能性比較大.問題3同樣問題背景，為什么回歸直線不止一條？回歸方程求出后，變量間的相關關系是否就轉(zhuǎn)變成確定 關系？設計意圖】明確樣本的選擇影響回歸直線方程，體現(xiàn)統(tǒng)計的隨機思想同時，明確其揭示的是相關關系

15、 而非函數(shù)的確定關系，而且最小二乘法只是某一標準下的一種數(shù)據(jù)處理方法，使學生更全面的理解回歸直 線這一核心概念.設計說明】教師說明回歸直線方程由數(shù)據(jù)唯一決定，提供的數(shù)據(jù)不同，回歸直線方程當然不同，同時回 歸直線方程又能反映數(shù)據(jù)的本質(zhì).理解回歸系數(shù)公式思考1.線性回歸方程y = bx a為何不記為y = bx a ?你能說明對于確定的 x，根據(jù)y = bx a計算出 的y的意義嗎？【設計意圖】使學生理解線性回歸方程的真正意義與作用，明確y只是y的一個估計值.【設計說明】學生思考，教師幫助學生理解線性回歸方程的意義與作用.思考2.這個公式不要求記憶，但要會運用這個公式進行運算，那么，要求b,a的值

16、，你會按怎樣的順序求呢？【設計意圖】公式不要求推導，又不要求記憶，學生對這個公式缺少感性的認識，通過這個問題，使學生 從感性的層次上對公式有所了解.b,a時，必須要有條理，先求什么，再求什x2順序來求，再代入公式.【設計說明】由于這個公式比較復雜，因此在運用這個公式求_ nn么.比如，我們可以按照 x yi、n、x、y、無xi yi ' Z iAiA五、運用新知例2有一個同學家開了一個小賣部，他為了研究氣溫對熱飲銷售的影響，經(jīng)過統(tǒng)計，得到一個賣出的熱飲 杯數(shù)與當天氣溫的對比表：1、畫出散點圖；2、從散點圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間關系的一般規(guī)律；3、求回歸方程；4、如果某天的氣溫是

17、2攝氏度，預測這天賣出的熱飲杯數(shù)。攝氏溫度熱飲杯數(shù)-51560150413271281213015116191042389279331763654(1)散點圖圖3-1(2) 2、從圖3-1看到，各點散布在從左上角到由下角的區(qū)域里，因此，氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間成負相 關，即氣溫越高，賣出去的熱飲杯數(shù)越少。(3) 從散點圖可以看出，這些點大致分布在一條直線的附近，因此利用公式1求出回歸方程的系數(shù)。Y= -2.352X+147.767(4) 當x=2時，丫=143.063 因此，某天的氣溫為 2攝氏度時，這天大約可以賣出143杯熱飲。【設計意圖】通過此題，讓學生完整經(jīng)歷求回歸直線過程其中第4問，讓學

18、生體會到即使是相比下“最優(yōu)”的所獲得的回歸直線，也存在著一定的誤差， 從中體會無論方法的優(yōu)劣， 統(tǒng)計學中隨機性無法避免. 在預測值的計算中，體現(xiàn)了回歸直線的應用價值，加深學生對回歸方程的理解，體驗數(shù)學在實際生活中的 應用.【設計說明】本題不能用計算器運算，以考查學生的運算能力； 本題讓學生自學，爬黑板板書過程，教師進一步規(guī)范學生的解題步驟； 結(jié)合這兩個例題讓學生總結(jié)求回歸直線方程的步驟.拓展：通過對以上兩個案例的分析，思考：事件、樣本數(shù)據(jù)、回歸直線方程三者關系.1數(shù)據(jù)采樣本身就具有隨機性，同樣23歲的人，脂肪含量可能 9.5%，也有可能30%，這種誤差我們稱之為隨機誤差，隨機誤差是不可避免的.

19、2回歸分析是尋找相關關系中非確定關系中的某種確定性，雖然一個數(shù)據(jù)具有隨機誤差，但總體還是具有 某種確定的關系.3在數(shù)據(jù)采樣都符合統(tǒng)計要求的情況下，取三個回歸直線方程中的任意一個都是合理的，不存在哪條最合 適的問題，但一般情況下，選擇數(shù)據(jù)多一些的比較合理.因此，事件、樣本數(shù)據(jù)、回歸直線方程三者具有如下的關系：六、課堂小結(jié)教師提問：本節(jié)課我們學習了哪些知識，涉及到哪些數(shù)學思想方法？學生作答: 1知識：求回歸直線方程的方法.求回歸直線方程的步驟： 先判斷變量是否線性相關； 若線性相關，可按下面的步驟求回歸直線方程;第一步，計算平均數(shù) x、y ；nn第二步，求和v xx、a x1 2 3 ；i 4i

20、4n,Z (Xi -x)(yi - y)第三步，計算b二斗廠Z (x -x)2i丄n' Xi% - nxy2Xi2一 nx第四步，寫出回歸直線方程為 y = bx a 利用回歸方程對生活實際問題進行分析與預測.(3)回歸直線方程的作用及意義.2思想：數(shù)形結(jié)合、歸納、類比、最小二乘法和回歸分析的思想.教師總結(jié)：提醒學生：在學習新知時，也要經(jīng)常復習前面學過的內(nèi)容，“溫故而知新” 在應用中增強對知識的理解，及時查缺補漏，從而更好地運用知識，解題要有目的性，加強對數(shù)學知識、思想方法的認識與自 覺運用.【設計意圖】培養(yǎng)學生自主梳理知識能力，加強對學生學習方法的指導.七、布置作業(yè)1書面作業(yè)1有5個

21、學生的數(shù)學和物理成績(單位：分)如下表:數(shù)學8075706560物理7066686462(1) 畫出散點圖，判斷它們是否具有相關關系，若相關，求出回歸方程；(2) 關于兩個變量之間的關系，你能得出什么結(jié)論？2.下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x (噸)與相應的生產(chǎn)能耗 y (噸標準煤)的幾組對照數(shù)據(jù)：x3456y2.5344.51h11iliiL電L11I1 11 LO圖(1)1cO圖(2)【設計說明】第一個是線性相關，可以求回歸方程，后一個是非線性相關，直線不能很好地反映圖中兩個變量之間的關系顯然求回歸直線的方程是沒有意義的有些變量線性相關，有些非線性相關，怎樣衡量

22、 變量的線性相關程度呢？帶著這個問題讓學生課后閱讀第92頁的內(nèi)容.【設計意圖】 設計書面作業(yè)必做題，是引導學生先復習，再作業(yè)，培養(yǎng)學生良好的學習習慣書面作業(yè)的 布置，是為了讓學生進一步掌握求回歸直線方程的步驟；課外思考的安排，是讓學生在應用知識的同時開 闊了學生視野，將課堂內(nèi)涵延伸到課外.八、教后反思1本教案的亮點是整個教學設計過程采用研究性學習方法，由學生自己去探究，去解決問題不是生硬的 拋出，而是水到渠成例題也是變講為練，都是學生在獨立或小組討論中解決的，很好的調(diào)動學生的積極 性與主動性，提高了學生的解題能力.2.由于各校的情況不同， 建議教師在使用本教案時靈活掌握，但必須在求回歸直線方程

23、的步驟上下足功夫.3本節(jié)課的弱項是課容量大，時間所限，在課堂上沒有充分暴露學生的思維過程，感覺一節(jié)課下來比較緊,學生理解不透徹，尤其是學生對回歸直線的找法還存在一定的困難.九、板書設計2.3.2回歸直線及其方程一、知識點1回歸直線的定義：如果散點圖中的點的分布，從整體上看大致在一條直線附近，則稱這兩個變量之間具有線性 相關關系，這條直線叫做回歸直線.注意：概念的前提是點的分布在一條直線附近.2最小二乘法：這種通過上式的最小值而得到回歸直線的 方法，即使得樣本數(shù)據(jù)的點到回歸直線的距離的平方和 最小的方法叫做最小二乘法.3回歸方程：44444y=bx+a，回歸方程的斜率為 b，截距為a . 其中回歸方程系數(shù)公式：rnn亠 Z (Xi x)(yi -y) 送 XiYi nxyb =n_ 2門 2_2 7為(Xi x)無 x nx7i =1a = y _bx.說明：(l)y只是y的一個估計值；(2) 這個公式不要求記憶，但要會運用這個公式進行運 n n算，運算順序可以按照x yi、n、x、y、為xi yixi2i =1i =1順序來求，再代入公式.(3) 回歸直線一定過樣本點的中心 (x, y) 4.求回歸直線方程的步驟：先判斷變量是否線性相關；(2)利用計算器，根據(jù)表二，請同學們獨立解決 求出