公開課垂徑定理實用教案

1、問題問題(wnt) (wnt) ：你知道趙州橋嗎：你知道趙州橋嗎? ?它是它是13001300多年前我國隋代建多年前我國隋代建造的石拱橋造的石拱橋, , 是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶它的主橋是是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶它的主橋是圓弧形圓弧形, ,它的跨度它的跨度( (弧所對的弦的長弧所對的弦的長) )為為37.4m, 37.4m, 拱高拱高( (弧的中點弧的中點到弦的距離到弦的距離) )為為7.2m7.2m，你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？，你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？ 趙州橋主橋拱的半徑趙州橋主橋拱的半徑(bnjng)(bnjng)是是多少？多少？ 第1頁/共24頁第一頁，共25頁。

2、實踐探究實踐探究把一個圓沿著它的任意一條直徑對折，重復(fù)把一個圓沿著它的任意一條直徑對折，重復(fù)(chngf)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？到什么結(jié)論？可以發(fā)現(xiàn)：可以發(fā)現(xiàn)：圓是軸對稱圖形，任何一條圓是軸對稱圖形，任何一條(y tio)直徑所在直線直徑所在直線都是它的對稱軸都是它的對稱軸第2頁/共24頁第二頁，共25頁。如圖，如圖，AB是是 O的一條弦，做直徑的一條弦，做直徑CD，使，使CDAB，垂足為，垂足為E（1）這個圖形是軸對稱圖形嗎？如果）這個圖形是軸對稱圖形嗎？如果(rgu)是，它的對稱軸是，它的對稱軸是什么？是什么？（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的

3、線段和弧？為什么？）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和??？為什么？OABCDE活活 動動 二二（1）是軸對稱圖形直徑）是軸對稱圖形直徑CD所在所在(suzi)的直線是它的對稱軸的直線是它的對稱軸（2） 線段線段(xindun)： AE=BE?。?，?。?，第3頁/共24頁第三頁，共25頁。垂徑定理(dngl)：垂直于弦的直徑垂直于弦的直徑(zhjng)(zhjng)平分弦平分弦, ,且平分弦所對的兩條弧且平分弦所對的兩條弧. .OABCDECDAB, CD是直徑是直徑,AE=BE, AC =BC, AD=BD.符號語言符號語言圖形圖形(txng)語言語言第4頁/共24頁第四頁，共25頁。（1 1）如何

4、）如何(rh)(rh)證明？證明？OABCDE已知：如圖，已知：如圖，CDCD是是OO的直徑的直徑(zhjng)(zhjng)，ABAB為弦，且為弦，且AE=BE.AE=BE.證明：證明：連接連接OAOA，OBOB，則，則OA=OBOA=OB AE=BE AE=BE CDAB CDAB AD=BD, AD=BD, 求證：求證：CDABCDAB，且，且AD=BD,AD=BD, AC =BC AC =BC AC =BC AC =BC第5頁/共24頁第五頁，共25頁。垂徑定理垂徑定理(dngl)(dngl)推論推論 平分弦（不是平分弦（不是(b shi)(b shi)直徑）的直徑）的直徑垂直于弦直徑

5、垂直于弦, ,并且平分弦所對的兩條并且平分弦所對的兩條弧?；　?CDAB,CDAB, CD CD是直徑是直徑(zhjng)(zhjng)， AE=BE AE=BE AC =BC, AC =BC,AD =BD.AD =BD.OABCDE第6頁/共24頁第六頁，共25頁。（2 2）“不是直徑不是直徑”這個這個(zh ge)(zh ge)條件能去條件能去掉嗎？如果不能，請舉出反例。掉嗎？如果不能，請舉出反例。 平分弦（不是平分弦（不是(b shi)(b shi)直徑）的直徑垂直徑）的直徑垂直于弦直于弦, ,并且平分弦所對的兩條弧。并且平分弦所對的兩條弧。OABCD第7頁/共24頁第七頁，共25頁。1

6、如圖，在如圖，在 O中，弦中，弦AB的長為的長為8cm，圓心，圓心O到到AB的距離的距離(jl)為為3cm，求，求 O的半徑的半徑OABE練習練習(lin(linx)x)解：解：OEAB2222= 3 +4 =5cmAOOEAE答：答： O的半徑的半徑(bnjng)為為5cm.118422AEAB 在在Rt AOE 中中 第8頁/共24頁第八頁，共25頁。2如圖，在 O中，AB、AC為互相垂直(chuzh)且相等的兩條弦，ODAB于D，OEAC于E，求證四邊形ADOE是正方形DOABCE證明證明(zhngmng)： OEAC ODAB ABAC90 90 90OEAEADODA四邊形四邊形AD

7、OE為矩形為矩形(jxng)，又又AC=AB11 22AEAC ADAB， AE=AD 四邊形四邊形ADOE為正方形為正方形.第9頁/共24頁第九頁，共25頁。課堂課堂(ktng)討論討論根據(jù)已知條件進行推導(dǎo)：根據(jù)已知條件進行推導(dǎo)：過圓心過圓心垂直于弦垂直于弦 平分平分(pngfn)(pngfn)弦弦 平分平分(pngfn)(pngfn)弦所對優(yōu)弧弦所對優(yōu)弧 平分平分(pngfn)(pngfn)弦所對劣弧弦所對劣?。? 1）平分弦（不是）平分弦（不是(b shi)(b shi)直徑）的直徑垂直于弦，并且平分直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所弦所 對的兩條弧。對的兩條弧。（3 3）弦的垂直平分線

8、經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。（2 2）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分 弦所對的另一條弧。弦所對的另一條弧。只要具備上述五個條件中任兩個,就可以推出其余三個.第10頁/共24頁第十頁，共25頁。試一試試一試1.判斷(pndun)：( )(1)垂直于弦的直線平分(pngfn)這條弦, 并且平分(pngfn) 弦所對的兩條弧.( )(2)平分弦所對的一條弧的直徑(zhjng)一定平分 這條弦所對的另一條弧.( )(3)經(jīng)過弦的中點的直徑一定垂直于弦.( )(4)弦的垂直平分線一定平

9、分這條弦所對的弧. 第11頁/共24頁第十一頁，共25頁。1.已知P為 O內(nèi)一點，且OP2cm，如果 O的半徑是3cm,那么(n me)過P點的最短的弦等于.EDCBAPO2 5cm2.過過 O內(nèi)一點內(nèi)一點(y din)M的最長弦長為的最長弦長為4厘米，厘米，最短弦長為最短弦長為2厘米，則厘米，則OM的長是多少？的長是多少？OMA第12頁/共24頁第十二頁，共25頁。2 2、如圖，點、如圖，點P P是半徑為是半徑為5cm5cm的的OO內(nèi)一點，且內(nèi)一點，且OP=3cm, OP=3cm, 則過則過P P點的弦中，點的弦中，（1 1）最長的弦）最長的弦= cm= cm（2 2）最短的弦）最短的弦=

10、cm= cm（3 3）弦的長度）弦的長度(chngd)(chngd)為整數(shù)的共有（為整數(shù)的共有（ ） A A、2 2條條 b b、3 3條條 C C、4 4條條 D D、5 5條條AOCD54P3B第13頁/共24頁第十三頁，共25頁。3 3、如圖，點、如圖，點A A、B B是是OO上兩點，上兩點，AB=8,AB=8,點點P P是是OO上的動點（上的動點（P P與與A A、B B不重合）不重合）, ,連接連接(linji)AP(linji)AP、BP,BP,過點過點O O分別作分別作OEAPOEAP于于E,OFBPE,OFBP于于F,EF= F,EF= 。4第14頁/共24頁第十四頁，共25頁

11、。OABOAB 已知已知 O的半徑為的半徑為5厘米厘米(l m)，弦，弦AB的長為的長為8厘米厘米(l m)，求此弦的中點到這條弦所對的弧的，求此弦的中點到這條弦所對的弧的中點的距離。中點的距離。 EEDD練習練習(lin(linx)x)第15頁/共24頁第十五頁，共25頁。1.1.過過oo內(nèi)一點內(nèi)一點M M的最長的弦長為的最長的弦長為1010, ,最短弦長為最短弦長為8 8, ,那那么么(n me)o(n me)o的半徑是的半徑是2.2.已知已知oo的弦的弦AB=6AB=6, ,直徑直徑CD=10CD=10, ,且且ABCD,ABCD,那么那么(n (n me)Cme)C到到ABAB的距離等

12、于的距離等于3.3.已知已知OO的弦的弦AB=4AB=4, ,圓心圓心O O到到ABAB的中點的中點(zhn din)C(zhn din)C的距離為的距離為1 1, ,那么那么OO的半徑為的半徑為4.4.如圖如圖, ,在在O O中弦中弦ABAC,ABAC,OMAB,ONAC,OMAB,ONAC,垂足分別為垂足分別為M,M,N,N,且且OM=2,0N=3,OM=2,0N=3,則則AB= ,AB= ,AC= ,OA=AC= ,OA=BAMCON51或或956413Cm第16頁/共24頁第十六頁，共25頁。歸納： 已知：直徑，弦長，弦心距，拱高四者知其二，即可根據(jù)(gnj)勾股定理求出另外的兩個量。

13、第17頁/共24頁第十七頁，共25頁。問題問題 ：你知道趙州橋嗎：你知道趙州橋嗎? ?它是它是13001300多年前我國隋代建造的石拱橋多年前我國隋代建造的石拱橋, , 是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶它的主橋是圓弧形是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶它的主橋是圓弧形, ,它的跨度它的跨度( (弧所對的弦的長弧所對的弦的長) )為為37.4m, 37.4m, 拱高拱高( (弧的中點到弦的距離弧的中點到弦的距離(jl)(jl)為為7.2m7.2m，你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？，你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？ 趙州橋主橋拱的半徑趙州橋主橋拱的半徑(bnjng)(bnjng)是是多少？多少？ 第18頁/

14、共24頁第十八頁，共25頁。解得：解得：R279（m）BODACR解決求趙州橋拱半徑(bnjng)的問題在RtOAD中，由勾股定理(u dn l)，得即 R2=18.72+（R7.2）2趙州橋的主橋拱半徑(bnjng)約為27.9m.OA2=AD2+OD2,7.184.372121ABADAB=37.4，CD=7.2，OD=OCCD=R7.2在圖中如圖，用如圖，用 表示主橋拱，設(shè)表示主橋拱，設(shè) 所在圓的圓心為所在圓的圓心為O，半徑為半徑為R經(jīng)過圓心經(jīng)過圓心O 作弦作弦AB 的垂線的垂線OC，D為垂足，為垂足，OC與與AB 相交于點相交于點D，根據(jù)前面的結(jié)論，根據(jù)前面的結(jié)論，D 是是AB 的中點

15、，的中點，C是是 的中點，的中點，CD 就是拱高就是拱高第19頁/共24頁第十九頁，共25頁。某圓直徑(zhjng)是10,內(nèi)有兩條平行弦,長度分別為6和8求這兩條平行弦間的距離.第20頁/共24頁第二十頁，共25頁。船能過拱橋船能過拱橋(gngqio)(gngqio)嗎嗎? ?例例3.3.如圖如圖, ,某地有一圓弧形拱橋某地有一圓弧形拱橋, ,橋下水面橋下水面(shu min)(shu min)寬為寬為7.27.2米米, ,拱頂高出水面拱頂高出水面(shu (shu min)2.4min)2.4米米. .現(xiàn)有一艘寬現(xiàn)有一艘寬3 3米、船艙頂部為長方形并高出水面米、船艙頂部為長方形并高出水面(

16、shu min)2(shu min)2米的貨船米的貨船要經(jīng)過這里要經(jīng)過這里, ,此貨船能順利通過這座拱橋嗎？此貨船能順利通過這座拱橋嗎？第21頁/共24頁第二十一頁，共25頁。船能過拱橋船能過拱橋(gngqio)(gngqio)嗎嗎解解: :如圖如圖, ,用用 表示橋拱表示橋拱, , 所在圓的圓心為所在圓的圓心為O,O,半徑半徑為為Rm,Rm,經(jīng)過圓心經(jīng)過圓心O O作弦作弦ABAB的垂線的垂線OD,DOD,D為垂足為垂足, ,與與 相交相交(xingjio)(xingjio)于點于點C.C.根根據(jù)垂徑定理據(jù)垂徑定理,D,D是是ABAB的中點的中點,C,C是是 的中點的中點,CD,CD就是拱高就

17、是拱高. .由題設(shè)得由題設(shè)得. 5 . 121, 4 . 2, 2 . 7MNHNCDABABAD21, 6 . 32 . 721DCOCOD. 4 . 2 R在在RtOAD中，由勾股定理中，由勾股定理(u dn l)，得，得,222ODADOA.)4 . 2(6 . 3222RR即解得解得 R3.9（m）.在在RtONH中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,22HNONOH. 6 . 35 . 19 . 322OH即. 21 . 25 . 16 . 3DH此貨船能順利通過這座拱橋此貨船能順利通過這座拱橋.第22頁/共24頁第二十二頁，共25頁。OABC 已知已知A、B、C是是 O上三點，且上三點，且AB=AC，圓，圓心心O到到BC的距離的距離(jl)為為3厘米，圓的半徑為厘米，圓的半徑為5厘米，求厘米，求AB長。長。DD試一試試一試OABC第23頁/共24頁第二十三頁，共25頁。 中學(xué)數(shù)學(xué)網(wǎng)（群英學(xué)